《普林斯頓數學分析讀本》 

本書是《普林斯頓數學分析

讀本》繫列圖書的D二本，該套書的論述風格友好、平易近人，通過作者與讀者之間的互動對話和相關示例FC清晰地闡明了數學概念，提供了命題和定量邏輯方面的知識，可以使讀者精通自己的數學思路。本書講解了學習實分析的基礎內容，包括基本的數學與邏輯、實數、集合、拓撲、序列等．作者以通俗易懂且略帶幽默的口吻講述了兩步式求解方法：1先展示如何回溯到求解問題的關鍵，之後說明如何嚴謹規範地寫下解題過程。書中還給出了豐富的示例，幫助學生鞏固所學知識。

《普林斯頓微積分讀本（修訂版）》 

本書是作者多年來給普林斯頓大學本科一年級學生開設微積分的每周復習課。本書專注於講述解題技巧，目的是幫助讀者微積分的主要概念。深入處理一些基本內容，還復習一些主題。本書不僅可以作為參考書，也可以作為教材，定會成為任何一位需要微積分知識人微積分的FC好的指導書。

《普林斯頓數學分析讀本》 

DI一部分預備知識 1

D 1 章引言      2

D 2 章基礎數學與邏輯    6

D3 章集合論       15

D二部分實數      27

D4 章上確界       28

D5 章實數域       37

D6 章復數與歐幾裡得空間 50

D三部分拓撲學     63

D7 章雙射      64

D8 章可數性     72

D9 章拓撲定義      85

D 10 章閉集和開集     98

D 11 章緊集       107

D 12 章海涅–博雷爾定理   118

D 13 章完備集與連通集  128

D四部分序列      139

D 14 章收斂       140

D 15 章J限與子序列    149

D 16 章柯西序列與單調

序列       159

D 17 章子序列J限   169

D 18 章特殊序列    179

D 19 章級數       187

D 20 章總結     197

致謝        200

參考文獻        201

索引        203

《普林斯頓微積分讀本（修訂版） 》 

D 1 章函數、圖像和直線… … … … … … … …1

1.1函數… … … … … … … …1

1.1.1區間表示法… … … … … … … …3

1.1.2求定義域… … … … … … … …3

1.1.3利用圖像求值域… … … … … … … …4

1.1.4垂線檢驗… … … … … … … …5

1.2反函數… … … … … … … …6

1.2.1水平線檢驗… … … … … … … …7

1.2.2求反函數… … … … … … … …8

1.2.3限制定義域… … … … … … … …8

1.2.4反函數的反函數… … … … …9

1.3函數的復合… … … … … … … … … … … … …10

1.4奇函數和偶函數… … … … … … … … … …12

1.5線性函數的圖像… … … … … … … … … …14

1.6常見函數及其圖像… … … … … … … … …16

D 2章三角學回顧… … … … … … … … … … … … …21

2.1基本知識… … … … … … … … … … … … … … …21

2.2擴展三角函數定義域… … … … … … …23

2.2.1ASTC 方法… … … … … … … …25

2.2.2[0, 2π] 以外的三角函數… … … … … … … … … … … … …27

2.3三角函數的圖像… … … … … … … … … …29

2.4三角恆等式… … … … … … … … … … … … …32

D3章J限導論… … … … … … … … … … … … … … …34

3.1J限：基本思想… … … … … … … … … …34

3.2左J限與右J限… … … … … … … … … …36

3.3何時不存在J限… … … … … … … … … …37

3.4在∞和-∞處的J限… … … … …38

3.5關於漸近線的兩個常見誤解… … …41

3.6三明治定理… … … … … … … … … … … … …43

3.7J限的基本類型小結… … … … … … …45

D4章求解多項式的J限問題… … … … … …47

4.1x → a 時的有理函數的J限… … …47

4.2x → a 時的平方根的J限… … … …50

4.3x → ∞時的有理函數的J限… …51

4.4x → ∞時的多項式型函數的J限… …56

4.5x → -∞ 時的有理函數的J限… … … … …59

4.6函數的J限… … … …61

D5章連續性和可導性… … … … … … … … … …63

5.1連續性… … … … … … … … … … … … … … … …63

5.1.1在一點處連續… … … … … … …63

5.1.2在一個區間上連續… … … …64

5.1.3連續函數的一些例子… …65

5.1.4介值定理… … … … … … … … … …67

5.1.5一個更難的介值定理

例子…… … … … … … … … … … … …69

5.1.6連續函數的**大值和

