●前言
第1章 張量代數的基本知識 1
1.1 矢量、指標記法、Kronecker符號與置換符號 1
1.1.1 矢量 1
1.1.2 指標記法與Kronecker符號 3
1.1.3 置換符號 4
1.1.4 矢量的坐標變換 7
1.2 二階張量的定義 9
1.2.1 定義為線性變換的二階張量及其分量表示 9
1.2.2 兩矢量之間的並乘、二階張量的表示及其與矢量的點積 11
1.3 二階張量的基本運算規則 13
1.3.1 二階張量的和與標量乘 13
1.3.2 二階單位張量 14
1.3.3 二階張量之間的點積 15
1.3.4 二階張量的轉置：對稱張量和反對稱張量 16
1.3.5 二階張量的逆 18
1.3.6 二階張量之間的雙點積 20
1.3.7 二階張量的跡 21
1.3.8 二階張量的坐標變換 22
1.4 二階張量的主不變量、特征值和特征矢量 23
1.4.1 主不變量 23
1.4.2 餘因子張量 25
1.4.3 特征值和特征矢量 28
1.5 二階張量的冪與Hamilton-Cayley定理 30
1.6 對稱張量 32
1.6.1 特征值與特征矢量 32
1.6.2 偏張量及其特征值與特征矢量 33
1.6.3 對稱張量的另外一種分解 37
1.6.4 對稱張量的正定性 39
1.7 反對稱張量 41
1.8 正交張量 44
1.8.1 正交張量的定義 44
1.8.2 非正常正交張量 45
1.8.3 正常正交張量使用反對稱張量的表示 48
1.8.4 正交張量的Euler角表示 51
1.9 高階張量 51
1.9.1 三階張量 51
1.9.2 四階張量 54
1.9.3 高階張量 56
1.9.4 張量的方積與四階單位張量 57
1.9.5 四階張量的特征張量與特征值 59
第2章 張量分析初步 63
2.1 張量函數 63
2.2 張量函數的線性化與方向導數 65
2.2.1 基本定義與性質 65
2.2.2 若干例子 68
2.3 張量函數的梯度 70
2.3.1 標量值張量函數的梯度 70
2.3.2 張量值張量函數的梯度 74
2.4 張量函數的時間導數 76
2.5 張量場 80
2.5.1 梯度 80
2.5.2 散度 83
2.5.3 旋度 84
2.5.4 Laplace算子和Hessian算子 85
2.5.5 積分定理 86
2.6 各向同性張量函數 89
2.6.1 標量值各向同性函數 89
2.6.2 張量值各向同性函數 92
2.6.3 各向同性張量 93
2.7 各向同性標量值張量函數表示定理 95
2.7.1 自變量為一個對稱張量的標量值各向同性函數 95
2.7.2 自變量為一個對稱張量和一個矢量的標量值各向同性函數 96
2.7.3 自變量為多個對稱張量和反對稱張量的標量值各向同性函數 96
2.8 各向同性張量值張量函數表示定理 101
2.8.1 自變量為一個對稱張量的張量值各向同性函數 101
2.8.2 自變量為一個張量和一個矢量的張量值各向同性函數 104
2.8.3 自變量為兩個對稱張量的對稱張量值和反對稱張量值的各向同性函數 105
2.8.4 自變量為一個對稱張量和一個反對稱張量的對稱張量值和反對稱張量值的各向同性函數 110
第3章 變形幾何 113
3.1 連續介質 113
3.2 構形與運動 114
3.3 變形梯度 116
3.4 伸長與變形張量 119
3.4.1 伸長比與變形張量 119
3.4.2 主伸長比與主方向 121
3.5 變形梯度的極分解——伸長和轉動 123
3.5.1 極分解 123
3.5.2 變形橢球 125
3.5.3 變形梯度和正交張量的主軸表達 127
3.5.4 伸長張量U使用C及其主值的閉合表示 128
3.6 幾個簡單變形實例的分析 129
3.6.1 均勻拉伸 129
3.6.2 平面變形 130
3.6.3 簡單剪切 132
3.6.4 扭轉 138
3.6.5 彎曲 140
3.6.6 不可伸長約束與方向轉動約束 142
3.7 體積比、面積比與剪切角 144
3.7.1 體積比 144
