1.幾何命題的物理意義

本書大多數讀者在學生時代就已經熟悉歐幾裡得幾何學（Euclid's geometry）的宏偉大廈了，你們或許會以一種崇敬勝過喜愛的心情記起這座壯麗的建築，而那些盡職的教師們曾花費無數時間，督促你們沿著這座建築的高聳樓梯向上攀登。憑借過去的經驗，誰要是質疑這門科學中哪怕是最冷僻的定理的真實性，你必定會投以鄙視的目光。但是假如有人問你：“那麼，你憑什麼認定這些命題是真的呢？”你的這種驕傲感或許馬上就會消失。讓我們思考一下這個問題。

幾何學從平面、點和直線等概念出發，我們可以將它們與大致上確定的概念聯繫起來；同時，幾何學還從一些簡單的命題（公理）出發，由於這些概念，我們傾向於將命題視為“真理”。然後，通過一種我們認為正確的邏輯推理過程，其餘的命題都可由這些公理推導出來，也就是說，這些命題已得到證明。於是，隻要一個命題是以公認的方法從公理推導得出的，它就是正確的（就是“真實的”）。這樣，單一命題是否“真實”的問題就歸結為公理是否“真實”的問題。但人們早就知道，上文的問題（如何認定這些命題是真的呢？）不僅無法用幾何學的方法來回答，而且問題本身也是完全沒有意義的。我們不能問“通過兩點隻有一條直線是否真實”這樣的問題。我們隻能說：歐幾裡得幾何學研究的是“直線”，每條直線都具有由其上兩點決定的性質。“真實”這一概念與純粹幾何學的觀點並不相符，因為我們總習慣將“真實”一詞與一個“實在的”客體（object）相對應；可是，幾何學並不涉及其中包含的觀念與經驗客體間的關繫，隻涉及這些觀念本身之間的邏輯聯繫。

盡管如此，仍不難理解為何我們不得不將這些幾何命題稱為“真理”。幾何概念大體上與自然界中的“精確”（exact）客體相對應，而這些客體是產生幾何概念的唯一根源。幾何學應避免依循這一途徑，以便能使其結構獲得最大限度的邏輯一致性。例如，通過查看一個實質剛體（practically rigid body）上兩個帶記號的位置以決定“距離”的方法，已經根深蒂固於我們的思考習慣中了。假如我們適當選擇觀測位置，用一隻眼睛觀察而能使三個點的視位置相互重合，我們也會習慣認為這三點位於一條直線上。

假如，依照我們的思考習慣，在歐幾裡得幾何學的命題中補充一個命題，即一個實質剛體上的兩點永遠對應於同一距離（線段，line-interval），而與我們對剛體位置的任意改變無關，那麼歐幾裡得幾何學的命題就歸結為實質剛體的所有相對位置的命題。這樣補充後的幾何學可被視為物理學的一個分支。現在我們就可以正常地提出通過這種方式詮釋的幾何命題是否為“真理”這一問題：因為我們有理由問，對那些與我們的幾何觀念相聯繫的真實物體而言，這些命題是否可以被滿足？用不太精確的措辭來表達，上面這句話可以這樣表述：我們將這種意義的幾何命題的“真實性”理解為，此命題對於用直尺和圓規作圖的有效性。

當然，用這種意義來斷定幾何命題的“真實性”，隻是基於不太完整的經驗。不過，我們先假定幾何命題的“真實性”，在後文中（在論述廣義相對論時）我們將會看到這種“真實性”是有限的，並且將討論這種有限性的範圍。