從趙爽弦圖到希爾伯特第三問題，本書講述了一個跨文化、跨時代的數學故事。書中介紹了不同民族、不同時代的數學家對勾股定理、體積理論等問題鍥而不舍的探索和殊途同歸的貢獻，使我們看到了中外數學家對相同問題所展現的東西異趣而又富有啟迪的智慧，看到了現代數學知識的多種文化來源。

數學文化小叢書精選對人類文明發展起過重要作用、在深化人類對世 界的認識或推動人類對世界的改造方面有某種裡程碑意義的主題，深入淺 出地介紹數學文化的豐富內涵、數學發展史中的一些重要篇章以及一些著 名數學家的歷史功績和優秀品質等內容，適於包括中學生在內的讀者閱讀 。

一、趙爽弦圖
弦圖證明勾股定理
商高答周公
陳子與勾股定理一般形式
勾股定理與量天測地
二、勾股定理證明異趣
古代傳說
從畢達哥拉斯到歐幾裡得
從劉徽到關孝和
總統的證明及其他
三、出入相補原理
運用出入相補原理的傑作
花拉子米與出入相補原理
四、體積計算東西談
劉徽的“陽馬術”與歐幾裡得的“魔鬼階梯”
球體積——阿基米德與祖衝之
五、希爾伯特第三問題
高斯的抱怨
希爾伯特的猜測
德恩反例
現代體積理論的發展
參考文獻

現代體積理論的發展 希爾伯特第三問題是希爾伯特在1900年巴黎**數學家大會上提出的 23個數學問題之一，因排列第三而名。這23個問題是希爾伯特總結以往數 學研究的成果和發展趨勢而提出，它們涉及現代數學的許多領域，其研究 有力地推動了20世紀數學的發展。
就第三問題而言，它是*先獲解的希爾伯特數學問題。據說德恩宣告 解決這一問題時，希爾伯特《數學問題》的演講全文還在印刷之中。德恩 的解答激發了數學家們對體積理論的新的興趣。他的理論隨後被其他數學 家進一步發展和完善了。其中突出的結果，如西德勒(J-P.Sydler)1943年 證明了空間情形剖分相等與拼補相等概念的等價性；1965年證明了德恩條 件不僅是兩多面體剖分相等的必要條件，同時也是充分條件(德恩一西德勒 定理)。特別是20世紀50年代出現的瑞士幾何學家哈德威格(H.Hadwiger)等 的繫統成果，用*現代的方法處理並深化了德恩的理論，同時將其推廣到n 維空間。所有這些工作都使體積理論獲得了比以往*穩固的基礎。
德恩解決希爾伯特第三問題時年僅22歲，他後來的研究興趣從幾何基 礎轉向代數拓撲。代數拓撲學在當時是一個新興的領域，1907年德恩與赫 格(P.Heegaard)聯名發表於《數學科學百科全書》的論文《位置分析》， 是該領域早期較為繫統的貢獻。代數拓撲學的重要課題是尋求曲面(或一般 流形)在連續變換下保持不變的所謂“不變量”，而在希爾伯特第三問題的 解決中發揮了重要作用的“德恩不變量”，與此不無相通之處。德恩1922 年成為法蘭克福大學教授。也許是受希爾伯特的影響，德恩主張科學的多 元文化來源。他是**的法蘭克福數學史討論班的主要組織者之一，這個 討論班研究不同文化的經典數學文獻，為此德恩還專門學習過中文。法蘭 克福數學史討論班從1921年延續到1935年，韋依(A.Weil)、西格爾 (C.L.Siegel)等都是其重要成員。1938年以後，希特勒排猶風潮塵囂甚上 ，德恩被迫舉家逃亡，輾轉丹麥、挪威等地，1941年，已經年逾花甲的德 恩移居美國。
希爾伯特第三問題表面上似乎隻是尋求反例的初等幾何問題，但希爾 伯特是在他發表《幾何基礎》這部重要著作之後提出這一問題的，其深刻 用意，就是想推動現代體積理論的發展。在這個意義上，通過第三問題的 解決，希爾伯特的初衷可以說是基本實現了。
希爾伯特是20世紀***的數學家之一。他1862年生於以“哥尼斯堡 七橋問題”而聞名於數學史的德國哥尼斯堡城(今俄國境內加裡寧格勒)， 1895年來到高斯長期執教的格丁根大學，並與另一位**德國數學家克萊 茵攜手將格丁根建成為蜚聲世界的數學中心。希爾伯特的《幾何基礎》已 成為現代公理化方法的經典之作，他能以**嚴格的眼光追根窮底、探究 多面體體積的奧秘並提出“第三問題”，從而奠定現代體積理論的基礎， 這是不奇怪的。希爾伯特的數學貢獻當然遠不止於幾何基礎。他的典型研 究風格是直攻重要的數學問題，從中尋找帶普遍性的方法。用這種方式， 希爾伯特在幾何基礎、代數數論、積分方程與變分法、數理邏輯、理論物 理等眾多的領域裡作出了歷史性的貢獻。正是通過自己數學研究的切身體 會，希爾伯特認識到在科學研究中問題的重要意義，恰如他在提出其影響 深遠的23個數學問題的巴黎演講中所指出的那樣： “正如人類的每項事業都追求著確定的目標一樣，數學研究也需要自 己的問題。”“隻要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力 ；而問題缺乏則預示著獨立發展的衰亡或中止。” 除了傑出的學術成就，希爾伯特作為一位正直的、堅持正義的學者， 在**科學界也受到普遍的尊敬。這裡特別要提到的是他在科學上的** 主義精神。希爾伯特始終認為數學是不分民族、沒有國界的文化，因而反 對一切政治的、種族的和傳統的偏見，強調廣泛的學術文化交流。在** 次世界大戰初，他冒著極大的個人風險拒*在德國政府的戰爭“宣言”上 簽名；第二次世界大戰期間，他對希特勒的排猶運動表示了無比的憤慨和 抵制，這種瘋狂的種族主義使一個碩果累累的**性學派——希爾伯特親 手締造的格丁根數學學派遭受了致命的打擊。
從古代出入相補原理到現代體積理論，我們講述了一個跨文化、跨時 代的故事，我們看到了不同民族不同時代的數學家對同一些問題的關注、 鍥而不舍的探索和富有啟迪的智慧；看到了現代數學知識的多種文化來源 ；看到了中國古代數學家對這些問題的**貢獻。我們以希爾伯特說過的 話來結束這個故事： “對於數學來說，整個文明世界就是一個**！” “我們必須知道，我們必將知道！” P59-62