●專題1 函數與極限
1.1 基本概念與內容提要
1.1.函數基本概念
1.1.2 數列的極限
1.1.3 函數的極限
1.1.4 證明數列或函數極限存在的方法
1.1.5 無窮小量
1.1.6 無窮大量
1.1.7 求數列或函數的極限的方法
1.1.8 函數的連續性
1.2 競賽題與精選題解析
1.2.1 求函數的表達式(例1.1―1.3)
1.2.2 利用極限的性質與四則運算求極限(例1.4―1.17)
1.2.3 利用夾逼準則與單調有界準則求極限(例1.18―1.25)
1.2.4 利用兩個重要極限求極限(例1.26―1.29)
1.2.5 利用等價無窮小因子代換求極限(例1.30―1.31)
1.2.6 無窮小比較與無窮大比較(例1.32―1.33)
1.2.7 連續性與間斷點(例1.34―1.39)
1.2.8 利用介值定理的證明題(例1.40―1.44)
練習題一
專題函數微分學
2.1 基本概念與內容提要
2.1.1 導數的定義
2.1.2 左、右導數的定義
2.1.3 微分概念
2.1.4 基本初等函數的導數公式
2.1.5 求導法則
2.1.6 高階導數
2.1.7 微分中值定理
2.1.8 泰勒公式與馬克勞林公式
2.1.9 洛必達法則
2.1.10 導數在幾何上的應用
2.2 競賽題與精選題解析
2.2.1 利用導數的定義解題(例2.1―2.7)
2.2.2 利用求導法則解題(例2.8―2.10)
2.2.3 求高階導數(例2.11―2.21)
2.2.4 與微分中值定理有關的證明題(例2.22―2.40)
2.2.5 馬克勞林公式與泰勒公式的應用(例2.41―2.60)
2.2.6 利用洛必達法則求極限(例2.61―2.71)
2.2.7 導數在幾何上的應用(例2.72―2.87)
2.2.8 不等式的證明(例2.88―2.97)
練習題二
專題函數積分學
3.1 基本概念與內容提要
3.1.1 不定積分基本概念
3.1.2 基本積分公式
3.1.3 不定積分的計算
3.1.4 定積分基本概念
3.1.5 定積分中值定理
3.1.6 變限的定積分
3.1.7 定積分的計算
3.1.8 奇偶函數與周期函數定積分的性質
3.1.9 定積分在幾何與物理上的應用
3.1.10 反常積分
3.2 競賽題與精選題解析
3.2.1 求原函數(例3.1―3.4)
3.2.2 求不定積分(例3.5―3.16)
3.2.3 利用定積分的定義與性質求極限(例3.17―3.20)
3.2.4 應用積分中值定理解題(例3.21―3.25)
3.2.5 變限的定積分的應用(例3.26―3.41)
3.2.6 定積分的計算(例3.42―3.60)
3.2.7 定積分在幾何與物理上的應用(例3.61―3.74)
3.2.8 積分不等式的證明(例3.75―3.99)
3.2.9 積分等式的證明(例3.100―3.103)
3.2.10 反常積分(例3.104―3.111)
練習題三
專題函數微分學
4.1 基本概念與內容提要
4.1.函數的極限與連續性
4.1.2 偏導數與全微分
4.1.復合函數與隱函數的偏導數
4.1.4 高階偏導數
4.1.函數的極值
4.1.6 條件極值
4.1.函數的最值
4.2 競賽題與精選題解析
4.2.1函數的極限(例4.1―4.2)
4.2.函數的連續性、可偏導性與可微性(例4.3―4.8)
4.2.3復合函數與隱函數的偏導數(例4.9―4.21)
4.2.4 求高階偏導數(例4.22―4.31)
4.2.5函數的極值(例4.32―4.35)
4.2.6 求條件極值(例4.36―4.38)
4.2.7函數在有界閉域上的最值(例4.39―4.40)
練習題四
專題函數積分學
5.1 基本概念與內容提要
5.1.1 -二重積分基本概念
5.1.2 二重積分的計算
5.1.3 交換二次積分的次序
5.1.4 三重積分基本概念與計算
5.1.5 重積分的應用
5.1.6 曲線積分基本概念與計算
5.1.7 格林公式
5.1.8 曲面積分基本概念與計算
5.1.9 斯托克斯公式
5.1.10 高斯公式
5.2 競賽題與精選題解析
5.2.1 二重積分與二次積分的計算(例5.1―5.13)
5.2.2 交換二次積分的次序(例5.14―5.22)
5.2.3 三重積分的計算(例5.23―5.27)
5.2.4 與重積分有關的不等式的證明(例5.28―5.33)
5.2.5 曲線積分的計算(例5.34―5.35)
5.2.6 應用格林公式解題(例5.36―5.48)
5.2.7 曲面積分的計算(例5.49―5.51)
5.2.8 應用斯托克斯公式解題(例5.52―5.55)
5.2.9 應用高斯公式解題(例5.56―5.63)
5.2.1函數積分學的應用題(例5.64―5.71)
練習題五
專題6 空間解析幾何
6.1 基本概念與內容提要
6.1.1 向量的基本概念與向量的運算
6.1.2 空間的平面
6.1.3 空間的直線
6.1.4 空間的曲面
6.1.5 空間的曲線
6.2 競賽題與精選題解析
6.2.1 向量的運算(例6.1―6.5)
6.2.2 空間平面的方程(例6.6―6.7)
6.2.3 空間直線的方程(例6.8―6.11)
6.2.4 空間曲面的方程與空間曲面的切平面(例6.12―6.22)
6.2.5 空間曲線的方程與空間曲線的切線(例6.23―6.28)
練習題六
專題7 級數
7.1 基本概念與內容提要
7.1.1 數項級數的主要性質
7.1.2 正項級數斂散性判別法
7.1.3 任意項級數斂散性判別法
7.1.4 冪級數的收斂半徑、收斂域與和函數
7.1.5 初等函數關於x的冪級數展開式
7.1.6 傅氏級數
7.2 競賽題與精選題解析
7.2.1 判別正項級數的斂散性(例7.1―7.14)
7.2.2 判別任意項級數的斂散性(例7.15―7.24)
7.2.3 求冪級數的收斂域與和函數(例7.25―7.37)
7.2.4 求數項級數的和(例7.38―7.43)
7.2.5 求初等函數關於x的冪級數展開式(例7.44―7.48)
7.2.6 求函數的傅氏級數展開式(例7.49―7.50)
練習題七
專題8 微分方程
8.1 基本概念與內容提要
8.1.1 微分方程的基本概念
8.1.2 一階微分方程
8.1.3 二階微分方程
8.1.4 微分方程的應用
8.2 競賽題與精選題解析
8.2.1 求解一階微分方程(例8.1―8.7)
8.2.2 求解二階微分方程(例8.8―8.17)
8.2.3 解微分方程的應用題(例8.18―8.23)
練習題八
練習題答案與提示
內容簡介
本書分極限與連函數微分函數積分函數微分函數積分學、空間解析幾何、級數、微分方程等八個專題，每個專題又含“基本概念和內容提要”與“競賽題解析”兩個部分。本書競賽題選自全國、江蘇省、浙江省、上海市、北京市等省市普通高等學校非理科專業歷屆高等數學競賽試題，南京大學等靠前高校歷年大學數學競賽試題，以及莫斯科大學等國外高校大學生數學競賽試題。
