●第 1 章 熱力學熵與信息熵殊途同歸Ⅰ：綜述 ................................................. 001 1.1 熵概念的來龍去脈 ................................................................................... 001 1.2 熱力學熵與熱力學第二定律 ................................................................... 003 1.2.1 卡諾熱機與克勞修斯熱力學熵 .................................................... 003 1.2.2 熱力學第二定律 ............................................................................ 006 1.3 從不同角度擴展對熵的認識和研究 ....................................................... 009 1.3.1 宇宙的演化 .................................................................................... 010 1.3.2 黑洞與熵 ........................................................................................ 013 1.3.3 生命與熵 ........................................................................................ 013 1.3.4 液晶的形成過程與熵 .................................................................... 014 第 2 章 熱力學熵與信息熵殊途同歸Ⅱ：信息熵概念初探 ............................ 016 2.1 問題 1 ........................................................................................................ 016 2.2 問題 2 ........................................................................................................ 018 2.3 問題 3 ........................................................................................................ 019 第 3 章 熱力學熵與熱力學第二定律的數學論述 ............................................. 023 3.1 卡諾熱機與克勞修斯熱力學熵 ............................................................... 023 3.1.1 熱力學基本知識 ............................................................................ 023 3.1.2 熱力學繫統的狀態參量――熵 .................................................... 027 3.1.3 一些特殊熱力學過程的具體分析 ................................................ 029 3.1.4 卡諾熱機理想模型揭開熱機效率之謎 ........................................ 032 3.2 熱力學第二定律 ....................................................................................... 040 3.3 從經典統計熱力學認識熵 ....................................................................... 045 3.3.1 跨進統計熱力學之門 .................................................................... 045 3.3.2 玻爾茲曼最概然（優選概率）分布與熵 .................................... 047 3.3.3 理想氣體的自由膨脹及其熵變例子 ............................................ 051 3.4 從量子統計熱力學進一步認識熵 ........................................................... 054 3.4.1 一些必要知識的概述 .................................................................... 054 3.4.2 熵在體繫間熱相互作用中的意義 ................................................ 056 3.4.3 熵在體繫間一般熱力學相互作用中的意義 ................................ 061 第 4 章 重溫物理學科普典範《物理學的進化》 ............................................. 069 4.1 狹義相對論的由來 ................................................................................... 070 4.2 廣義相對論的由來 ................................................................................... 071 4.3 科學永不止步 ........................................................................................... 073 4.4 數學的意義 ............................................................................................... 075 4.5 自然哲學的啟示 ....................................................................................... 077 第 5 章 讀愛因斯坦第一篇相對論論文的筆記 ................................................. 079 5.1 前言 ........................................................................................................... 079 5.2 領略愛因斯坦精微的論證 ....................................................................... 080 5.2.1 兩個依據（出發點） .................................................................... 080 5.2.2 關於時間的辨析 ............................................................................ 081 5.2.3 長度和時間的相對性 .................................................................... 083 5.2.4 從靜繫到另一相對勻速移動的坐標繫的坐標與時間的 變換理論 ........................................................................................ 084 5.3 耶魯大學《基礎物理》講授狹義相對論 ............................................... 089 5.4 狹義相對論對人們日常認識的衝擊 ....................................................... 091 5.4.1 運動方向上的杆會收縮 ................................................................ 092 5.4.2 運動的時鐘會走得慢，如果達到光速，鐘會停下來 ................ 093 5.4.3 雙生子佯謬 .................................................................................... 094 第 6 章 從自然數開始 .......................................................................................... 0966.1 引言 ........................................................................................................... 096 6.2 關於自然數的皮亞諾公理 ....................................................................... 098 6.3 從自然數到整數――第一種途徑 ........................................................... 101 6.4 從自然數到整數――第二種途徑 ........................................................... 103 6.5 從整數到有理數 ....................................................................................... 110 6.6 從有理數到實數（引子） ....................................................................... 