**小值…… … … … … … … … … …70

5.2可導性… … … … … … … … … … … … … … … …71

5.2.1平均速率… … … … … … … … … …72

5.2.2位移和速度… … … … … … … …72

5.2.3瞬時速度… … … … … … … … … …73

5.2.4速度的圖像闡釋… … … … …74

5.2.5切線… … … … … … … … … … … … …75

5.2.6導函數… … … … … … … … … … …77

5.2.7作為J限比的導數… … … …78

5.2.8線性函數的導數… … … … …80

5.2.9二階導數和更高階導數… … … … … … … … … … … … …80

5.2.10何時導數不存在… … … … …81

5.2.11可導性和連續性… … … … …82

D6章求解微分問題… … … … … … … … … … …84

6.1使用定義求導… … … … … … … … … … … …84

6.2用更好的辦法求導… … … … … … … … …87

6.2.1函數的常數倍… … … … … … …88

6.2.2函數和與函數差… … … … …88

6.2.3通過乘積法則求積函數的導數… … … … … … … … … …88

6.2.4通過商法則求商函數的導數… … … … … … … … … …90

6.2.5通過鏈式求導法則求復合函數的導數… … … …91

6.2.6那個難以處理的例子… …94

6.2.7乘積法則和鏈式求導法則的理由… … … … … … …96

6.3求切線方程… … … … … … … … … … … … …98

6.4速度和加速度… … … … … … … … … … … …99

6.5導數偽裝的J限… … … … … … … … … …101

6.6分段函數的導數… … … … … … … … … …103

6.7直接畫出導函數的圖像… … … … … …106

D7章三角函數的J限和導數… … … … … …111

7.1三角函數的J限… … … … … … … … … …111

7.1.1小數的情況… … … … … … … …111

7.1.2問題的求解——小數的情況… … … … … … … … … … …113

7.1.3大數的情況… … … … … … … …117

7.1.4其他的" 情況… … … … … …120

7.1.5一個重要J限的證明… …121

7.2三角函數的導數… … … … … … … … … …124

7.2.1求三角函數導數的例子… … … … … … … … … … … … …127

7.2.2簡諧運動… … … … … … … … … …128

7.2.3一個有趣的函數… … … … …129

D8章隱函數求導和相關變化率… … … …132

8.1隱函數求導… … … … … … … … … … … … …132

8.1.1技巧和例子… … … … … … … …133

8.1.2隱函數求二階導… … … … …137

8.2相關變化率… … … … … … … … … … … … …138

8.2.1一個簡單的例子… … … … …139

8.2.2一個稍難的例子… … … … …141

8.2.3一個更難的例子… … … … …142

8.2.4一個FC難的例子… … … …144

D9章指數函數和對數函數… … … … … … …148

9.1基礎知識… … … … … … … … … … … … … … …148

9.1.1指數函數的回顧… … … … …148

9.1.2對數函數的回顧… … … … …149

9.1.3對數函數、指數函數及反函數… … … … … … … … … …150

9.1.4對數法則… … … … … … … … … …151

9.2e 的定義… … … … … … … … … … … … … … …153

9.2.1一個有關復利的問題… …153

9.2.2問題的答案… … … … … … … …154

9.2.3更多關於e 和對數函數的內容… … … … … … … …156

9.3對數函數和指數函數求導… … … …158

9.4求解指數函數或對數函數的J限… … … … … … …… … … …161

9.4.1涉及e 的定義的J限… …161

9.4.2指數函數在0 附近的行為… … … … … … … … … … … … …162

9.4.3對數函數在1 附近的行為… … … … … … … … … … … … …164

9.4.4指數函數在∞或-∞附近的行為… … … … …164

9.4.5對數函數在∞附近的行為… … … … … … … … … … … … …167

9.4.6對數函數在0 附近的行為… … … … … … … … … … … … …168

9.5取對數求導法… … … … … … … … … … … …169

9.6指數增長和指數衰變… … … … … … …173

9.6.1指數增長… … … … … … … … … …174

9.6.2指數衰變… … … … … … … … … …176

