了得網科普讀物_浴缸裡的驚嘆：256道讓你恍然大悟的趣題(《思考的樂趣》作者顧森

編輯推薦

暢銷著作《思考的樂趣》作者顧森**力作
數學之趣與文字之美的完美融合
256道精選趣題帶你暢遊數學的海洋
讓你在苦思冥想後產生恍然大悟的驚嘆
《浴缸裡的驚嘆》源自阿基米德的那句“Eureka”，是那種苦思冥想後恍然大悟的奇妙感覺。本書精選自作者顧森十餘年來精心收集的數學趣題，廣泛包含了幾何、組合、行程、數字、概率、邏輯、博弈、策略等諸多類別。其中既有小學奧數當中的經典題目，又有***的著名難題。多數題目都很簡單，基本不需要繁復的計算或者艱深的專業知識，隻需動腦或動手就可以想出答案，但想出所有答案也不是那麼容易，有利於激發讀者進一步探索數學問題的興趣。
作者顧森中文專業的背景在這本書中體現得淋漓盡致，本書完美地融合了數學之趣與文字之美，不僅能讓數學愛好者耳目一新，也能讓文科生們大開眼界。

內容簡介

《浴缸裡的驚嘆：256道讓你恍然大悟的趣題》是一本趣題集，裡面的題目全部來自於作者顧森十餘年來的精心收集，包括幾何、組合、行程、數字、概率、邏輯、博弈、策略等諸多類別，其中既有小學奧數當中的經典題目，又有*的著名難題，但它們無一例外都是作者心目中的“好題”：題目本身簡單而不容易，答案出人意料卻又在情理之中，解法優雅精巧令人拍案叫絕。作者還有意設置了語言和情境兩個類別的問題，希望讓完全沒有數學背景的讀者也能體會到解題的樂趣。
《浴缸裡的驚嘆：256道讓你恍然大悟的趣題》是一個瘋狂數學愛好者的數學筆記，主要面向小學生、初中生和高中生，以及所有掌握基礎的數學運算知識、善於思考的讀者，適合作為數學興趣班的數學培訓教材。

作者簡介

顧森，網名Matrix67，數學愛好者。長期為各類科普雜志供稿，從事中小學數學教育多年。著有《思考的樂趣：Matrix67數學筆記》。

1. 幾何問題
2. 組合問題
3. 行程問題
4. 時鐘問題
5. 數字問題
6. 序列問題
7. 算賬問題
8. 概率問題
9. 邏輯問題
10. 博弈問題
11. 策略問題
12. 語言問題
13. 情境問題
14. 以及其他30個問題

