了得網少兒_精美數學/青少年科普叢書

數的發展數繫家族成員的壯大數，是數學中的基本概念，也是人類文明的重要組成部分。數的概念的每一次擴充都標志著數學的巨大飛躍。一個時代的人們對於數的認識與應用，以及數繫理論的完善程度，反映了當時數學發展的水平。**，我們所應用的數繫，已經構造的十分完備和縝密，以至於在科學技術和社會生活的一切領域中，它都成為基本的語言和不可或缺的工具。
人類在進化的蒙昧時期，就具有了一種“識數”的纔能，並發明了種種計數方法。隨著人類社會的進步，數的語言也在不斷發展和完善。數繫發展的第一個裡程碑出現了——位置制計數法。所謂位置制計數法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數的排列，以表示不同的數。引起歷史學家、數學史家興趣的是，在自然環境和社會條件影響下，不同的文明創造了迥然不同的計數方法。如巴比倫的楔形數字繫統、埃及像形數字繫統、希臘字母數字繫統、瑪雅數字繫統、印度一阿拉伯數字繫統和中國的算籌計數繫統。
“0”作為計數法中的空位，在位置制計數的文明中是不可缺少的。早期的巴比倫楔形文字和宋代以前的中國籌算計數法，都是留出空位而沒有符號。
印度人起初也是用空位表示零，後來記成點號“·”，*後發展為圈號。印度數碼在公元8世紀傳入阿拉伯**。13世紀初，意大利的商人斐波那契編著《算經》，把包括零號在內完整的印度數碼介紹到了歐洲。印度數碼和10進位位置制計數法被歐洲人普遍接受後，它們在歐洲的科學和文明的進步中扮演了重要的角色。
人類**個認識的數繫，就是常說的“自然數繫”。但是，隨著人類認識的發展，自然數繫的缺陷也就逐漸顯露出來。首先，自然數繫是一個離散的、而不是稠密的數繫，因此，作為量的表征，它隻能限於去表示一個單位量的整數倍，而無法表示它的部分。同時，作為運算的手段，在自然數繫中隻能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運算。這些缺陷，由於分數和負數的出現而得以彌補。有趣的是這些分數也都帶有強烈的地域特征。巴比倫的分數是 60進位的，埃及采用的是單分數，阿拉伯的分數*加復雜：單分數、主分數和復合分數。這種繁復的分數表示必然導致分數運算方法的繁雜，所以歐洲分數理論長期停滯不前，直到15世紀以後纔逐步形成現代的分數算法。與之形成鮮明對照的是中國古代在分數理論上的**貢獻。原始的分數概念來源於對量的分割。但旱。《九章算術》中的分數是從除法運算引入的。中國古代分數理論的高明之處是它借助干“齊同術”把握住了分數算法的精髓：通分。而分數繫是一個稠密的數繫，它對於加、乘、除三種運算是封閉的。為了使得減法運算在數繫內也通行無阻，負數的出現就是必然的了。盈餘與不足、收入與支出、增加與減少是負數概念在生活中的實例。
負數雖然通過阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀和17世紀的大多數數學家並不承認它們是數，或者即使承認了也並不認為它們是方程的根。如丘凱和斯蒂費爾都把負數說成是荒謬的數，是“無稽之零下”。卡丹把負數作為方程的根，但認為它們是不可能的解，僅僅是一些記號；他把負根稱作是虛有的。
韋達**不要負數，巴斯卡則認為從O減去4純粹是胡說。負數是人類**次越過正數域的範圍。在數繫發展的歷史進程中，現實經驗有時不僅無用，反而會成為一種阻礙。
無理數的發現經歷了一個漫長的過程。古希臘人把有理數視為是連續銜接的，然而，一條直線上的有理數盡管“稠密”，但是它卻露出了許多“孔隙 ”，而且這種“孔隙”多得“不可勝數”。15世紀達·芬奇把它們稱為是“無理的數”，開普勒稱它們是“不可名狀”的數。這些“無理”而又“不可名狀” 的數，雖然在後來的運算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實實在在的數，卻一直是個困擾人的問題。中國古代數學在處理開方問題時，也不可避免地踫到無理根數。對於這種“開之不盡”的數，《九章算術》直截了當地“以面命之” 予以接受，劉徽注釋中的“求其微數”，實際上是用10進小數來無限逼近無理數。
17、18世紀微積分的發展幾乎吸引了所有數學家的注意力，恰恰是人們對微積分基礎的關注，使得實數域的連續性問題再次凸顯出來。因為，微積分是建立在極限運算基礎上的變量數學，而極限運算，需要一個封閉的數域。無理數正是實數域連續性的關鍵。法國數學家柯西給出了回答：無理數是有理數序列的極限。然而按照柯西的極限定義，所謂有理數序列的極限，指預先存在一個確定的數，使它與序列中各數的差值，當序列趨於無窮時，可以任意小。
1872年，克萊因提出了**的“埃爾朗根綱領”，維爾斯特拉斯給出了處處連續但處處不可微函數的**例子。同時，實數的三大派理論：戴德金的“分割 ” 理論、康托的“基本序列”理論以及維爾斯特拉斯的“有界單調序列”理論在德國出現。實數的三大派理論本質上是對無理數給出嚴格定義，從而建立了完備的實數域。實數域的構造成功，使得2000多年來存在於算術與幾何之間的鴻溝得以**填平，無理數不再是“無理的數”了。
復數概念的進化與無理數的認可同時進行。1545年，此時的歐洲人尚未完全理解負數、無理數，然而他們又面臨一個新的“怪物”的挑戰，當時人們對復數充滿懷疑。直到18世紀，數學家們發現，在數學的推理中間步驟中用了復數，結果都被證明是正確的。特別是1799年，高斯關於“代數基本定理”的證明必須依賴對復數的承認，從而使復數的地位得到了近一步的鞏固。1797年，挪威的韋塞爾寫了一篇論文“關於方向的分析表示”，試圖利用向量來表示復數，遺憾的是這篇文章的重大價值直到1897年譯成法文後，纔被人們重視。
瑞士人阿甘達給出復數的一個稍微不同的幾何解釋，他注意到負數是正數的一個擴張，它是將方向和大小結合起來得出的。在澄清復數概念的lT作中，愛爾蘭數學家哈米爾頓是**重要的。哈米爾頓所關心的是算術的邏輯，並不滿足於幾何直觀。他指出：復數a+bi不是2+3意義上的一個真正的和，加號的使用是歷史的偶然，而bi不能加到a上去。復數a+bi隻不過是實數的有序數對(a ， b)，並給出了有序數對的四則運算，同時，這些運算滿足結合律、交換率和分配率。在這樣的觀點下，復數被邏輯地建立在實數的基礎上。
由於科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。
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