前言
基礎篇
第1章 理解數學的線索：從畢達哥拉斯講起
1.1 勾股定理：為什麼在西方叫畢達哥拉斯定理
1.2 數學的預見性：無理數是畢達哥拉斯定理的推論
1.3 數學思維：如何從邏輯出發想問題
1.4 黃金分割：數學和美學的橋梁
1.5 優選法：華羅庚化繁為簡的神來之筆
第2章 數列與級數：承上啟下的關鍵內容
2.1 數學的關聯性：斐波那契數列和黃金分割
2.2 數列變化：趨勢比當下重要
2.3 級數：傳銷騙局裡的數學原理
2.4 等比級數：少付一半利息，多獲得一倍回報
第3章 數學邊界：數學是萬能的嗎
3.1 數學的局限性：從勾定理到費馬大定理
3.2 探尋數學的邊界：從希爾伯特第十問題講起

數字篇
第4章 方程：新方法和新思維
4.1 雞兔同籠問題：方程這個工具有什麼用
4.三次方程的解法：數學史上著名的發明權之爭
4.3 虛數：虛構的工具有什麼用
第5章 無窮大和無窮小：從數值到趨勢
5.1 無窮大：為什麼我們難以理解無限大的世界
5.2 無窮小：芝諾悖論和它的破解
5.3 第二次數學危機：牛頓和貝克萊的爭論
5.4 極限：重新審視無窮小的世界
5.5 動態趨勢：無窮大和無窮小能比較大小嗎

幾何篇
第6章 基礎幾何學：公理化體繫的建立
6.1 幾何學的起源：為什麼幾何學是數學中最古老的分支
6.2 公理化體繫：幾何學的繫統理論從何而來
第7章 幾何學的發展：開創不同數學分支融合的先河
7.1 非歐幾何：換一條公理，幾何學會崩塌嗎
7.2 圓周率：數學工具的意義
7.3 解析幾何：如何用代數的方法解決幾何問題
7.4 體繫的意義：為什麼幾何能為法律提供理論基礎

代數篇
第8章 函數：重要的數學工具
8.1 定義和本質：從靜態到動態，從數量到趨勢
8.2 因果關繫：決定性和相關性的差別
第9章 線性代數：超乎想像的實用工具
9.1 向量：數量的方向與合力的形成
9.2 餘弦定理：文本分類與簡歷篩選
9.3 矩思維的應用

微積分篇
第10章 微分：如何理解宏觀和微觀的關繫
10.1 導數：揭示事物變化的新規律
10.2 微分：描述微觀世界的工具
10.3 奇點：變化連續和光滑是穩定性的基礎
第11章 積分：從微觀變化了解宏觀趨勢
11.1 積分：微分的逆運算
11.2 積分的意義：從細節了解全局

11.4 發明權之爭：牛頓和萊布尼茨各自的貢獻
*11.5 體繫的完善：微積分公理化的過程

概率和數理統計篇
第12章 隨機性和概率論：如何看待不確定性
12.1 概率論：一門來自賭徒的學問
12.2 古典概率：拉普拉斯對概率的繫統性論述
12.3 伯努利試驗：隨機性到底意味著什麼
12.4 均值與方差：理想與現實的差距
第13章 小概率和大概率：如何資源共享和消除不確定性
13.1 泊松分布：為什麼保險公司必須有很大的客戶群
13.2 高斯分布：大概率事件意味著什麼
*13.3 概率公理化：理論和現實的統一
第14章 前提條件：度量隨機性的新方法
14.1 前提條件：條件對隨機性的影響
14.2 差異：概率、聯合概率和條件概率
14.3 相關性：條件概率在信息處理中的應用
14.4 貝葉斯公式：機器翻譯是怎樣工作的
第15章 統計學和數據方法：準確估算概率的前提
15.1 定義：什麼是統計學
15.2 實踐：怎樣做好統計
15.3 古德-圖靈估計：如何防範黑天鵝事件
15.4 換個眼光看世界：概率是一種世界觀，統計是一種
方法論

終篇
第16章 數學在人類知識體繫中的位置
16.1 數學和哲學：一頭一尾的兩門學科
16.2 數學和自然科學：數學如何改造自然科學
16.3 數學和邏輯學：為什麼邏輯是一切的基礎
16.4 數學和其他學科：為什麼數學是更底層的工具
16.5 未來展望：希爾伯特的講演

附錄
附錄1 黃金分割等於多少
附錄2 為什麼斐波那契數列相鄰兩項的比值收斂於黃金分割
附錄3 等比級數求和算法
附錄N次方程x*=1的解
附錄5 積分的其他兩種計算方法
附錄6 大數定律
附錄7 希爾伯特退休講演的英文譯文