在線試讀

誰支付了啤酒錢
據說，曾經在某一段時間裡，美國和加拿大的貨幣彙率出了問題：帶到加拿大去，可以換成1；帶到美國去，可以換成1。於是，就出現了這麼一個往返於美加邊境的酒鬼：他用在美國買了的啤酒，把找回來的帶到加拿大去，換成；然後在加拿大又買的啤酒，把找回來的帶到美國，再換成……如此反復，他就可以不花一分錢，免費喝到無窮多的啤酒！問題出現了：究竟是誰支付了啤酒錢？
答案：他用自己的勞動支付了啤酒。他以一個貿易商的角色往返於兩地之間，並把賺到的錢花在了啤酒上。不要老想著貨幣彙率的問題了，其實整個過程的實質很簡單，就相當於他從美國買了很多特產帶到加拿大去賣，再在加拿大買了很多特產帶到美國去賣，如此反復並不斷獲利，再用賺來的錢買啤酒罷了。
另類的俄羅斯輪盤賭
俄羅斯輪盤賭是史上最酷的決鬥方式之一。左輪手槍的轉輪中有六個彈槽。在其中一個彈槽中放入一顆子彈，然後快速旋轉轉輪，再把它合上。參與決鬥的兩個人輪流對準自己的頭部扣動扳機，直到其中一方死亡。這是一場真男人遊戲，雙方勝負的概率各占50%，遊戲沒有任何技巧可言，命運決定了一切。
為了讓遊戲更加刺激，這一回我們稍微改變一下遊戲規則。在轉輪的連續三個彈槽中放入子彈，然後旋轉並合上轉輪。這一次，你是打算先開槍還是後開槍呢？
你應該選擇後開槍，因為後開槍的人幸存的概率更高。為了算出雙方存活的概率，我們隻需要考慮所有6種可能的子彈位置即可。不妨用字母B來表示有子彈的彈槽，用字母E來表示空的彈槽。我們便能列出下面這張表：
B B B E E E → 先開槍者死B B E E E B → 先開槍者死B E E E B B → 先開槍者死E E E B B B → 後開槍者死E E B B B E → 先開槍者死E B B B E E → 後開槍者死可見，先開槍者死亡的概率高達2/3，是後開槍者死亡概率的兩倍。
可以算出，當轉輪裡位置相連的子彈數分別為1、2、3、4、5、6時，先開槍者死亡的概率分別為1/2、2/3、2/3、5/6、5/6、1。看來，並不是所有遊戲都是先下手為強啊。
藍眼睛島上的故事
某座島上有200個人，其中100個人的眼睛是藍色的，另外100個人的眼睛是棕色的。所有人都不知道自己眼睛的顏色，也沒法看到自己眼睛的顏色。他們可以通過觀察別人的眼睛顏色，來推斷自己的眼睛顏色；除此之外，他們之間不能有任何形式的交流。每天午夜都會有一艘渡船停在島邊，所有推出自己眼睛顏色的人都必須離開這座島。所有人都是無限聰明的，隻要他們能推出來的東西，他們一定能推出來。島上的所有人都非常清楚地知道上面這些條件和規則。誰支付了啤酒錢
據說，曾經在某一段時間裡，美國和加拿大的貨幣彙率出了問題：帶到加拿大去，可以換成1；帶到美國去，可以換成1。於是，就出現了這麼一個往返於美加邊境的酒鬼：他用在美國買了的啤酒，把找回來的帶到加拿大去，換成；然後在加拿大又買的啤酒，把找回來的帶到美國，再換成……如此反復，他就可以不花一分錢，免費喝到無窮多的啤酒！問題出現了：究竟是誰支付了啤酒錢？
答案：他用自己的勞動支付了啤酒。他以一個貿易商的角色往返於兩地之間，並把賺到的錢花在了啤酒上。不要老想著貨幣彙率的問題了，其實整個過程的實質很簡單，就相當於他從美國買了很多特產帶到加拿大去賣，再在加拿大買了很多特產帶到美國去賣，如此反復並不斷獲利，再用賺來的錢買啤酒罷了。
另類的俄羅斯輪盤賭
俄羅斯輪盤賭是史上最酷的決鬥方式之一。左輪手槍的轉輪中有六個彈槽。在其中一個彈槽中放入一顆子彈，然後快速旋轉轉輪，再把它合上。參與決鬥的兩個人輪流對準自己的頭部扣動扳機，直到其中一方死亡。這是一場真男人遊戲，雙方勝負的概率各占50%，遊戲沒有任何技巧可言，命運決定了一切。
為了讓遊戲更加刺激，這一回我們稍微改變一下遊戲規則。在轉輪的連續三個彈槽中放入子彈，然後旋轉並合上轉輪。這一次，你是打算先開槍還是後開槍呢？
