●《博士後文庫》序言
前言
第1章 概論 1
1.1 黎曼流形優化理論的內涵 1
1.2 黎曼流形優化理論的研究現狀 3
1.2.1 黎曼流形優化理論的發展歷史 3
1.2.2 黎曼流形優化理論的相關應用 4
1.3 本章小結 10
第2章 黎曼流形優化的幾何基礎 11
2.1 光滑流形 11
2.2 切空間 13
2.3 流形之間的映射 15
2.4 嵌入子流形 17
2.5 商流形 17
2.5.1 李群作用下的商流形 18
2.5.2 齊性空間下的商流形 19
2.5.3 商流形的切空間 19
2.6 黎曼結構和梯度 20
2.6.1 黎曼子流形 22
2.6.2 黎曼商流形 23
2.7 仿射聯絡和黎曼 Hessian 24
2.7.1 黎曼子流形的聯絡 26
2.7.2 黎曼商流形的聯絡 26
2.8 流形上的曲線 27
2.8.1 指數映射、收縮與對數映射 28
2.8.2 並行移動 30
2.8.3 曲率 32
2.9 定秩對稱半正定矩陣的嵌入幾何 33
2.9.1 嵌入子流形 34
2.9.2 半代數幾何中的嵌入子流形 38
2.9.3 切空間 38
2.9.4 黎曼度量 40
2.9.5 正交空間 40
2.9.6 正交投影 41
2.9.7 Levi-Civita 聯絡 42
2.9.8 測地線 42
2.10 常用的流形 43
2.11 Grassmann 流形和 Stiefel 流形的幾何結構 44
2.12 本章小結 48
第3章 基於收縮的黎曼流形優化理論與方法 49
3.1 線搜索和收縮 50
3.2 黎曼最速下降法 52
3.3 黎曼牛頓法 53
3.4 黎曼共軛梯度法 54
3.5 黎曼信賴域法 57
3.5.1 基本黎曼信賴域法 57
3.5.2 收斂性分析 61
3.5.3 黎曼信賴域的實現細節 70
3.6 黎曼擬牛頓法 71
3.6.1 歐氏空間上的割線條件 71
3.6.2 黎曼流形上的割線條件 74
3.6.3 Broyden 繫列黎曼擬牛頓法 75
3.6.4 全局收斂性分析 78
3.7 本章小結 83
第4章 低秩流形收縮 84
4.1 引言 84
4.2 低秩流形及收縮 84
4.2.1 低秩流形及收縮的基本概念 85
4.2.2 流形上的收縮 87
4.2.3 計算量分析 87
4.3 八種低秩流形收縮 88
4.3.1 投影收縮 88
4.3.2 正交收縮 89
4.3.3 緊 Stiefel 商收縮 90
4.3.4 非緊 Stiefel 商收縮 91
4.3.5 簡單二階收縮 92
4.3.6 簡單二階平衡收縮 93
4.3.7 Lie-Trotter 擴展收縮 94
4.3.8 指數收縮 96
4.4 數值仿真與實驗分析 96
4.4.1 點對點距離對比 97
4.4.2 二階特性分析 98
4.4.3 對稱性分析 98
4.4.4 運行時間對比 98
4.5 低秩矩陣填充 99
4.6 本章小結 102
第5章 基於 Grassmann 流形優化的鋻別性結構化字典學習及應用 103
5.1 引言 103
5.2 問題建模 105
5.3 基於 Grassmann 流形優化的鋻別性結構化字典學習 107
5.3.1 交替最小化 107
5.3.2 黎曼共軛梯度 109
5.3.3 收斂性分析 110
5.3.4 計算復雜度分析 111
5.3.5 實現細節 112
5.4 圖像復原實驗結果 112
5.4.1 實驗參數及配置 112
5.4.2 示例 114
5.4.3 去除混合高斯和隨機衝擊噪聲的實驗結果 115
5.4.4 去除混合高斯、椒鹽噪聲和隨機衝擊噪聲的實驗結果 118
5.4.5 三個圖像數據集的實驗結果 121
5.4.6 算法時間復雜度對比分析實驗 121
5.5 本章小結 122
第6章 基於黎曼流形優化的多源多波段圖像融合 123
6.1 引言 123
6.2 基於低秩先驗的多源多波段圖像融合 124
6.2.1 多源多波段圖像觀測模型 124
6.2.2 線性混合模型 125
6.2.3 基於低秩先驗的多源多波段圖像融合模型 125
6.3 基於黎曼流形優化的多源多波段圖像融合模型求解 126
6.3.1 交替最小化 126
6.3.2 求解子問題 128
6.4 多源多波段圖像融合實驗及融合性能分析 132
6.4.1 實驗參數 132
6.4.2 實驗結果及融合性能分析 133
6.5 本章小結 136
第7章 基於黎曼流形優化的特征值問題求解 137
7.1 引言 137
7.2 基於黎曼最速下降的特征值問題求解 139
7.2.1 單位球面約束的 Rayleigh 商最小化 139
7.2.2 Stiefel 流形上的 Brockett 函數最小化 140
7.3 黎曼最速下降法收斂性分析 142
7.3.1 流形的收斂特性 142
7.3.2 最速下降法收斂性 143
7.3.3 不動點的穩定性 144
7.4 基於黎曼牛頓的特征值問題求解 145
7.4.1 特征值問題的黎曼 Hessian 145
7.4.2 定秩流形上的 Jacobi 修正方程 147
7.4.3 子空間加速 154
7.4.4 計算復雜度分析 155
7.4.5 局部方程的塊 Jacobi 預條件 155
7.5 數值仿真實驗 157
7.5.1 數值仿真實驗一 158
7.5.2 數值仿真實驗二 159
7.5.3 數值仿真實驗三 160
7.5.4 數值仿真實驗四 160
7.6 本章小結 161
參考文獻 162
附錄 184
編後記 191

黎曼流形優化是近年來信息科學領域發展起來的一門新興學科，是在黎曼流形上使用微分幾何方法研究很優化問題，是很優化理論與方法的重要組成部分。本書分7章，分別總結了黎曼流形優化理論的內涵及其研究現狀，介紹黎曼幾何及其幾何結構，論述基於收縮的黎曼流形優化理論與方法，介紹低秩流形收縮，闡述黎曼流形優化方法在鋻別性結構化字典學習中的應用，重點介紹黎曼流形優化方法在多源多波段圖像融合中的應用，最後給出了黎曼流形優化方法在特征值問題中的應用。