112 6.7 數學的邏輯基礎 ....................................................................................... 113 第 7 章 概率論基礎概念（要義） ...................................................................... 115 7.1 引言 ........................................................................................................... 115 7.2 樣本空間與事件 ....................................................................................... 117 7.3 概率空間 ................................................................................................... 118 7.4 隨機變量與概率分布函數 ....................................................................... 119 7.4.1 幾個有趣的實例 ............................................................................ 120 7.4.2 隨機變量及其概率分布的定義 .................................................... 123 7.5 隨機過程 ................................................................................................... 125 7.5.1 從隨機變量擴展到隨機向量和隨機過程 .................................... 125 7.5.2 柯爾莫哥洛夫存在性定理 ............................................................ 129 7.5.3 小結 ................................................................................................ 129 7.5.4 隨機過程的等價與可分隨機過程 ................................................ 130 7.6 獨立隨機變量序列 ................................................................................... 132 7.7 可加隨機過程（獨立增量過程） ........................................................... 134 7.7.1 可加隨機過程的定義 .................................................................... 134 7.7.2 可加隨機過程實例 ........................................................................ 134 7.7.3 可加隨機過程概論（Poisson 過程和廣義維納過程） ............... 138 第 8 章 隨機事件與隨機事件之相互關聯（1）――條件概率 ..................... 144 8.1 條件概率的概念與定義 ........................................................................... 144 8.2 條件概率計算實例 ................................................................................... 147 8.3 貝葉斯公式及其應用 ............................................................................... 150 8.3.1 貝葉斯公式 .................................................................................... 150 8.3.2 貝葉斯公式的應用 ........................................................................ 151 8.4 揭示貝葉斯公式應用中的認識陷阱 ....................................................... 153 8.4.1 兩個貝葉斯公式應用實例 ............................................................ 154 8.4.2 貝葉斯公式應用的深入分析 ........................................................ 155 8.4.3 結語 ................................................................................................ 158 第 9 章 隨機事件與隨機事件之相互關聯（2）――條件期望 ..................... 159 9.1 細說條件期望 ........................................................................................... 159 9.2 條件期望之一 ........................................................................................... 162 9.3 條件期望之二 ........................................................................................... 163 9.4 條件期望之三 ........................................................................................... 166 9.5 條件期望之四 ........................................................................................... 168 9.6 條件期望之五 ........................................................................................... 171 第 10 章 香農熵開啟新的信息時代 ................................................................... 176 10.1 香農熵正式登場 ..................................................................................... 177 10.2 熵定義的依據 ......................................................................................... 178 10.2.1 熵的性質 ...................................................................................... 181 10.2.2 條件熵和互信息量 ...................................................................... 182 10.3 熵定義的擴展 ......................................................................................... 186 10.3.1 不接近概率分布的熵 .................................................................. 186 10.3.2 連續概率分布的熵 ...................................................................... 187 10.3.3 熵差 .............................................................................................. 190 10.4 消息產生與傳輸的信息論模型――無記憶離散信道 .......................... 194 10.5 模式識別的信息論方法 ......................................................................... 200 10.5.1 模式識別的基本步驟 .................................................................. 200 10.5.2 特征選取的分類熵準則（注） .................................................. 201 10.5.3 模式識別的判決方案 .................................................................. 209

本書打開數學和物理學一些特定領域的知識窗口，涉及熱力學第二定律，相對論，概率論，信息論的基本內容，反映數學與物理學發展進程中的密切關繫，又表現它們不同的特色。重視對入門基本概念進行比教科書更細致或深入的剖析，如概率，概率空間，條件概率，熱力學熵，香農熵等等；也在有限的篇幅內以精煉的語言，揭示學科中重要基礎概念形成的邏輯鏈條，增進對學科概貌的認識。本書參考了較多相關的專業著作或新近的大學教材，以及科普名著，作者優選的期望是在專業性與科普性之間保持某種平衡，使不同水平的讀者都能有所收益，對現代科學一些重要但"艱澀”的概念和成果有進一步的認識。

吳新瞻 著