你應該選擇後開槍，因為後開槍的人幸存的概率更高。為了算出雙方存活的概率，我們隻需要考慮所有6種可能的子彈位置即可。不妨用字母B來表示有子彈的彈槽，用字母E來表示空的彈槽。我們便能列出下面這張表：
B B B E E E → 先開槍者死B B E E E B → 先開槍者死B E E E B B → 先開槍者死E E E B B B → 後開槍者死E E B B B E → 先開槍者死E B B B E E → 後開槍者死可見，先開槍者死亡的概率高達2/3，是後開槍者死亡概率的兩倍。
可以算出，當轉輪裡位置相連的子彈數分別為1、2、3、4、5、6時，先開槍者死亡的概率分別為1/2、2/3、2/3、5/6、5/6、1。看來，並不是所有遊戲都是先下手為強啊。
藍眼睛島上的故事
某座島上有200個人，其中100個人的眼睛是藍色的，另外100個人的眼睛是棕色的。所有人都不知道自己眼睛的顏色，也沒法看到自己眼睛的顏色。他們可以通過觀察別人的眼睛顏色，來推斷自己的眼睛顏色；除此之外，他們之間不能有任何形式的交流。每天午夜都會有一艘渡船停在島邊，所有推出自己眼睛顏色的人都必須離開這座島。所有人都是無限聰明的，隻要他們能推出來的東西，他們一定能推出來。島上的所有人都非常清楚地知道上面這些條件和規則。
有一天，一位大法師來到了島上。他把島上所有人都叫來，然後向所有人宣布了一個消息：島上至少有一個人是藍色的眼睛。
接下來的每一個午夜裡，都會有哪些人離開這座島？
答案：從第1個午夜到第99個午夜，沒有任何人離開這座島；到第100個午夜，所有100個藍眼睛將會同時離開。
為什麼？大家不妨先這樣想：什麼情況下第一天就會有人離開這座島？很簡單。假如島上隻有一個藍眼睛，那麼當他聽說島上至少有一個藍眼睛之後，他就知道了自己一定就是那個藍眼睛，因為他看到的其他所有人都是棕色的眼睛。因而，當天夜裡他就會離開這座島。好了，如果島上隻有兩個藍眼睛呢？他們在第一天都無法立即推出自己是藍眼睛，但在第二天，每個人都發現對方還在，就知道自己一定是藍眼睛了。這是因為，每個人都會這麼想：如果我不是藍眼睛，那麼對方昨天就會意識到他是藍眼睛，對方昨天夜裡就應該消失，然而今天竟然還在這兒，說明我也是藍眼睛。最後，這兩個人將會在第二天夜裡一並消失。
類似地，如果島上有三個藍眼睛，那麼每個人到了第三天都發現另外兩個人還沒走，便能很快推出，這一定是因為自己是藍眼睛。所以，這三個藍眼睛將會在第三個午夜集體離開。不斷地這樣推下去，最終便會得出，如果島上有100個藍眼睛，那麼每個人都會在第100天意識到自己是藍色的眼睛，於是他們將會在第100個午夜集體離開。
很多人都會對這段解釋非常滿意，然而細心的朋友卻會發現一個問題：在大法師出現之前，每個人都能看見99個藍眼睛，因此每個人都知道“島上至少有一個人是藍色的眼睛”這件事情。那麼，大法師的出現究竟有什麼用呢？這是一個很好的問題。它的答案是：大法師的行為，讓“島上至少有一個人是藍色的眼睛”的消息成為了共識。
在生活當中，我們經常會遇到與共識有關的問題。讓我們來看這麼一段故事。A、B兩人有事需要面談，他們要用短信的方式約定明天的見面時間和地點。不過，兩人的時間都非常寶貴，隻有確信對方能夠出席時，自己纔會到場。A給B發短信說，“我們明天10:00在西直門地鐵站見吧”。不過，短信發丟了是常有的事情。為了確信B得知了此消息，A補充了一句，“收到請回復”。B收到了之後，立即回復：“已收到，明天10:00不見不散”。不過，B也有他自己的擔憂：A不是隻在確認我要去了之後纔會去嗎？萬一對方沒有收到我的確認短信，屆時沒有到場讓我白等一中午怎麼辦？因此B也附了一句：“收到此確認信請回復”。A收到確認信之後，自然會回復“收到確認信”。但A又產生了新的顧慮：如果B沒收到我的回復，一定會擔心我因為沒收到他的回復而不去了，那他會不會也就因此不去了呢？為了確保B收到了回復，A也在短信末尾加上了“收到請回復”。這個過程繼續下去，顯然是沒完沒了。其結果是，A、B兩人一直在確認對方的信息，但卻始終無法達成這麼一個共識：“我們都將在明天10:00到達西直門地鐵站”。
