《高等數值計算》由瀋艷、楊麗宏、王立剛、馮
國峰編著，全書以數值計算方法的理論與方法為主線
，在介紹了線性代數必備知識與誤差理論的基礎上，
全面介紹了求解線性方程組的直接法，求解線性方程
組、非線性方程(組)及矩陣特征值與特征向量的迭代
法，函數的插值與逼近，數值積分與數值微分，求解
常微分方程定解問題的數值方法，求解偏微分方程定
解問題的有限差分法和有限元法，書中詳細講述了各
種方法的構造思想、理論推導、計算公式以及誤差分
析等內容。本書結構清晰，重點突出，便於根據不同
對像、學時和要求進行教學。此外，各章均配有一定
數量的習題，以方便讀者學習本課程。
本書既適合作為工科及理科高等院校高年級本科
生、研究生的教材，也適合作為教師和廣大科技工作
者從事科學研究的參考書。

第1章 預備知識與誤差理論
1.1 線性代數的一些基礎知識
1.1.1 幾種常見矩陣及其性質
1.1.2 矩陣的特征值問題與對角化
1.1.3 線性空間與內積空間
1.1.4 向量範數
1.1.5 矩陣範數與矩陣的算子範數
1.2 誤差
1.2.1 誤差的來源與分類
1.2.2 誤差與有效數字
1.2.3 數值運算中的誤差估計
1.2.4 病態問題與算法穩定性分析
1.2.5 避免誤差危害與數值計算中算法設計
習題1
第2章 解線性方程組的直接法
2.1 高斯消去法
2.1.1 基本高斯消去法
2.1.2 列主元高斯消去法
2.2 矩陣三角分解
2.2.1 LU分解
2.2.2 三對角方程組的追趕法
2.2.3 對稱矩陣的三角分解
2.2.4 平方根法
2.3 矩陣條件數與病態方程組
2.3.1 病態現像與條件數
2.3.2 線性方程組的誤差分析
2.3.3 病態線性方程組
2.4 豪斯霍爾德變換與QR分解
習題2
第3章 解線性方程組的迭代法
3.1 經典迭代法的基本概念
3.1.1 雅可比迭代法
3.1.2 高斯賽德爾迭代法
3.1.3 逐次超松弛迭代法
3.2 迭代法的收斂性
3.3 共軛梯度法
3.3.1 *速下降法
3.3.2 共軛梯度法
習題3
第4章 非線性方程與方程組的迭代解法
4.1 根的搜索
4.2 壓縮映像原理與不動點迭代法
4.2.1 不動點迭代法的基本思想
4.2.2 壓縮映像原理
4.2.3 不動點迭代法的收斂性
4.3 牛頓迭代法及其變形
4.3.1 牛頓迭代法及其收斂性
4.3.2 牛頓迭代法的修正
4.3.3 重根的迭代法
4.4 迭代收斂的加速方法
4.4.1 埃特金加速收斂方法
4.4.2 斯特芬森迭代法
4.5 求解非線性方程組的迭代法
4.5.1 多變量的不動點迭代法
4.5.2 多變量的牛頓迭代法
習題4
第5章 矩陣特征值和特征向量的迭代算法
5.1 冪迭代法
5.1.1 冪迭代法原理
5.1.2 加速收斂的方法
5.1.3 反冪法
5.2 QR迭代法
5.2.1 QR迭代法的原理
5.2.2 黑森伯格矩陣
習題5
第6章 插值法
6.1 插值問題的提出
6.2 多項式插值
6.3 拉格朗日插值方法
6.3.1 拉格朗日插值
6.3.2 插值餘項
6.4 牛頓插值多項式
6.4.1 差商形式的牛頓插值多項式
6.4.2 差商的基本性質
6.4.3 差分形式的牛頓插值多項式
6.5 埃爾米特插值多項式
6.5.1 構造基函數方法
6.5.2 待定繫數法
6.5.3 重節點差商法
6.6 分段低次插值
6.6.1 高次插值多項式的缺陷
6.6.2 分段線性插值
6.6.3 分段三次埃爾米特插值
6.7 三次樣條插值
6.7.1 三次樣條插值問題的基本提法
6.7.2 三次樣條插值公式
6.7.3 誤差階與收斂性
6.8 B樣條插值
