●章微積分問題簡介1
1.1微積分學發展簡史1
1.2本書的主要內容4
第2章函數與序列6
2.1函數與映射6
2.1.1函數的定義與描述6
2.1.2常用超越函數的MATLAB計算7
2.1.3一般函數的MATLAB表示7
2.1.4函數的曲線與曲面表示8
2.2不同函數的MATLAB表示9
2.2.1反函數9
2.2.2復合函數9
2.2.3分段函數的描述10
2.2.4隱函數12
2.2.5參數方程13
2.2.6極坐標函數16
2.3奇函數與偶函數17
2.4復變函數與映射18
2.4.1復數矩陣及其變換18
2.4.2復變函數的映射18
2.4.3Riemann曲面的繪制19
2.5序列與函數項序列22
本章習題23
第3章函數與序列的極限26
3.1單變量函數的極限27
3.1.1單變量函數極限的φ-α定義27
3.1.2函數極限的計算機求解29
3.1.3復合函數的極限31
3.1.4序列的極限31
3.1.5分段函數的極限32
3.1.6無窮小量與無窮大量33
3.2單邊極限與函數連續性33
3.2.1左極限與右極限33
3.2.2函數的連續性35
3.2.3區間極限運算36
3.2.4函數連續性的應用方程解的判定37
3.3復函數的奇點、極點與留數38
3.3.1奇點與極點的計算38
3.3.2復變函數的留數39
3函數的極限41
3.4.1累極限41
3.4.2重極限及其計算42
本章習題44
第4章函數的導數與微分47
4.1函數的導數和高階導數48
4.1.1函數的導數與微分48
4.1.2函數導數與高階導數48
4.1.3復合函數的導數51
4.1.4分段函數的導數52
4.1.5矩陣的導數53
4.2參數方程的導數53
4函數的偏導數55
4.3.1偏導數55
4.3.2全微分58
4.3復合函數的導數58
4.4場的梯度、散度與旋度59
4.4.1標量場與向量場59
4.4.2梯度、散度與旋度59
4.4.3向量場的勢61
4函數的導數矩陣61
4.5.1Jacobi矩陣61
4.5.2Hesse矩陣62
4.5.3標量函數的Laplace算子63
4.6隱函數的偏導數63
4.6.1單個隱函數的一階導數63
4.6.2隱函數的高階導數64
4.6.3隱函數方程組的偏導數計算66
4.7導數與微分的應用68
4.7.1極值問題68
4.7.2Newton-Raphson迭代方法71
4.7.3曲面的切面方程與法線方程72
本章習題73
第5章函數的積分75
5.1單變量函數的不定積分76
5.2定積分與反常積分79
5.2.1定積分79
5.2.2廣義積分與反常積分81
5.3多重積分問題的MATLAB求解83
5.3.1多重不定積分84
5.3.2待定多項式的構造85
5.3.3多重定積分的計算86
5.3.4積分區域的處理與變換87
5.4定積分的應用88
5.4.1曲線弧長的計算88
5.4.2旋轉體的體積計算89
5.4.3三維圖形圍成的體積與質量計算90
5.4.4概率密度與分布函數91
5.4.5積分變換入門92
5.5曲線積分92
5.5.1類曲線積分93
5.5.2第二類曲線積分95
5.6曲面積分96
5.6.1類曲面積分96
5.6.2第二類曲面積分98
本章習題100
第6章級數展開與函數逼近103
6.1級數求和103
6.1.1數項級數的求和104
6.1.2無窮級數求和計算106
6.1.3函數項級數的求和108
6.1.4特殊的無窮項問題109
6.2無窮級數的收斂性判定111
6.2.1正項級數的一般描述111
6.2.2正項級數的收斂性判定111
6.2.3交替級數的收斂性判定113
6.2.4函數項級數的收斂區間114
6.3序列求積問題115
6.3.1數項序列的乘積115
6.3.2函數項序列的乘積116
6.3.3正項序列求積的收斂性判定116
6.4Taylor冪級數展開117
6.4.1單變量函數的Taylor冪級數展開118
6.4函數的Taylor冪級數展開121
6.5Fourier級數展開122
6.5.1Fourier級數的數學描述122
6.5.2Fourier級數的MATLAB實現123
6.6單變量函數的有理函數近似126
6.6.1函數的連分式近似126
6.6.2函數的Padé近似130
6.7Laurent級數展開131
6.7.1復變函數的Laurent級數展開131
6.7.2有理函數的Laurent級數133
本章習題135
第7章數值導數與微分139
7.1數值導數算法139
7.1.1前向差分與後向差分算法140
7.1.2o(h2)精度中心差分算法140
7.1.3o(h4)精度中心差分算法141
