●前言
符號表
章集合論基礎1
1.1集合1
1.2集合的運算2
1.3指標集及其運算5
1.3.1集合運算的一般化5
1.3.2集合序列的極限7
1.3.3集合的分割11
1.4濾子基12
1.5關繫14
1.6映射17
1.7單值與多值映射22
1.8等價集與基數23
習題129
第2章可測映射與可測空間34
2.1幾個重要的集族34
2.2可測映射37
2.3測度與測度空間39
習題240
第3章實直線和平面上的拓撲41
3.1實數的性質41
3.2實直線的開集44
3.3連續函數47
3.4平面上的拓撲48
習題348
第4章拓撲空間50
4.1拓撲概念50
4.2鄰域與鄰域繫52
4.3聚點、閉集與閉包53
4.4內部與邊界58
4.5序列與濾子族60
4.6子空間與相對拓撲63
4.7基與子基66
4.8拓撲的等價定義68
4.9積拓撲72
4.9.1有限積拓撲72
4.9.2任意積拓撲73
習題475
第5章連續映射與拓撲同胚79
5.1連續映射79
5.2拓撲空間上的數值映射84
5.3由映射誘導的拓撲88
5.3.1商拓撲88
5.3.2弱拓撲89
習題592
第6章具有某些特殊公理的拓撲空間95
6.1分離性公理95
6.1.1Hausdorff空間,T1-空間,T0-空間95
6.1.2正則、正規、T3-空間,T4-空間98
6.1.3Urysohn引理和Tietze定理99
6.1.4完全正則空間105
6.2緊致性106
6.3連通性114
6.4可數性公理120
6.4.1滿足第二(一)可數性公理的空間120
6.4.2Lindelo空間123
6.4.3可分空間125
習題6126
第7章度量空間與廣義度量空間129
7.1度量空間129
7.1.1度量拓撲131
7.1.2Cauchy序列與緊性和完備性134
7.1.3Baire空間141
7.1.4可度量化空間142
7.2度量空間的連通性147
7.3度量空間的局部連通性150
7.4廣義度量化空間154
習題7164
第8章拓撲向量空間簡介165
8.1向量空間165
8.2範數空間170
8.3拓撲向量空間172
習題8175
第9章動力繫統與拓撲群簡介176
9.1拓撲群176
9.2拓撲群的鄰域繫178
9.3子群和商群181
9.4拓撲群的積185
9.5分離性186
9.6連通性188
9.7拓撲動力繫統189
習題9192
0章不動點理論簡介193
10.1壓縮映射定理及其推廣193
10.2Brouwer不動點定理及其推廣198
10.3非擴張半群族的共同不動點204
10.4Tychonoff不動點定理及其廣義化207
習題10210
參考文獻211
索引214
內容簡介
基礎拓撲學是數學的重要分支,內容豐富且應用面廣。本書以點集拓撲學為基礎,通過對一般拓撲學、測度論、拓撲向量空間、拓撲群及拓撲動力繫統的一些專題進行論述。向讀者簡要介紹拓撲學中的一些基本知識、研究思想以及解決問題的方法,以較少的篇幅展現拓撲學應用中的一些主要內容。本書主要內容包括:集合與序集、可測映射與可測空間、拓撲空間、幾類重要的拓撲性質、緊空間與度量空間、廣義度量空間、拓撲向量空間、拓撲群及離散拓撲動力繫統和不動點理論。本書是作者十多年來在拓撲學應用基礎方面教學和科研的總結,也是對以可測映射與可測空間、拓撲向量空間、拓撲群及離散拓撲動力繫統和不動點理論等拓撲學應用方面問題的教學探索。
章集合論基礎
集合論產生於十九世紀七十年代,是由德國有名數學家康托爾(Cantor,1845-1918)創立的,如今已發展成為一個獨立的數學分支.它是整個現代數學的邏輯基礎,其基本概念與方法已滲入現代數學各個領域.
1.1集合
我們在前期課程中已經接觸過集合的概念.集合是現代數學中一個很基本的概念,它是專享一個難以嚴格定義,隻能給予一種描述的數學概念.集合這個概念出現於數學的各個分支.所謂集合,指的是具有一定性質的對像的全體.一個集合確切地指定了一堆事物,直觀地說,集合是作為整體上的一堆東西.其中的個體稱為素.我們通常用大寫英文字母A;B;X;Y等表示集合,用小寫英文字母a;......
"