有的人或許會說，那還不簡單，A給B打個電話不就行了嗎？在生活當中，這的確是上述困境的一個最佳解決辦法。有意思的問題出來了：打電話和發短信有什麼區別，使得兩人一下就把問題給解決了？主要原因可能是，打電話是“在線”的，而發短信是“離線”的。在打電話時，每個人都能確定對方在聽著，也能確定對方確定自己在聽著，等等，因此兩人說的任何一句話，都將會立即成為共識：不但我知道了，而且我知道你知道了，而且我知道你知道我知道了……
大法師當眾宣布“島上至少有一個藍眼睛”，就是讓所有人都知道這一點，並且讓所有人都知道所有人都知道這一點，並且像這樣無限嵌套下去。這就叫做某條消息成為大家的共識。讓我們來看一下，如果這個消息並沒有成為共識，事情又會怎樣。
為了簡單起見，我們還是假定島上隻有兩個藍眼睛。這兩個人都能看見對方是藍眼睛，因而他們都知道“島上至少有一個藍眼睛”。但是，由於法師沒有出現，因此他倆都不知道，對方是否知道“島上有藍眼睛”這件事。所以，到了第二天的時候，之前的推理就無法進行下去了——每個人心裡都會想，對方沒有離開完全有可能是因為對方不知道“島上有藍眼睛”這件事。
類似地，如果島上有三個藍眼睛，那麼除非他們都知道，所有人都知道所有人都知道了“島上有藍眼睛”這件事，否則第三天的推理是不成立的——到了第三天，會有人覺得，那兩個人沒走僅僅是因為他們不知道對方也知道“島上有藍眼睛”這件事罷了。繼續擴展到100個藍眼睛的情形，你會發現，“互相知道”必須得嵌套100層，纔能讓所有推理能順利進行下去。
實際上，我們的題目條件也是不完整的。“島上的所有人都非常清楚地知道上面這些條件和規則”這句話應該改為“上面這些條件和規則是島上所有人的共識”，或者說“島上所有人都知道上面這些條件和規則，並且所有人都知道所有人都知道，等等等等”。如果沒有這個條件，剛纔的推理也是不成立。比方說，雖然所有人都是無限聰明的，但是如果大家不知道別人也是無限聰明的，或者大家不知道大家知道別人也是無限聰明的，推理也會因為“昨晚他沒走僅僅是因為他太笨了沒推出來”之類的想法而被卡住。下一章的博弈問題當中，共識的概念也會起到很大的作用。
這是一道非常經典的問題，網絡漫畫網站XKCD把它稱作是“世界上最難的邏輯謎題”。我至少見過這個問題的四種不同的版本。John Allen Paulos的Once Upon A Number裡寫過一個大女子主義村的故事：村子裡有50個已婚婦女，每個婦女都不知道自己的男人是否有外遇，但卻可以觀察到其他婦女的男人是否有外遇。規定，隻要哪個婦女推出了自己的男人有外遇，當晚她就必須把自己的男人殺死。有一天，村子裡來了一位女族長。女族長宣布，島上至少有一個婦女，他的男人有外遇。實際上，每個婦女的男人都有外遇。那麼最後究竟會發生什麼呢？村子裡的人將會度過49個平靜的晚上，到第50天則會出現徹徹底底的大屠殺。
另一個與瘋狗有關的版本也大致如此：村子裡每個人都養了一條狗，每個人都不知道自己的狗是不是瘋了，但都可以觀察到別人家的狗是不是瘋狗。隻要推出自己的狗是瘋的，當天晚上就必須用槍把它殺死。有一天，村裡來了一個人，宣布了至少有一條瘋狗的消息，然後前2天平安無事，第3天夜裡出現了一陣槍響，問村子裡實際上有多少瘋狗？答案是，3條。
最後還有一個戴帽子的版本。老師給5個小孩兒每個人頭上都戴了一頂黑帽子，然後告訴大家，至少有一個人頭上戴著的是黑色的帽子。接下來，老師向大家提問：“知道自己戴著黑帽子的請舉手”，連問四次沒有反應，到了第五次則齊刷刷地舉手。有的地方把“戴著黑帽子”換成“額頭上點了一個墨點”，然後老師讓大家推測自己額頭上是否有墨點。這本質上也是一樣的。
……

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