3.7.2 面積比 145
3.7.3 剪切角 146
3.8 等體積變形與變形的分解 147
3.9 Green和Almansi應變張量 149
3.9.1 Green應變張量 149
3.9.2 Almansi應變張量 152
3.10 參考構形轉動與當前構形轉動下變形張量的變換 156
3.10.1 參考構形轉動 156
3.10.2 當前構形轉動 157
3.11 Hill應變度量、Seth應變度量 158
3.11.1 Hill應變度量 158
3.11.2 Seth應變度量 159
3.12 幾何線性化 163
3.12.1 變形梯度及其逆的線性化 163
3.12.2 Green應變張量的線性化 164
3.12.3 其他變形張量的線性化 165
3.12.4 體積比的線性化 167
3.13 變形梯度的相容性 167
第4章 運動分析 169
4.1 物質時間導數 169
4.2 剛體運動與旋率的概念 172
4.3 速度梯度與變形梯度的物質時間導數 173
4.4 各種幾何量的時間率及變形率與物質旋率的意義 175
4.4.的長度率和方向率 175
4.4.2 剪切率 177
4.4.3 變形率和物質旋率的意義 177
4.4.4 體積率 179
4.4.5 面積率 179
4.5 變形率意義的進一步解釋 180
4.6 速度梯度的另一種分解 182
4.7 應變張量的物質時間導數 183
4.8 以當前構形作為參考構形 187
4.9 幾種旋率 190
4.9.1 Lagrange旋率 190
4.9.2 Euler旋率 192
4.9.3 相對旋率 194
4.9.4 對數旋率 194
4.9.5 旋率不依賴坐標繫的表示 195
4.9.6 討論 200
4.10 Hill應變度量、Seth應變度量的物質時間導數 202
4.10.1 分量表示的物質應變率和空間應變率 202
4.10.2 對數應變的時間率 203
第5章 基本力學定律 209
5.1 Reynold輸運定理 209
5.2 質量守恆定律 212
5.3 Reynold第二輸運定理 213
5.4 動量守恆定律與動量矩守恆定律 213
5.4.1 慣性參考繫、動量和動量矩 213
5.4.2 應力矢量和體積力 214
5.4.3 動量守恆和動量矩守恆 216
5.5 Cauchy應力原理與運動方程 217
5.5.1 Cauchy應力原理 217
5.5.2 運動方程 221
5.5.3 Cauchy應力的對稱性 223
5.5.4 運動方程的等價形式 224
5.6 功率關繫及機械能守恆 224
5.6.1 剛體運動上廣義外力所做功率 224
5.6.2 內力功率 225
5.6.3 機械能守恆 226
5.7 固定空間區域的基本力學定律 227
5.8 參考構形上的基本力學定律 228
5.8.1 第一P-K應力的定義 229
5.8.2 動量守恆與動量矩守恆 231
5.8.3 機械能守恆 232
5.9 應力度量的進一步討論 233
5.9.1 幾種常用的應力度量 233
5.9.2 與Hill應變度量、Seth應變度量功共軛的應力度量 239
5.9.3 參考構形變換與當前構形轉動下應力張量的變換 243
5.9.4 應力張量的分解 245
5.10 虛位移原理——動量守恆定律的弱形式 246
5.10.1 虛位移 247
5.10.2 當前構形上的虛位移原理 248
5.10.3 參考構形上的虛位移原理 249
5.11 以當前構形作為參考構形的應力 250
5.12 應力的物質時間導數 251
5.12.1 應力度量物質時間導數之間的關繫與它們受剛體轉動的影響 251
5.12.2 以當前構形作為參考構形 253
5.12.3 應力的線性化 255
5.13 熱力學中的幾個基本概念 256
5.14 熱力學第一定律 257
5.15 熱力學第二定律 259
5.15.1 熱力學第二定律的經典表述 259
5.15.2 連續介質的Clausius-Duhem不等式 265
5.16 參考構形中的熱力學定律 268
第6章 客觀性及其原理 270
