數字遊戲(博弈對策)
1.有一片由5*8=40塊小巧克力組成的大巧克力，甲、乙兩人進行切巧克力遊戲。規定：每次隻許沿一條直線切成兩塊，取走一塊，留下一塊給對方切。最後，直至留給對方一塊小巧克力者為勝。問誰可獲勝？如何切可獲勝？
解：誰先切，誰能獲勝。設甲先乙後。甲取勝策略：甲切一刀後，留給乙一個正方形。乙在正方形上切走 一 塊，則留下長方形。甲切完，又給乙留下一個正方形。如此反復輪流切，最終，甲留給乙一塊小正方形巧克力，甲獲勝。
2.兩堆球，分別為2009、2010個。兩人輪流從其中一堆中取出若干(不為0即可)，每次取球，隻能從其中一堆中取。誰取得最後一球，誰為輸。問誰有獲勝機會，獲勝策略如何？
解：先取者有獲勝的機會。獲勝策略：先取者，先從2010個球中取一球，則餘下兩堆球的數目相等。接著，後取者在某堆中取m，先取 者 在 另 一 堆 中 也取m個。先取者每次 取 完，都 保 證 餘 下 兩 堆 球 的 數 目 相 等。如 果後取者取光 一堆，先取者把另一堆留一球給對方。如果後取者從一堆取到隻留一球，先取者就把另一堆取光。直至獲勝。
3.5*10的方格棋 盤 上，黑 白 兩 方，各 居 對 角 線 的 一 角，輪 流 走 棋。規 定：每 次 隻 能 沿 橫(或 豎)線 至 少 移 動 一 步，但 不 許 與 對 方 棋 子同 在 一 條 直 線 上，也 不 許 超 越 對 方 棋 子 占 據 的 兩 條 直 線。最 終 誰 無 路 可 走 為輸。問 誰 可 獲 勝？取 勝 策 略 如 何？
解：先走者可勝。設先走者為甲，另一方為乙。甲先占據與對方占位點形成正方形的對角線的另一端點，即甲的落棋點與乙占位點均處在正方形對角的兩端點。之後，不管乙如何移動，甲總保持“雙方均處於正方形對角線兩端點之態勢，甲必獲勝。
4.有兩堆紙牌，分別為34張、25張。甲、乙輪流取，每次隻能從其中一堆中取若干張(至少取，1張)，取得最後一張牌者為勝。問誰可獲勝，獲勝策略如何？
解：先取者可獲勝。設 甲 先 取。獲 勝 策 略：甲 先 從34張 牌 中 取甲就在另一堆中取34-25=9張，使兩堆牌都變成25張。隨後，乙在某堆中取m張，甲就在另一堆中取m張。甲取完後，始終保持兩堆牌的數量相等。隨著兩堆牌逐漸變少，直到最後，如果乙把一堆取光，甲就把另一堆留一張給乙，如果乙在某堆上取後留一張，甲就把另一堆取光。甲總可留給對方取最後一張，乙獲勝。
5.有100張卡片，甲、乙輪流取，每 次 可 取1~6張，先 取 光 者 為 勝。問 誰 可獲勝，策略如何？
解：先取者可獲勝。設甲先取。
甲獲勝策略：100÷7=14…2，甲先取2張，則餘下卡片數為7的倍數。如果乙取m(m<7)張，甲取(7-m)
張，乙、甲共取7張，餘下仍為7的倍數。如此反復，直至餘7張卡片後，乙再取一張，甲就可取光獲勝。
6.有2010枚棋子，甲、乙輪流取，每次可取其中的2個或4個。取得最後一枚者為勝問誰有獲勝的機會，取勝策略如何？
解：後取者有獲勝機會。設乙先取甲後取。
取勝策略：2010÷6=335，2010為6的倍數。
乙取後，甲取數策略為：甲取之數與乙取之數的和，應保持為6。
例如：乙取2，甲取4，2+4=6
乙取4，甲取2，4+2=6
最後餘6，乙取後，甲可取光獲勝。
7.有2010枚硬幣，甲、乙 輪 流 取，每 次 可 取1~8枚。獲 最 後 一 枚 者 為 勝。問誰有獲勝機會？獲勝策略如何？
解：先取者有獲勝機會。設甲先取，乙後取。
獲勝策略：2010÷9=223…3
甲先取，3枚，餘下數為9的 倍 數，由 乙 取。乙 取m枚，則 甲 取(9-m)枚。則
甲取完 後餘 數 仍 為9的 倍 數，輪 到 乙 取。直 至 最 後 留9枚，輪 到 乙 取。乙 取
1~8枚後，甲可取光所餘之數獲勝。
8.有2010個球，甲乙輪流取，每 次 可 取1、3、4、7中 的 一 個 數。取 得 最 後 一
球者為勝問誰有獲勝可能？取勝策略如何？
解：後取者有獲勝機會。設乙先取，甲可獲勝。
甲的策略：2010÷5=402
設乙取m，則甲取n，甲保持：n+m是5的倍數。
例如：乙取1 甲取4 1+4=5
乙取3 甲取7 3+7=2×5
乙取4 甲取1 4+1=5
乙取7 甲取3 7+3＝2×5
甲按此取法，留給乙取的球數總是5的倍數，最終，甲取完球後餘5個球時，乙取1或3或4個球後，甲可一次取光獲勝。
9.有2999枚棋子，甲乙輪流取，每 次 可 取1、3、4、7個 棋 子。獲 取 最 後 一 枚
者為勝。問：誰可獲勝？取勝策略如何？
解：先取者有獲勝機會。設甲先取，取勝策略：
2999÷5=599…4
甲先取4枚，則餘數為5的倍數，由乙取。甲取棋策略同8題，即可獲勝。
10.黑板上寫有101個數字，分 別 是1、2、3、…、101，甲、乙 輪 流 從 中 任 意 劃
去9個數字。甲、乙共劃11次後，黑板上還有2個數字。設甲先劃，乙後劃，若最
終餘下的兩數差為55，則甲勝；若兩數差不是55，則乙勝。問誰有取勝可能，取勝
策略如何？
解：甲先劃，甲有取勝可能。取勝策略：甲先劃去47~55這9個數字，則餘下92個數字，可排為2行，46列。
第一行：1、562、3、…、44、、…、45、46
第二行：、57、5899、100、101
先做如下定義：劃去同一列的兩個數字(如劃去稱為劃去一個單數1和56)，稱 為 劃 去 一 對 整 列
數；劃去某行中的一個數(如44)，劃去單 個 數 以 後，其 所 在 列餘下的那個數(如n99)稱做餘下的孤立數。
如果乙劃去對整列數和(n9-2n)單 個 數(n為(1、2、n3、4中 的 一 個 數)，則 甲就在餘下的整列數中隨意劃去對整列數，再劃去餘 下 的 全 部 是 整 列 數9-2)個餘下的孤立數。
因為如此劃法，甲 劃 完 後，，最 後，會 留 下 一 對 整 列 數。
而任何一對整列數，相差都是55，甲必勝。
……