●自序/1
導讀：高斯——離群索居的王子/5
第1章同餘數概論(第1～12條)/1
第1節同餘的數，模，剩餘和非剩餘(2)
第2節最小剩餘(4)
第3節關於同餘的基本定理(5)
第4節一些應用(8)
第2章一次同餘方程(第13～44條)/9
第1節關於質數、因數等的初步定理(10)
第2節解一次同餘方程(17)
第3節對於給定模求與給定剩餘同餘的數的方法(22)
第線性同餘方程組(26)
第5節一些定理(29)
第3章冪剩餘(第45～93條)/37
第1節首項為1的幾何數列各項的剩餘構成周期序列(38)
第2節對於模p(質數)，數列周期的項數是數p-1的因數(40)
第3節費馬定理(42)
第4節有多少數對應於某個項數為p-1的因數的周期(44)
第5節原根，基和指標(48)
第6節指標的運算(49)
第7節同餘方程xn≡A的根(51)
第8節不同繫統的指標間的關繫(59)
第9節適合特殊目的的基數(62)
第10節求原根的方法(63)
第11節關於周期和原根的幾條定理(66)
第12節威爾遜定理(67)
第13節模是質數方冪(72)
第14節模為2的方冪(78)
第4章二次同餘方程(第94～152條)/81
第1節二次剩餘和非剩餘(82)
第2節當模是質數時，小於模的剩餘的個數等於非剩餘的個數(84)
第3節合數是不是給定質數的剩餘或非剩餘的問題，取決於它的因數的性質(86)
第4節合數模(88)
第5節給定的數是給定質數模的剩餘或非剩餘的一般判別法(94)
第6節給定的數作為剩餘或非剩餘的質數的研究(95)
第7節剩餘為-1(96)
第8節剩餘為+2和-2(99)
第9節剩餘為+3和-3(103)
第10節剩餘為+5和-5(106)
第11節剩餘為+7和-7(109)
第12節為一般性討論做的準備(110)
第13節通過歸納法發現的一般的(基本)定理及其推論(116)
第14節基本定理的嚴格證明(123)
第15節證明條目114的定理的類似的方法(130)
第16節一般問題的解法(132)
第17節以給定的數為其剩餘或非剩餘的所有質數的線性形式(135)
第18節其他數學家關於這些研究的著作(140)
第19節一般形式的二階同餘方程(142)
第5章二次型和二次不定方程(第153～307條)/143
第1節型的定義和符號(144)
第2節數的表示：行列式(145)
第3節數M由型(a，b，c)表示時所屬表達式(b2ac)-(modM)的值(146)
第4節正常等價與反常等價(150)
第5節相反的型(152)
第6節相鄰的型(154)
第7節型的繫數的公約數(155)
第8節一個給定的型變換為另一個給定的型時所有可能的同型變換的關繫(157)
第9節歧型(164)
第10節關於一個型既正常又反常地包含於另一個型的情況的定理繫(165)
第11節關於由型表示數的一般性研究以及這些表示與代換的關繫(171)
第12節行列式為負的型(177)
第13節特殊的應用：將一個數拆分成兩個平方數，拆分成一個平方數和另一個平方數的兩倍，拆分成一個平方數和另一個平方數的三倍(192)
第14節具有正的非平方數的行列式的型(196)
第15節行列式為平方數的型(237)
第16節包含在與之不等價的型中的型(245)
第17節行列式為0的型(250)
第18節二次不定方程的一般整數解(253)
第19節歷史注釋(260)
第20節將給定行列式的型進行分類(262)
第21節類劃分為層(266)
第22節層劃分為族(270)
第23節型的合成(281)
第24節層的合成(312)
第25節族的合成(313)
第26節類的合成(317)
第27節對於給定的行列式，在同一個層的每個族中存在相同個數的(321)
第28節不同的層中各個族所含類的個數的比較(322)
第29節歧類的個數(331)
第30節對於給定的行列式，所有可能的特征有一半不屬於任何正常原始族(338)
第31節對基本定理以及與剩餘為-1，+2，-2有關的其他定理的第2個證明(339)
第32節對不適合任何族的那一半特征的進一步討論(342)
第33節把質數分解為兩個平方數的特殊方法(345)
第34節型討論的題外話(347)
第35節如何求出這樣一個型，由它加倍可得到給定的屬於主型(384)
第36節除了在條目263和264中已經證明其不可能的那些特征外，其他所有的特征都與某個族相對應(386)
第37節把型分解為三個平方數的理論(388)
第38節費馬定理的證明：任何整數都能分解成三個三角數或者四個平方數(398)
第39節方程ax2+by2+cz2＝0的解(400)
第40節勒讓德先生討論基本定理的方法(406)
第41型表示零(411)
第4二次不定方程的有理通解(414)
第43節族的平均個數(415)
第44節類的平均個數(418)
第45節正常原始類的特殊算法：正則和非正則行列式(423)
第6章前面討論的若干應用(第308～334條)/433
第1節將分數分解成更簡單的分數(435)
第2節普通分數轉換為十進制數(437)
第3節通過排除法求解同餘方程(444)
第4節用排除法解不定方程mx2+ny2＝A(448)
第5節當A是負數時，解同餘方程x2≡A的另一種方法(455)
第6節將合數同質數區分開來並確定它們的因數的兩種方法(459)
第7章分圓方程(第335～366條)/469
第1節討論把圓分成質數份的最簡單情況(471)
第2節關於圓弧(它由整個圓周的一份或若干份組成)的三角函數的方程並歸為方程xn-1＝0的根(472)
第3節方程xn-1＝0的根的理論(假定n是質數)(476)
第4節以下討論的目的之聲明(478)
第5節Ω中所有的根可以分為某些類(周期)(480)
第6節關於這些周期的各種定理(482)
第7節由前面的討論解方程X＝0(494)
第8節以n＝19為例，運算可以簡化為求解兩個三次方程和一個二次方程(497)
第9節以n＝17為例，運算可以簡化為求解四個二次方程(501)
第10節關於根的周期的進一步討論——有偶數個項的和是實數(506)
第11節關於根的周期的進一步討論——把Ω中的根分成兩個周期的方程(507)
第12節證明第4章中提到的一個定理(510)
第13節把Ω中的根分成三個周期的方程(512)
第14節把求Ω中根的方程化為最簡方程(517)
第15節以上研究在三角函數中的應用——求對應於Ω中每個根的角的方法(522)
第16節以上研究在三角函數中的應用——不用除法從正弦和餘弦導出正切、餘切、正割以及餘割(524)
第17節以上研究在三角函數中的應用——對三角函數逐次降低次數的方法(527)
第18節以上研究在三角函數中的應用——通過解二次方程或者尺規作圖能夠實現的圓周的等分(532)
附注(535)
附表(537)

在《算術研究》的序言中，高斯便已明確指明了本書的研究範圍：“數學中的整數部分，不包括分數和無理數”。《算術研究》的正文則分為七章。第一章討論數的同餘；第二章討論一次同餘方程；第三章討論冪剩餘並證明了費馬小定理；第四章討論二次同餘方程；第五章繫統擴展了二次型的理論（這使得高斯必然地成為了群論的先驅之一）；第六章討論了前述理論在特殊情況下的運用；第七章討論了分圓方程，這一章也被認為是本書最精彩的內容。