6.1 隨體(曲線)坐標 270
6.1.1 物質曲線坐標與空間曲線坐標繫 271
6.1.2 隨體坐標繫 272
6.2 前推後拉運算 273
6.2.1 矢量的前推後拉運算 273
6.2.2 張量的前推後拉運算 274
6.2.3 應力張量前推後拉的進一步討論 276
6.3 隨體導數 277
6.4 Lie導數 278
6.5 客觀性 280
6.5.1 觀察者改變(Euclid變換) 280
6.5.2 客觀張量 282
6.5.3 一些運動量在觀察者改變下的轉換 284
6.6 客觀率 286
6.6.1 Jaumann率與隨體率 286
6.6.2 其他客觀率 289
6.6.3 以當前構形為參考構形 290
6.6.4 討論 291
6.6.5 第一P-K應力的客觀率 292
6.7 標架無差異原理 293
6.8 標架無差異原理應用於熱力學第一定律 295
第7章 本構原理 299
7.1 本構方程的一般性原理 300
7.1.1 決定性原理 300
7.1.2 局部原理 300
7.1.3 本構方程的標架無差異原理 302
7.2 簡單物質定義的參考構形無關性 304
7.3 本構方程的簡化 305
7.4 物質對稱性 306
7.4.1 對稱群的概念 306
7.4.2 對稱群的性質 308
7.4.3 正交張量屬於對稱群的充分必要條件 310
7.4.4 討論 310
7.5 物質分類 312
7.5.1 各向同性物質 312
7.5.2 簡單流體 314
7.5.3 固體 317
7.5.4 流晶 320
7.6 物質內部約束 321
7.7 本構響應泛函針對不同物質性質的進一步簡化 325
7.7.1 無記憶的彈性物質——狀態函數型 325
7.7.2 有限記憶的黏彈性物質——微分型 326
7.7.3 記憶衰退與有限線性黏彈性物質——積分型 328
7.7.4 內變量型 329
7.8 各向異性與結構張量 330
7.9 各向同性函數的幾個重要性質 332
7.9.1 性質之一 332
7.9.2 性質之二 333
7.9.3 性質之三 335
7.9.4 性質之四 336
第8章 Cauchy彈性和超彈性 338
8.1 Cauchy彈性材料 338
8.1.1 材料的對稱性 339
8.1.2 各向同性材料 340
8.1.3 橫觀各向同性材料 341
8.1.4 正交各向異性材料 344
8.1.5 各向異性材料的空間描述 345
8.2 超彈性材料 346
8.2.1 各向同性材料 349
8.2.2 使用對數應變描述 353
8.2.3 各向異性材料 354
8.2.4 不可壓縮材料 357
8.2.5 近不可壓縮材料 360
8.2.6 本構約束 362
8.3 各向同性本構方程的一般表示 362
8.3.1 正交化的基張量 363
8.3.2 Cauchy彈性的表示 367
8.3.3 超彈性的表示 368
8.4 Neo-Hookean及其他幾種常用的各向同性超彈性材料模型 372
8.4.1 可壓縮 372
8.4.2 不可壓縮 375
8.4.3 其他幾種材料模型 375
第9章 彈性邊值問題分析 379
9.1 邊值問題的提法 379
9.1.1 基本方程 379
9.1.2 邊界條件 380
9.2 極值原理 382
9.3 解不專享與不穩定的簡單例子 383
9.4 立方體受均勻拉力作用 386
9.5 球殼球對稱變形 389
9.6 圓柱形薄壁管的軸對稱變形 394
9.7 長方體塊彎曲為(扇形)圓柱塊 397
9.8 不可壓縮Neo-Hookean材料平面應變問題 400
9.8.1 基本方程 400
9.8.2 基本方程在平面應變下的表示 401
9.8.3 矩形塊單向受壓(兩個承壓面上無側向變形) 402
9.9 能動量張量與守恆 405
第10章 彈性增量變形 412
10.1 本構方程的增量(率) 形式 412
10.1.1 物質彈性張量 412
10.1.2 空間彈性張量 413
10.1.3 兩點彈性張量 416
10.1.4 瞬時彈性張量 416