6.8.1 B樣條函數
6.8.2 m次樣條函數空間
6.8.3 B樣條插值
習題6
第7章 函數逼近與曲線擬合
7.1 正交多項式
7.1.1 正交函數族
7.1.2 正交多項式的性質
7.1.3 勒讓德多項式
7.1.4 切比雪夫多項式
7.1.5 切比雪夫多項式零點插值
7.2 *佳平方逼近
7.2.1 *佳平方逼近及其誤差分析
7.2.2 用正交函數族作*佳平方逼近
7.3 曲線擬合的*小二乘法
7.3.1 *小二乘擬合問題
7.3.2 非線性*小二乘擬合的線性化
7.3.3 用正交多項式作*小二乘擬合
習題7
第8章 數值積分與數值微分
8.1 數值積分的基本概念
8.1.1 插值型求積公式
8.1.2 求積公式的代數精度
8.2 牛頓科特斯求積公式
8.2.1 牛頓科特斯公式
8.2.2 幾種常用的牛頓科特斯求積公式
8.3 復化求積公式
8.3.1 復化梯形求積公式
8.3.2 復化辛普森求積公式
8.3.3 復化科特斯求積公式
8.4 龍貝格積分方法
8.4.1 後驗誤差估計
8.4.2 變步長梯形公式
8.4.3 理查森外推法
8.4.4 龍貝格算法
8.5 高斯求積公式
8.5.1 高斯型求積公式的建立
8.5.2 高斯求積公式的餘項
8.5.3 高斯勒讓德求積公式
8.5.4 高斯切比雪夫求積公式
8.6 數值微分
8.6.1 差商公式及誤差分析
8.6.2 插值型求導公式
8.6.3 三次樣條求導
習題8
第9章 常微分方程的初值問題
9.1 引言
9.2 常微分方程初值問題的一般方法
9.2.1 單步方法和多步方法
9.2.2 顯式方法和隱式方法
9.2.3 局部截斷誤差和整體截斷誤差
9.2.4 線性多步法的相容性與收斂性
9.2.5 線性多步法的穩定性與**穩定域
9.3 常微分方程初值問題的高階單步法
9.3.1 泰勒級數法
9.3.2 龍格庫塔方法
9.4 高階單步方法的性態分析及改進
9.5 線性多步法——亞當斯方法和吉爾方法
9.5.1 亞當斯巴什福思方法
9.5.2 亞當斯莫爾頓方法
9.5.3 吉爾方法
9.6 一般線性多步方法的構造
9.7 一階常微分方程組
9.8 剛性問題
9.8.1 隱式龍格庫塔方法
9.8.2 吉爾方法
習題9
**0章 求解微分方程的有限差分法
10.1 解兩點邊值問題的差分方法
10.2 在矩形區域上求解橢圓邊值問題的差分方法
10.2.1 **類邊值條件
10.2.2 第二、第三類邊值條件
10.3 在三角形網格上求解橢圓型方程的有限差分法
10.4 橢圓差分方程的性態研究
10.5 擴散方程的有限差分法
10.5.1 擴散方程的離散
10.5.2 古典顯格式
10.5.3 古典隱格式
10.5.4 克蘭克尼科爾森格式
10.5.5 *高截斷誤差階的兩層加權平均格式
10.5.6 理查森格式
10.6 對流方程的差分格式
10.7 波動方程的差分離散
習題10
**1章 求解微分方程的有限元法簡介
11.1 變分問題
11.1.1 兩點邊值問題的變分形式
11.1.2 泛函和變分
11.1.3 兩點邊值問題的變分形式
11.1.4 橢圓型方程的變分形式
11.2 泛函的極值問題
11.2.1 泛函的極值問題的存在性
11.2.2 與橢圓型方程相應的泛函極值問題
11.2.3 極值問題與變分問題之間的聯繫
11.3 變分和泛函極值問題的近似求解
11.3.1 變分和泛函極值問題的進一步討論
11.3.2 裡茨法
11.3.3 伽遼金法
11.4 解橢圓型問題的有限元方法
11.4.1 基於變分問題的有限元方法
11.4.2 基於泛函極值問題的有限元方法
習題11
習題答案或提示
參考文獻