9.7雙曲函數… … … … … … … … … … … … … … …178

D 10章反函數和反三角函數… … … … … …181

10.1導數和反函數… … … … … … … … … … …181

10.1.1使用導數證明反函數存在… … … … … … … … … … … …181

10.1.2導數和反函數：可能出現的問題… … … … … … … …182

10.1.3求反函數的導數… … … … …183

10.1.4一個綜合性例子… … … … …185

10.2反三角函數… … … … … … … … … … … …187

10.2.1反正弦函數… … … … … … … …187

10.2.2反餘弦函數… … … … … … … …190

10.2.3反正切函數… … … … … … … …192

10.2.4反正割函數… … … … … … … …194

10.2.5反餘割函數和反餘切函數… … … … … … … … … … … …195

10.2.6計算反三角函數… … … … …196

10.3反雙曲函數… … … … … … … … … … … …199

D 11章導數和圖像… … … … … … … … … … … …202

11.1函數的J值… … … … … … … … … … … …202

11.1.1全局J值和局部J值… …202

11.1.2J值定理… … … … … … … … …203

11.1.3求全局**大值和**小值… … … … … … … … … … … …204

11.2羅爾定理… … … … … … … … … … … … … …206

11.3中值定理… … … … … … … … … … … … … …209

11.4二階導數和圖像… … … … … … … … …212

11.5對導數為零點的分類… … … … … …215

11.5.1使用一次導數… … … … … …215

11.5.2使用二階導數… … … … … …217

D 12章繪制函數圖像… … … … … … … … … … …219

12.1建立符號表格… … … … … … … … … … …219

12.1.1建立一階導數的符號表格… … … … … … … … … … … …221

12.1.2建立二階導數的符號表格… … … … … … … … … … … …222

12.2繪制函數圖像的全面方法… … …224

12.3例題… … … … … … … … … … … … … … … … …225

12.3.1一個不使用導數的例子… … … … … … … … … … … …225

12.3.2完整的方法：例一… … …227

12.3.3完整的方法：例二… … …229

12.3.4完整的方法：例三… … …231

12.3.5完整的方法：例四… … …234

D 13章**優化和線性化… … … … … … … … …239

13.1**優化… … … … … … … … … … … … … … …239

13.1.1一個簡單的**優化例子… … … … … … … … … … … …239

13.1.2**優化問題：一般方法… … … … … … … … … … … …240

13.1.3一個**優化的例子… … …241

13.1.4另一個**優化的例子… …242

13.1.5在**優化問題中使用隱函數求導… … … … … … … …246

13.1.6一個較難的**優化例子… … … … … … … … … … … …246

13.2線性化… … … … … … … … … … … … … … …249

13.2.1線性化問題：一般方法… … … … … … … … … … … …251

13.2.2微分… … … … … … … … … … … …252

13.2.3線性化的總結和例子… …254

13.2.4近似中的誤差… … … … … …256

13.3牛頓法… … … … … … … … … … … … … … …258

D 14章洛必達法則及J限問題總結… …263

14.1洛必達法則… … … … … … … … … … … …263

14.1.1類型A：0/0 … … … … … … …263

14.1.2類型A：±∞/±∞ … …266

14.1.3類型B1: (∞-∞) … …267

14.1.4類型B2: (0 x±∞) … …269

14.1.5類型C: 1±∞，00 或∞0… … … …270

14.1.6洛必達法則類型的總結… … … … … … … … … … … …272

14.2關於J限的總結… … … … … … … … …273

D 15章積分… … … … … … … … … … … … … … … …276

15.1求和符號… … … … … … … … … … … … … …276

15.1.1一個有用的求和… … … … …279

15.1.2伸縮求和法… … … … … … … …280

15.2位移和面積… … … … … … … … … … … …283

15.2.1三個簡單的例子… … … … …283

15.2.2一段更常規的旅行… … …285

15.2.3有向面積… … … … … … … … …287

