科普經典，名譯（代序） 
1961年版作者前言 
版作者前言 
《從一到無窮大》讀者感言摘錄 
部分 做做數字遊戲 
章 大數 
第二章 自然數和人工數 
第二部分 空間、時間與愛因斯坦 
第三章 空間的不尋常的性質 
第四章 思維世界 
第五章 時間和空間的相對性 
第三部分 微觀世界 
第六章 下降的階梯 
第七章 現代煉金術 
第八章 無序定律 
第九章 生命之謎 
第四部分 宏觀世界 
第十章 不斷擴展的視野 
第十一章 “創世”的年代 
圖版 
譯後記


 

    到目前為止，我們所討論的都是各種曲面，也就是二維空間的拓撲學性質。我們同樣也可以對我們生存在內的這個三維空間提出類似的問題。 
    這麼一來，地圖著色問題在三維情況下就變成了：用不同的物質制成不同形狀的鑲嵌體，並把它們拼成一塊，使得沒有兩塊同一種物質制成的子塊有共同的接觸面，那麼，需要用多少種物質？什麼樣的三維空間對應於二維的球面或環狀圓紋曲面呢？能不能設想出一些特殊空間，它們與一般空間的關繫正好同球面或環狀面與一般平面的關繫一樣？乍一看，這個問題似乎提得很沒有道理，因為盡管我們能很容易地想出許多式樣的曲面來，但卻一直傾向於認為隻有一種三維空間，即我們所熟悉並在其中生活的物理空間。然而，這種觀念是危險的，有欺騙性的。隻要發動一下想像力，我們就能想出一些與歐幾裡得幾何教科書中所講述的空間大不相同的三維空間來。 
    要想像這樣一些古怪的空間，主要的困難在於，我們本身也是三維空間中的生物，我們隻能“從內部”來觀察這個空間，而不能像在觀察各種曲面時那樣“從外面”去觀察。不過，我們可以通過做幾節腦筋操，使自己在征服這些怪空間時不致過於困難。 
首先讓我們建立一種性質與球面相類似的三維空間模型。球面的主要性質是：它沒有邊界，但卻具有確定的面積；它是彎曲的，自我封閉的。 
    能不能設想一種同樣自我封閉，從而具有確定體積而無明顯界面的三維空間呢？設想有兩個球體，各自限定在自己的球形表面內，如同兩個未削皮的蘋果一樣。現在，設想這兩個球體“互相穿過”，沿外表面粘在一起。當然，這並不是說，兩個物理學上的物體如蘋果，能被擠得互相穿過並把外皮粘連在一起。蘋果哪怕是被擠成碎塊，也不會互相穿過的。 
或者，我們不如設想有個蘋果，被蟲子喫出彎曲盤結的隧道來。要設想有兩種蟲子，比如說一種黑的和一種白的；它們互相憎惡、互相回避，因此，蘋果內兩種蟲蛀的隧道並不相通，盡管在蘋果皮上它們可以從緊挨著的兩點蛀食進去。這樣一個蘋果，被這兩條蟲子蛀來蛀去，就會像圖18那樣，出現互相緊緊纏結、布滿整個蘋果內部的雙股隧道。但是，盡管黑蟲和白蟲的隧道可以很接近，要想從這兩座迷宮中的任一座跑到另一座去，卻必須先走到表面纔行。如果設想隧道越來越細，數目越來越多，後就會在蘋果內得到互相交錯的兩個獨立空間，它們僅僅在公共表面上相連。 
    如果你不喜歡用蟲子作例子，不妨設想一種類似紐約的世界貿易大廈這座巨大球形建築裡的那種雙過道雙樓梯繫統。設想每一套樓道繫統都盤過整個球體，但要從其中一套的一個地點到達鄰近一套的一個地點，隻能先走到球面上兩套樓道會合處，再往裡走。我們說這兩個球體互相交錯而不相妨礙。你和你的朋友可能離得很近，但要見見面、握握手，卻非得兜一個好大的圈子不可！必須注意，兩套樓道繫統的連接點實際上與球內的各點並沒有什麼不同之處，因為你總是可以把整個結構變變形，把連接點弄到裡面去，把原先在裡面的點弄到外面來。還要注意，在這個模型中，盡管兩套隧道的總長度是確定的，卻沒有“死胡同”。你可以在樓道中走來走去，絕不會被牆壁或柵欄擋住；隻要你走得足夠遠，你一定會在某個時候重新走到你的出發點。如果從外面觀察整個結構，你可以說，在這迷宮裡行走的人總會回到出發點，隻不過是由於樓道逐漸彎曲成球形。但是對於處在內部、而且不知“外面”為何物的人來說，這個空間就表現為具有確定大小而無明確邊界的東西。我們在下一章將會看到，這種沒有明顯邊界、然而並非無限的“自我封閉的三維空間”在一般地討論宇宙的性質時是非常有用的。事實上，過去用強大的望遠鏡所進行的觀察似乎表明了，在我們視線的邊緣這樣遠的距離上，宇宙好像開始彎曲了，這顯示出它有折回來自我封閉的明顯趨勢，就像那個被蛀食出隧道的蘋果的例子一樣。不過，在研究這些令人興奮的問題之前，我們還得再知道空間的其他性質。