●前言
第6章拓撲空間及映射的極限與連續性279
6.1拓撲空間279
6.1.1拓撲空間的基本概念279
6.1.2度量空間284
6.1.3有限維線性賦範空間(歐氏空間Rm)294
6.2拓撲空間的連續映射299
6.2.1映射的極限299
6.2.2連續映射300
6.2.3壓縮映像原理304
6.2.4多變量函數和它的極限與連續性308
第7章多變量函數微分學318
7.1多變量函數的微分318
7.1.1函數在一點的微分318
7.1.2實值函數的偏導數與微分319
7.1.3映射的微分的坐標表示·雅可比矩陣322
7.1.4函數在一點的連續性、偏導數和可微性322
7.2微分法的基本定律323
7.2.1微分法運算的線性性質323
7.2.2復合映射的微分法325
7.2.3逆映射的微分法329
7.3多變量實值函數微分學的基本事實332
7.3.1中值定理332
7.3.2多變量函數可微性的充分條件334
7.3.3高階偏導數335
7.3.4泰勒公式338
7.3.5多變量函數的極值339
7.3.6與多變量函數有關的某些幾何形像344
7.4隱函數定理349
7.5隱函數定理的一些推論357
7.5.1反函數定理357
7.5.2局部地把光滑映射化為典則形式361
7.5.3函數的相關性365
7.5.4局部地分解微分同胚為最簡形式的復合367
7.5.5莫爾斯引理369
7.6Rn中的曲面和條件極值理論373
7.6.1Rn中的k維曲面373
7.6.2切空間377
7.6.3條件極值381
第8章重積分392
8.1n維區間上的黎曼積分392
8.1.1積分定義392
8.1.2黎曼可積的勒貝格準則394
8.1.3達布準則398
8.2集合上的積分400
8.2.1(有界)集上的積分400
8.2.2容許集401
8.2.3容許集的測度(體積)402
8.3積分的一般性質403
8.3.1積分的線性性質403
8.3.2積分的可加性404
8.3.3積分的估計405
8.4化重積分為累次積分407
8.4.1富比尼定理407
8.4.2一些推論409
8.5重積分中的變量替換414
8.5.1變量替換公式414
8.5.2預備知識414
8.5.3積分變量替換公式的證明419
8.5.4重積分變量替換公式的推廣420
8.6反常重積分424
8.6.1基本定義424
8.6.2反常積分——控制收斂判別法427
8.6.3反常積分——變量替換429
第9章流形(曲面)及微分形式434
9.1線性代數準備知識434
9.1.1形式代數434
9.1.2斜對稱形式代數435
9.1.3線性空間中的線性映射及共軛空間中的共軛映射438
9.2流形440
9.2.1流形的定義440
9.2.2光滑(無邊)曲面441
9.2.3帶邊流形445
9.2.4光滑流形與光滑映射446
9.2.5流形及其邊界的定向449
9.2.6單位分解454
9.2.7流形在其一點的切空間和餘切空間457
9.3流形上的微分形式464
9.3.1微分形式464
9.3.2外微分467
0章流形(曲面)上微分形式的積分475
10.1微分形式在流形上的積分475
10.1.1形式在流形上的積分475
10.1.2斯托克斯公式476
10.2曲線積分與曲面積分478
10.2.1曲面上微分形式的積分478
10.2.2體積形式484
10.2.3在笛卡兒坐標下體積形式的表示485
10.2.4參數曲面的面積487
10.2.5型與第二型積分492
10.2.6斯托克斯定理在曲面積分中的推論493
10.3流形上的閉形式與恰當形式500
10.3.1龐加萊定理500
10.3.2同調與上同調502
1章向量分析與場論初步507
11.1向量分析的微分運算507
11.1.1數量場與向量場507
11.1.2R3中的向量場與形式507
11.1.3微分算子grad,rot,div及▽509
11.1.4向量分析的一些微分公式511
11.1.5曲線坐標下的向量運算513
11.2場論的積分公式522
11.2.1用向量表示的經典積分公式522
11.2.2一些進一步的積分公式525
11.3勢場528
11.3.1向量場的勢528
11.3.2勢場的必要條件529
11.3.3向量場具有勢的判別準則530
11.3.4區域的拓撲結構與勢532
11.3.5向量勢、恰當形式與閉形式534
11.4應用例子537
11.4.1熱傳導方程537
11.4.2連續性方程539
11.4.3連續介質動力學基本方程540
11.4.4波動方程542
內容簡介
《數學分析講義(第二卷)》始於實數的基本理論。接著微積分學,包括極限、連續、級數、微分、復數、積分等,重視它對現代數學的啟迪,適時介紹些抽像概念(如對基的極限),以利於拓展到一般分析學。其次探討拓撲空間(特別是度量空間、歐氏空間Rn)的映射,微積分學,其中涉及隱函數定理、集合上的積分、流形(特別是Rn中的曲面)及微分形式、流形(特別是曲線與曲面)上微分形式的積分、向量分析與場論。繼而研究線性賦範空間中的微分學、函數項級數與函數族的基本分析運算、含參變量的積分(特別是函數的卷積與廣義函數等)、傅裡葉變換、漸近展開等。《數學分析講義(第二卷)》分3卷出版,《數學分析講義(第二卷)》為第二卷。、二卷大體上適合那些僅安排在1學年時間內學習“數學分析”課程的學生,而全套則可用以安排3個或4個學期的“數學分析”課程。