15.2.4連續的速度… … … … … … … …288

15.2.5兩個特別的估算… … … … …291

D 16章定積分… … … … … … … … … … … … … … …293

16.1基本思想… … … … … … … … … … … … … …293

16.2定積分的定義… … … … … … … … … … …297

16.3定積分的性質… … … … … … … … … … …301

16.4求面積… … … … … … … … … … … … … … …305

16.4.1求通常的面積… … … … … …306

16.4.2求解兩條曲線之間的面積… … … … … … … … … … … …308

16.4.3求曲線與y 軸所圍成的面積… … … … … … … … … … …310

16.5估算積分… … … … … … … … … … … … … …313

16.6積分的平均值和中值定理… … …316

16.7不可積的函數… … … … … … … … … … …319

D 17章微積分基本定理… … … … … … … … …321

17.1用其他函數的積分來表示的函數… … … … … … … … … …… …321

17.2微積分的DI一基本定理… … … … …324

17.3微積分的D 二基本定理… … … … …328

17.4不定積分… … … … … … … … … … … … … …329

17.5怎樣解決問題：微積分的DI一基本定理… … … … … … … … … … … …331

17.5.1變形1：變量是積分下限… … … … … … … … … … … …332

17.5.2變形2：積分上限是一個函數… … … … … … … … …332

17.5.3變形3：積分上下限都為函數… … … … … … … … …334

17.5.4變形4：J限偽裝成導數… … … … … … … … … … … …335

17.6怎樣解決問題：微積分的D 二基本定理… … … … … … … … … … … …336

17.6.1計算不定積分… … … … … …336

17.6.2計算定積分… … … … … … … …339

17.6.3面積和 … … … … …341

17.7技術要點… … … … … … … … … … … … … …344

17.8微積分DI一基本定理的證明… …345

D 18章積分的方法I… … … … … … … … … … …347

18.法… … … … … … … … … … … … … … …347

18.1.法和定積分… … … … …350

18.1.2… … … … … … … … …353

18.1.法的理論解釋… … …355

18.2分部積分法… … … … … … … … … … … …356

18.3部分分式… … … … … … … … … … … … … …361

18.3.1部分分式的代數運算… …361

18.3.2對每一部分積分… … … … …365

18.3.3方法和一個完整的例子… … … … … … … … … … … …367

D 19章積分的方法II … … … … … … … … … …373

19.1應用三角恆等式的積分… … … … …373

19.2關於三角函數的冪的積分… … …376

19.2.1sin 或cos 的冪… … … … …376

19.2.2tan 的冪… … … … … … … … …378

19.2.3sec 的冪… … … … … … … … … …379

19.2.4cot 的冪… … … … … … … … … …381

19.2.5csc 的冪… … … … … … … … … …382

19.2.6約化公式… … … … … … … … …382

19.3關於法的積分… … … … …384

19.3.1類型1：pa2   x2 … … …384

19.3.2類型2：px2 + a2 … … …386

19.3.3類型3：px2   a2 … … …387

19.3.4配方和法… … …388

19.3.5關於法的總結… … … … … … … … … … … …389

19.3.6平方根的方法和法… … … … … … … … … … …389

19.4積分技巧總結… … … … … … … … … … …391

D 20章反常積分：基本概念… … … … … …393

20.1收斂和發散… … … … … … … … … … … …393

20.1.1反常積分的一些例子… …395

20.1.2其他破裂點… … … … … … … …397

20.2關於無窮區間上的積分… … … … …398

20.3比較判別法(理論)… … … … … … … …400

20.4J限比較判別法(理論)… … … … …402

20.4.1函數互為漸近線… … … … …402

20.4.2關於判別法的陳述… … …404

20.5p 判別法(理論) … … … … … … … … …405

20.6絕√收斂判別法… … … … … … … … …407

D 21章反常積分：如何解題… … … … … …410

