●章 緒論 1
1.1 Lie代數及Lie超代數簡介 1
1.2 可積繫統及其擴展 4
1.3 自相容源和守恆律 8
1.4 孤子方程的求解 10
1.5 數學機械化、符號計算及其在可積繫統中應用 11
第2章 孤子族的非線性可積耦合 14
2.1 耦合mKdV方程族的可積耦合 15
2.1.1 二次型恆等式 15
2.1.2 耦合mKdV方程族 17
2.1.3 耦合mKdV方程族可積耦合 20
2.1.4 可積耦合的Hamilton結構 25
2.2 Guo族的非線性可積耦合 27
2.2.1 非線性可積耦合的概念 27
2.2.2 Guo族及其非線性可積耦合 29
2.2.3 非線性可積耦合的Hamilton結構 33
2.3 Lie代數構造非線性可積耦合 36
2.3.1 一個新的Lie代數 36
2.3.2 應用 38
2.3.3 可積耦合的Hamilton 結構 41
2.4 Broer-Kaup-Kupershmidt 族的非線性雙可積耦合 46
2.4.1 矩陣Lie代數和非線性雙可積耦合 46
2.4.2 Broer-Kaup-Kupershmidt 族 48
2.4.3 Broer-Kaup-Kupershmidt 族的非線性雙可積耦合 50
2.4.4 Hamilton結構 53
2.5 超Kaup-Newell族的非線性可積耦合 56
2.5.1 超可積耦合 56
2.5.2 超Kaup-Newell族 58
2.5.3 超Kaup-Newell族非線性可積耦合 61
2.5.4 超Hamilton結構 65
2.5.5 方程族的約化 68
第3章 可積與超可積繫統的自相容源與守恆律 70
3.1 Li族非線性可積耦合的自相容源與守恆律 70
3.1.1 Li族的非線性可積耦合 70
3.1.2 帶自相容源的Li族非線性可積耦合 74
3.1.3 Li族非線性可積耦合的守恆律 77
3.2 超Tu族的自相容源與守恆律 82
3.2.1 類超Tu族 82
3.2.2 類超Tu族的自相容源 85
3.2.3 類超Tu族的守恆律 87
3.2.4 第二類超Tu族 90
3.2.5 第二類超Tu族的自相容源 94
3.2.6 第二類超Tu族的守恆律 95
3.3 超Guo族的自相容源與守恆律 98
3.3.1 超Guo族 98
3.3.2 超Guo族的自相容源 101
3.3.3 超Guo族的守恆律 103
3.4 新6分量超孤子族的自相容源與守恆律 106
3.4.1 新6分量超孤子族 106
3.4.2 超Hamilton結構 111
3.4.3 新6分量超孤子族的自相容源 113
3.4.4 新6分量超孤子族的守恆律 116
第4章 分數階可積與超可積繫統 119
4.1 分數階可積繫統 120
4.1.1 分數階導數的定義與性質 120
4.1.2 廣義分數階變分恆等式 122
4.2 Kaup-Newell族的分數階可積耦合及其Hamilton結構 125
4.2.1 Kaup-Newell族的分數階可積耦合 125
4.2.2 Hamilton結構 129
4.3 分數階Kaup-Newell族的雙可積耦合及其Hamilton結構 131
4.3.1 分數階Kaup-Newell 族 131
4.3.2 分數階雙可積耦合 132
4.3.3 分數階Hamilton 結構 136
4.4 分數階超可積繫統 140
4.4.1 分數階超跡恆等式 140
4.4.2 分數階超Broer-Kaup-Kupershmidt族 143
4.4.3 分數階超Broer-Kaup-Kupershmidt族的非線性可積耦合 147
第5章 孤子方程的精確解 151
5.1 代數幾何解發展簡介 151
5.2 廣義Kaup-Newell方程的Hamilton結構和代數幾何解 152
5.2.1 廣義Kaup-Newell方程 152
5.2.2 廣義Kaup-Newell方程族的Hamilton結構 155
5.2.3 可解的常微分方程 157
5.2.4 廣義Kaup-Newell方程的代數幾何解 161
5.3 廣義Broer-Kaup-Kupershmidt 孤子方程的擬周期解 167
5.3.1 Lenard序列與孤子族 167
5.3.2 特征值問題的非線性化和守恆積分的對合性 170
5.3.3 橢圓坐標和可積性 173
5.3.4 流的拉直與擬周期解 176
5.3.5 小結 180
5.4 Darboux變換簡介 180
5.5 一個新孤子方程族的Darboux變換及其精確解 184
5.5.1 Lenard序列與孤子族 184
5.5.2 Darboux變換 187
5.5.3 精確解 193
5.6 Manakov方程的Darboux變換及其精確解 196
5.6.1 Manakov方程 196
5.6.2 Darboux變換 198
5.6.3 精確解 208
5.7 雙線性方法簡介 214
5.8 Hirota-Satsuma方程的 N-孤子解 216
5.9 一個 (2+1)-維淺水波方程的N-孤子解 219
參考文獻 226
索引 245
內容簡介
本書主要基於李代數上的符號計算，用不同的方法研究可積與超可積繫統的可積耦合，利用源生成理論研究其自相容源和守恆律，基於分數階微積分理論研究分數階的可積繫統與超可積繫統，很後研究孤子方程的擬周期解。本書適合代數及相關專業高年級本科生及研究生參考閱讀。