7.1.4更高精度的中心差分公式141
7.1.5一般高階差分公式的推導與計算142
7.1.6高精度前向與後向差分算法145
7.2數值導數計算的MATLAB實現146
7.2.1二階精度算法的實現147
7.2.2七點中心算法的實現148
7.2.3前向差分數值導數算法的實現149
7.3已知樣本點的任意階數值導數的求解函數151
7函數的偏導數計算153
7.4.1梯度計算153
7.4.2針對單變量的高精度偏導數算法154
7.4.3混合偏導數的數值計算156
7.4.4高階混合偏導數的數值計算157
7.5樣條插值與數值導數計算158
7.5.1三次樣條158
7.5.2B樣條161
7.5.3基於樣條的數值導數計算162
7.5.4不等間距樣本散點的數值偏導數計算165
本章習題167
第8章數值積分169
8.1由給定樣本點求數值積分169
8.1.1定積分的直接計算169
8.1.2積分函數的重建171
8.1.3等間距樣本點的高精度數值積分方法172
8.2單變量數值積分問題求解175
8.2.1簡單數值積分問題175
8.2.2數值積分問題的MATLAB求解176
8.2.3反常積分的數值計算180
8.2.4含參數函數的數值積分181
8.2.5積分函數的數值求解183
8.3雙重積分問題的數值解184
8.3.1雙重定積分的計算184
8.3.2雙重積分曲面的計算185
8.3.3不同積分順序的雙重積分計算方法185
8.4多重積分數值求解186
8.4.1三重定積分的數值求解187
8.4.2含參數函數的三重積分188
8.4.3多重積分數值求解189
8.4.4某些變邊界多重積分問題的數值求解方法191
8.5數值積分的其他計算方法191
8.5.1基於MonteCarlo方法的數值積分近似192
8.5.2基於樣條插值的數值積分194
8.5.3多重積分的數值計算196
本章習題197
第9章積分變換200
9.1Laplace變換及其反變換200
9.1.1Laplace變換及反變換的定義與性質201
9.1.2Laplace變換的計算機求解202
9.1.3用Laplace變換求解微分方程204
9.2Laplace變換問題的數值求解206
9.2.1數值Laplace反變換206
9.2.2閉環繫統響應的思想207
9.2.3數值Laplace變換208
9.2.4無理繫統的響應計算211
9.3Fourier變換及其反變換211
9.3.1Fourier變換及反變換定義與性質212
9.3.2Fourier變換的計算機求解212
9.3.3Fourier正弦和餘弦變換213
9.3.4離散Fourier正弦、餘弦變換215
9.3.5快速Fourier變換216
9.4其他積分變換問題及求解217
9.4.1Mellin變換217
9.4.2Hankel變換及求解219
9.5z變換及其反變換220
9.5.1z變換及反變換定義與性質221
9.5.2z變換的計算機求解221
9.5.3雙邊z變換223
9.5.4有理函數z反變換的數值求解223
本章習題224
0章分數階微積分228
10.1分數階微積分的定義229
10.1.1為什麼要引入分數階微積分的概念229
10.1.2分數階微積分的定義230
10.2不同分數階微積分定義的關繫與性質231
10.3Grünwald-Letnikov定義的數值實現232
10.3.1Grünwald-Letnikov定義232
10.3.2高精度算法與實現233
10.3.3不同精度算法的定量比較237
10.4Caputo微積分定義的數值計算239
10.5Oustaloup濾波算法及其應用241
10.5.1Oustaloup濾波器近似241
10.5.2Caputo導數的濾波器近似243
10.5.3基於Simulink的Caputo導數計算245
10.6更高階導數與積分的數值計算246
本章習題248
參考文獻249
MATLAB函數名索引251
術語索引255
內容簡介
本書按照一般的微積分學教材的編排方式，繫統地論述了基於MATLAB語言編程的方法來實現微積分問題的求解。全書內容包括函數與序列的描述及圖形繪制、極限問題的求解、導數與微分問題的求解、積分問題的求解、函數的逼近與級數求和、數值導數與數值積分等。此外，書中還概括性地介紹了積分變換、分數階微積分等內容。本書可以作為高等學校理工科各類專業的本科生與研究生學習計算機數學語言（MATLAB）的教材，也可以作為一般讀者學習微積分學的輔助教材，幫助讀者從另一個角度認識微積分學問題的求解方法，並可以作為查詢微積分數學問題求解方法的工具書。
