導論

1931年，一篇相對較短的論文發表在一本德國的科學期刊上，這篇論文有一個令人望而生畏的標題：“論《數學原理》及相關繫統的形式地不可判定的命題（I）”。論文的作者是庫爾特·哥德爾，當時，這位維也納大學的年輕數學家剛好25歲，但在1938年之後，他就一直擔任普林斯頓高等研究院的終身成員。這篇論文是邏輯和數學歷史上的一座豐碑。當哈佛大學在1952年授予哥德爾榮譽學位時，榮譽狀將這項工作描述為現代邏輯中重要的進步之一。

但是，在哥德爾這篇論文發表的時候，大多數數學家既困惑於論文的標題，也難以理解論文的內容。標題中所提到的《數學原理》，乃是阿爾弗雷德·諾斯·懷特海和伯特蘭·羅素合寫的關於數理邏輯和數學基礎的三卷本不朽巨著；數學的大多數分支中的成功研究卻並不需要預設熟悉這部著作。此外，哥德爾的論文所處理的一組問題一直以來隻引起過相當少一部分學者的興趣。在論文發表的那個時代，這個證明所用到的推理極其新穎，隻有那些對一個高度專業化領域的技術性文獻非常熟悉的人纔能充分理解這個論證。縱使如此，哥德爾建立的結論現在被更廣泛地認為是革命性的，因為它們具有廣泛的哲學意義。本書的目的正是讓非專業人士能夠理解哥德爾成果的實質及其證明的一般特征。

 哥德爾這篇著名論文要解決數學基礎中的一個核心問題。為了有助於讀者的理解，有必要預先簡單說明一下這個問題產生的背景。毫無疑問，每個學過初等幾何的人都記得這是作為一門演繹（deductive）學科來教的。幾何學不是一門實驗科學，對於實驗科??說，人們接受一個定理乃是由於它們與人的觀察一致。一個命題能夠作為一個明確的邏輯證明（logical proof）的結論而得以確立，這個觀念可以追溯至古希臘人。古希臘人發現了所謂的“公理化方法”（axiomatic method），並且運用這種方法以繫統的方式來發展幾何學。公理化方法包括,不加證明地接受某些命題作為公理或公設（例如，“過兩點隻能畫出一條直線”這條公理）,由公理推導出該繫統的所有其他命題作為定理。公理構成了繫統的“基礎”；定理是“上層結構”，是僅借助於邏輯原則從公理得到的。

幾何學的公理化發展給古往今來的思想家們留下了力量強大這一印像，因為相對較少的幾條公理就具備了相當於由它們推導出的無窮多命題的全部力量。此外，如果這些公理的真可以通過某種方式而得以確立——實際上，兩千多年來，大多數學者都毫無疑問地相信這些公理對於空間來說是真的——那麼，所有定理的真及其相互之間的一致性就自動得到了保證。由於這些原因，一代又一代傑出的思想家們都將幾何學的公理化形式視為科學知識的典範。所以，人們自然就會問，除了幾何學之外，其他思想分支是否也能建立在一個牢靠的公理化基礎之上？然而，盡管物理學的某些分支在古代就有了公理化表述［例如，阿基米德（Archimedes）的理論］，但直到現代，幾何學仍然是一個擁有被大多數學者所接受的可靠公理化基礎的數學分支。
盡管如此，在過去的兩個世紀，人們投入了比以往更多的力量和熱情來探索公理化方法。數學的新分支和舊分支，包括關於人們熟悉的基數（或“整數”）屬性的研究，都被提出了看似充分的一組公理。由此，觀念上漸漸形成了一種氛圍，在這樣的氛圍中，人們默認數學思想的每一個部分都能夠被提供出一組公理，這些公理足以繫統地發展出給定研究領域的無窮無盡的全部真命題。

哥德爾的論文證明，這個假設是站不住腳的。他向數學家們展示了令人震驚的悲觀結論：公理化方法有其固有的局限性，由於這樣的局限性，就連非負整數的屬性被完全公理化的可能性都被排除了。他還進一步證明，很大一類演繹繫統——例如數論——都不可能建立其內在的邏輯一致性，除非人們采用非常復雜的推理原則，使得這些推理原則的內在一致性與那些繫統本身的內在一致性都同樣令人懷疑。基於這些結論，數學的很多重要領域都無法得到終的繫統化，數學思想的很多重要分支也不能保證不存在內在矛盾。

所以，哥德爾的發現動搖了先入為主的、根深蒂固的觀念，摧毀了古來就有、近來又被數學基礎研究所新鮮滋養起來的公理化希望。但是，他的論文也不全都是否定性的。它將一種新的分析技術引入了基礎問題的研究，就其本性和成效而言，這種新的技術可以與勒內·笛卡爾（René Descartes）引入幾何學的代數方法相媲美。這種技術提出並引發了邏輯和數學研究中的新問題。它激起了對一度廣為接受的數學哲學觀乃至更為一般的知識哲學觀的重新評價，這種重新評價至今仍在進行中。

 哥德爾這篇劃時代的論文中的證明細節，如果沒有經過相當的數學訓練，是很難理解的。但是，隻需要非常有限的數學和邏輯準備，他證明的基本結構與其結論的核心部分就可以被讀者所理解。為了達到這樣的理解，讀者可能會發現，對數學史和現代形式邏輯的某些相關發展做一個簡短的說明是有幫助的。本書接下來的四個部分將專門對此做一個概述。