●引言
章 從星期到模m剩餘類環
§1.1 集合的劃分與等價關繫
§1.2 模m剩餘類環Zm，環和域的概念
§1.3 整數環的結構
§1.4 Zm的判定，模p剩餘類域，域的特征，費馬小定理
§1.5 中國剩餘定理
§1.6 Zm的個數，歐拉函數
§1.7 Zm的單位群Z*m，歐拉定理，循環群及其判定
1.7.1 Z*m的結構，群
1.7.2 歐拉定理
1.7.3素的階
1.7.4 循環群及其判定
§1.8 篩法，威爾遜定理，素數的分布
1.8.1 篩法,威爾遜定理
1.8.2 素數的分布
1.8.3 素數的計數
第二章 從解方多項式環
§2.多項式環的概念
§2.2 帶餘除法，整除關繫
§2.3 優選公因式
2.3.1 優選公因式
2.3.2 互素的多項式
§2.4 不可約多項式，唯一因式分解定理
§2.5 多項式的根，多項式函數，復數域上的不可約多項式
2.5.1 多項式的根
2.5.2 多項式函數
2.5.3 復數域上的不可約多項式
§2.6 實數域上的不可約多項式
§2.7 有理數域上的不可約多項式
第三章 從通信安全到密碼學
§3.1 序列密碼
§3.2 線性反饋移位寄存器，m序列
§3.3 公開密鑰密碼體制，RSA密碼繫統
§3.4 數字簽名
第四章 數學發展史上若干重大創新
§4.1 從對運動的研究到微積分的創立和嚴密化
4.1.1 17世紀對天體運動的研究
4.1.2 牛頓和萊布尼茨創立微積分
4.1.3 微積分的嚴密化
4.1.4 實數繫的連續性與完備性
§4.2 從平行公設到非歐幾裡得幾何的誕生與實現
4.2.1 歐幾裡得幾何
4.2.2 對平行公設的質疑
4.2.3 非歐幾裡得幾何的誕生
4.2.4 非歐幾何在現實物質世界中的實現
4.2.5 非歐幾何的誕生與實現給我們的啟迪
§4.3 從方程根式可解問題到伽羅瓦理論的創立與代數學的變革
4.3.1 三次、四次方程的解法
4.3.2 拉格朗日等人對於五次及更高次一般方程不能用根式解的研究
4.3.3 伽羅瓦研究可用根式求解的方程的特性的思想
4.3.4 伽羅瓦理論的基本定理
4.3.5 方程根式可解的判別準則
4.3.6 高於四次的一般方程不是根式可解的證明
4.3.7 伽羅瓦理論的創立給我們的啟迪
附錄1 研究群的結構的途徑
§1.1 子群，正規子群，商群
§1.2 群的同態，可解群
附錄2 域擴張的途徑及其性質
§2.1 理想，商環，環同態，極大理想，域擴張的途徑
§2.2 域擴張的性質，分裂域，伽羅瓦擴張
習題解答
參考文獻
內容簡介
《數學的思維方式與創新》是作者丘維聲在北京大學多次給本科生講授“數學的思維方式與創新”素質教育通選課的教材。什麼是數學的思維方式？如何培養學生的數學思維能力？數學的思維方式包括哪幾個環節？作者用通俗易懂的語言論述了數學思維方式的五個重要環節：觀察—抽像—探索—猜測—論證。講述了數學上的創新是如何推動數學的發展，而數學的思維方式在創新中是怎樣起著重要作用的，使學生領略數學創新的風采，受到數學思維方式與創新的熏陶和訓練，提高數學素質。《數學的思維方式與創新》以現代數學和信息時代有重要應用的數學知識和數學發展目前若干重要創新為載體，從同學們熟悉的整數、多項式出發，講述整數多項式環的結構；從“星期”這一司空見慣的現像引出集合的劃分、等價關繫和模m剩餘類的概念，進而研究模m剩餘類環的結構；從信息時代為了確保信息安全引出序列密碼和公開密鑰密碼，以及數字簽名；從數學發展目前選出三個重大創新進行闡......