21.1如何開始… … … … … … … … … … … … … …410

21.1.1拆分積分… … … … … … … … …410

21.1.2如何處理負函數值… … …411

21.2積分判別法總結… … … … … … … … …413

21.3常見函數在∞ 和-∞附近的表現… … … … … … … … … …414

21.3.1多項式和多項式型函數在∞ 和-∞ 附近的表現… … … … … … … … …415

21.3.2三角函數在∞ 和-∞ 附近的表現… … … …417

21.3.3指數在∞和-∞附近的表現… … … … … … … … …419

21.3.4對數在∞ 附近的表現… … … … … … … … … … … …422

21.4常見函數在0 附近的表現… … …426

21.4.1多項式和多項式型函數在0 附近的表現… … …426

21.4.2三角函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …427

21.4.3指數函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …429

21.4.4對數函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …430

21.4.5更一般的函數在0 附近的表現… … … … … … … … …431

21.5如何應對不在0 或1 處的瑕點… … … … … … … … … … …… … …432

D 22章數列和級數：基本概念… … … … …434

22.1數列的收斂和發散… … … … … … … …434

22.1.1數列和函數的聯繫… … …435

22.1.2兩個重要數列… … … … … …436

22.2級數的收斂與發散… … … … … … … …438

22.3Dn 項判別法(理論) … … … … … …442

22.4無窮級數和反常積分的性質… …443

22.4.1比較判別法(理論) … … …443

22.4.2J限比較判別法(理論) … … … … … … … … … … …444

22.4.3p 判別法(理論)… … … … …444

22.4.4絕√收斂判別法… … … … …445

22.5級數的新判別法… … … … … … … … …447

22.5.1比式判別法(理論) … … …447

22.5.2根式判別法(理論) … … …449

22.5.3積分判別法(理論) … … …450

22.5.4交錯級數判別法(理論) … … … … … … … … … … …453

D 23章求解級數問題… … … … … … … … … …455

23.1求幾何級數的值… … … … … … … … …455

23.2應用Dn 項判別法… … … … … … …457

23.3應用比式判別法… … … … … … … … …457

23.4應用根式判別法… … … … … … … … …461

23.5應用積分判別法… … … … … … … … …462

23.6應用比較判別法、J限比較判別法和p 判別法… … … … … … … …463

23.7應對含負項的級數… … … … … … … …468

D 24章泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論… … … … … … … … …472

24.1近似值和泰勒多項式… … … … … …472

24.1.1重訪線性化… … … … … … … …472

24.1.2二次近似… … … … … … … … …473

24.1.3高階近似… … … … … … … … …474

24.1.4泰勒定理… … … … … … … … …475

24.2冪級數和泰勒級數… … … … … … … …478

24.2.1一般冪級數… … … … … … … …479

24.2.2泰勒級數和麥克勞林級數… … … … … … … … … … … …481

24.2.3泰勒級數的收斂性… … …481

24.3一個有用的J限… … … … … … … … …485

D 25章求解估算問題… … … … … … … … … …487

25.1泰勒多項式與泰勒級數總結… …487

25.2求泰勒多項式與泰勒級數… … …488

25.3用誤差項估算問題… … … … … … … …491

25.3.1DI一個例子… … … … … … … …492

25.3.2D 二個例子… … … … … … … …494

25.3.3D三個例子… … … … … … … …495

25.3.4D四個例子… … … … … … … …496

25.3.5D五個例子… … … … … … … …497

25.3.6誤差項估算的一般方法… … … … … … … … … … … …499

25.4誤差估算的另一種方法… … … … …499

D 26章泰勒級數和冪級數：如何解題… … … … … … … …… … … … …502

26.1冪級數的收斂性… … … … … … … … …502

26.1.1收斂半徑… … … … … … … … …502