10.2 彈性張量的表示 417
10.2.1 相對固定的主軸坐標繫Ai 418
10.2.2 相對柱坐標繫Λ,Φ,Z 421
10.2.3 彈性張量的逆 424
10.3 Neo-Hookean超彈性材料 427
10.3.1 彈性張量 427
10.3.2 儲能函數形式選取的原因 428
10.3.3 不可壓縮與近不可壓縮 430
10.4 次彈性 432
10.4.1 一般表達式 432
10.4.2 一種特殊的不變性 435
10.4.3 專享可積的次彈性模型 440
10.5 邊值問題的增量提法——基本方程的線性化 441
10.5.1 一般參考構形 441
10.5.2 以當前構形作為參考構形 442
10.6 率(增量)形式的虛功率原理——虛功率原理的線性化 445
10.6.1 一般參考構形 445
10.6.2 以當前構形作為參考構形 447
第11章 彈性穩定性 449
11.1 全局解的專享性與穩定性 449
11.1.1 全局解的專享性 449
11.1.2 全局解的穩定性 451
11.2 增量解的專享性與穩定性 453
11.2.1 增量解的專享性 453
11.2.2 增量解的穩定性 454
11.2.3 儲能函數非凸 456
11.3 分叉分析 458
11.4 變形局部化與橢圓性 465
11.5 強橢圓性 467
11.6 準凸性和多凸性 469
11.7 本構不等式 469
11.8 小變形各向同性線性彈性體中的彈性波 472
第12章 熱彈性 476
12.1 熱彈性本構方程的一般表達 476
12.2 客觀性和熱力學第二定律的約束 477
12.3 熱彈性本構方程的其他表達 481
12.4 潛熱和比熱 482
12.5 線性化的熱彈性本構方程 483
12.6 熵彈性 486
第13章 奇異面與間斷條件 488
13.1 奇異面 488
13.2 運動間斷條件 490
13.3 奇異面存在下的散度定理和輸運定理 491
13.4 動力間斷條件 493
13.4.1 空間形式 493
13.4.2 物質形式 496
13.5 特殊情況下的間斷條件 497
13.5.1 運動間斷 497
13.5.2 動力間斷 502
附錄A 一般曲線坐標的基本知識 505
A.1 協變基與逆變基 505
A.2 二階張量的表示與最基本運算 508
A.3 一般曲線坐標下的變形與應力描述 510
附錄B 正交曲線坐標繫 513
B.1 正交曲線坐標的特點 513
B.2 不變性微分算子(梯度算子)的表示 515
B.3 不變性微分算子的相關運算 516
B.3.1 矢量的梯度 516
B.3.2 矢量的散度 518
B.3.3 張量的散度 519
B.4 正交坐標繫下變形梯度的表示 520
B.5 柱坐標繫 524
B.6 球坐標繫 528
附錄C 外凸函數 531
附錄D 彈性(無黏性)流體 534
D.1 基本方程 534
D.2 加速度有勢與無旋運動 536
D.3 Bernoulli積分 539
D.4 定常繞流問題 541
D.5 熱彈性流體 543
D.5.1 不可壓縮熱彈性流體 543
D.5.2 可壓縮熱彈性流體 544
變量表 545
參考文獻 550

本書在連續介質力學的理性框架下，介紹固體連續介質的大變形彈塑性理論。全書分上、下兩冊，上冊介紹連續介質力學的基本理論和大變形彈性本構理論及其簡單應用，主要包括：運動學分析，動力學基本定律，物質的對稱性與時間空間不變性原理，彈性本構關繫，相應邊值問題的提法、解的專享性和穩定性的概念，熱彈性力學，物理場的間斷性等，特別是有關物質描述和空間描述的內在聯繫和相互變換以及建立在它們基礎上的對稱性或不變性，本書給出了一繫列新的闡述。基於正交性的各向同性彈性本構關繫，不依賴於主軸的緊湊表示，以及由此建立的簡潔運算是本書另外一個獨到的工作。本書開篇對張量的基本知識包括張量函數表示理論進行了詳細介紹，文後附錄還對流體力學進行了基本的介紹。
本書可供高等學校力學、土木、機械、航天航空等專業的研究生用作教材，也可供相關學科的教師和科技工作者參考使用。