26.1.2求收斂半徑和收斂區域… … … … … … … … … … … …504

26.2合成了新的泰勒級數… … … … … … … …508

26.2.1代換和泰勒級數… … … … …509

26.2.2泰勒級數求導… … … … … …511

26.2.3泰勒級數求積分… … … … …512

26.2.4泰勒級數相加和相減… …514

26.2.5泰勒級數相乘… … … … … …515

26.2.6泰勒級數相除… … … … … …516

26.3利用冪級數和泰勒級數求導… …517

26.4利用麥克勞林級數求J限… … …519

D 27章參數方程和J坐標… … … … … … …523

27.1參數方程… … … … … … … … … … … … … …523

27.2J坐標… … … … … … … … … … … … … … …528

27.2.1J坐標與笛卡兒坐標互換… … … … … … … … … … … …529

27.2.2J坐標繫中畫曲線… … …530

27.2.3求J坐標曲線的切線… …534

27.2.4求J坐標曲線圍成的面積… … … … … … … … … … … …535

D 28章復數… … … … … … … … … … … … … … … …538

28.1基礎… … … … … … … … … … … … … … … … …538

28.2復平面… … … … … … … … … … … … … … …541

28.3復數的高次冪… … … … … … … … … … …544

28.4解zn = w … … … … … … … … … … … … …545

28.5解ez = w … … … … … … … … … … … … …550

28.6一些三角級數… … … … … … … … … … …552

28.7歐拉恆等式和冪級數… … … … … …554

D 29章體積、弧長和表面積… … … … … …556

29.1旋轉體的體積… … … … … … … … … … …556

29.1.1圓盤法… … … … … … … … … … …557

29.1.2殼法… … … … … … … … … … … …558

29.1.3總結和變式… … … … … … … …560

29.1.4變式1：區域在曲線和y 軸之間… … … … … … …561

29.1.5變式2：兩曲線間的區域… … … … … … … … … … … …562

29.1.6變式3：繞平行於坐標軸的軸旋轉… … … … …565

29.2一般立體體積… … … … … … … … … … …567

29.3弧長… … … … … … … … … … … … … … … … …571

29.4旋轉體的表面積… … … … … … … … …574

D30章微分方程… … … … … … … … … … … … …578

30.1微分方程導論… … … … … … … … … … …578

30.2可分離變量的一階微分方程… …579

30.3一階線性方程… … … … … … … … … … …581

30.4常繫數微分方程… … … … … … … … …585

30.4.1解一階齊次方程… … … … …586

30.4.2解二階齊次方程… … … … …586

30.4.3為什麼特征二次方程適用… … … … … … … … … … … …587

30.4.4非齊次方程和特解… … …588

30.4.5求特解… … … … … … … … … … …589

30.4.6求特解的例子… … … … … …590

30.4.7解決yP 和yH 間的衝突… … … … … … … … … … … …592

30.4.8IVP … … … … … … … … … … … …593

30.5微分方程建模… … … … … … … … … … …595

附錄AJ限及其證明… … … … … … … … … …598

A.1J限的正式定義… … … … … … … … … …598

A.2由原J限產生新J限… … … … … … …602

A.3J限的其他情形… … … … … … … … … …606

A.4連續與J限… … … … … … … … … … … … …611

A.5再談指數函數和對數函數… … … …616

A.6微分與J限… … … … … … … … … … … … …618

A.7泰勒近似定理的證明… … … … … … …627

附錄B估算積分… … … … … … … … … … … … …629

B.1使用條紋估算積分… … … … … … … …629

B.2梯形法則… … … … … … … … … … … … … …632

B.3辛普森法則… … … … … … … … … … … … …634

B.4近似的誤差… … … … … … … … … … … … …636

符號列表…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …640

索引…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …643