本書介紹了數值方法的理論及實用知識，並講述了如何利用MATLAB軟件實現各種數值算法，以便為讀者今後的學習打下堅實的數值分析與科學計算基礎。教師可以根據不同的學習對像和學習目的選擇相應章節，形成理論與實踐相結合的學習策略。書中每個概念均以實例說明，同時還包含大量習題，範圍涉及多個不同領域。通過這些實例進一步說明數值方法的實際應用。本書強調利用MATLAB進行數值方法的程序設計，可提高讀者的實踐能力並加深對數值方法理論的理解。

第1章  預備知識

1.1  微積分回顧

1.1.1  極限和連續性

1.1.2  可微函數

1.1.3  積分

1.1.4  級數

1.1.5  多項式求值

1.1.6  習題

1.2  二進制數

1.2.1  二進制數

1.2.2  序列與級數

1.2.3  二進制分數

1.2.4  二進制移位

1.2.5  科學計數法

1.2.6  機器數

1.2.7  計算機精度

1.2.8  計算機浮點數

1.2.9  習題

1.3  誤差分析

1.3.1  截斷誤差

1.3.2  舍入誤差

1.3.3  舍去和舍入

1.3.4  精度損失

1.3.5  O(hn)階逼近

1.3.6  序列的收斂階

1.3.7  誤差傳播

1.3.8  數據的不確定性

1.3.9  習題

1.3.10算法與程序

第2章  非線性方程f(x)=0的解法

2.1  求解x=g(x)的迭代法

2.1.1  尋找不動點

2.1.2  不動點迭代的圖形解釋

2.1.3  考慮誤差和相對誤差

2.1.4  習題

2.1.5  算法與程序

2.2  定位一個根的分類方法

2.2.1  波爾查諾二分法

2.2.2  試值法的收斂性

2.2.3  習題

2.2.4  算法與程序

2.3  初始近似值和收斂判定準則

2.3.1  檢測收斂性

2.3.2  有問題的函數

2.3.3  習題

2.3.4  算法與程序

2.4  牛頓拉夫森法和割線法

2.4.1  求根的斜率法

2.4.2  被零除

2.4.3  收斂速度

2.4.4  缺陷

2.4.5  割線法

2.4.6  加速收斂

2.4.7  習題

2.4.8  算法與程序

2.5  埃特金過程、斯蒂芬森法和

米勒法（選讀）

2.5.1  埃特金過程

2.5.2  米勒法

2.5.3  方法之間的比較

2.5.4  習題

2.5.5  算法與程序

第3章  線性方程組AX=B的數值解法

3.1  向量和矩陣簡介

3.1.1  矩陣和二維數組

3.1.2  習題

3.2  向量和矩陣的性質

3.2.1  矩陣乘

3.2.2  特殊矩陣

3.2.3  非奇異矩陣的逆

3.2.4  行列式

3.2.5  平面旋轉

3.2.6  MATLAB實現

3.2.7  習題

3.2.8  算法與程序

3.3  上三角線性方程組

3.3.1  習題

3.3.2  算法與程序

3.4  高斯消去法

3.4.1  以避免a(p)pp=0

3.4.2  以減少誤差

3.4.3  病態情況

3.4.4  MATLAB實現

3.4.5  習題

3.4.6  算法與程序

3.5  三角分解法

3.5.1  線性方程組的解

3.5.2  三角分解法

3.5.3  計算復雜性

3.5.4  置換矩陣

3.5.5  擴展高斯消去過程

3.5.6  MATLAB實現

3.5.7  習題

3.5.8  算法與程序

3.6  求解線性方程組的迭代法

3.6.1  雅可比迭代

3.6.2  高斯賽德爾迭代法

3.6.3  收斂性

3.6.4  習題

3.6.5  算法與程序

3.7  非線性方程組的迭代法：賽德爾法和牛頓法（選讀)

3.7.1  理論

3.7.2  廣義微分

3.7.3  接近不動點處的收斂性

3.7.4  賽德爾迭代

3.7.5  求解非線性方程組的

牛頓法

3.7.6  牛頓法概要

3.7.7  MATLAB實現

3.7.8  習題

3.7.9  算法與程序

第4章  插值與多項式逼近

4.1  泰勒級數和函數計算

4.1.1  多項式計算方法

4.1.2  習題

4.1.3  算法與程序

4.2  插值介紹

4.2.1  習題

4.2.2  算法與程序

4.3  拉格朗日逼近

4.3.1  誤差項和誤差界

4.3.2  精度與O(hN+1)

4.3.3  MATLAB實現

4.3.4  習題

4.3.5  算法與程序

4.4  牛頓多項式

4.4.1  嵌套乘法

4.4.2  多項式逼近、節點和中心

4.4.3  習題

4.4.4  算法與程序

4.5  切比雪夫多項式(選讀)

4.5.1  切比雪夫多項式性質

4.5.2   小上界

4.5.3  等距節點

4.5.4  切比雪夫節點

4.5.5  龍格現像

4.5.6  區間變換

4.5.7  正交性

4.5.8  MATLAB實現

4.5.9  習題

4.5.10算法與程序

4.6  帕德逼近

4.6.1  連分式

4.6.2  習題

4.6.3  算法與程序

第5章  曲線擬合

5.1   小二乘擬合曲線

5.1.1  求 小二乘曲線

5.1.2  冪函數擬合y=AxM

5.1.3  習題

5.1.4  算法與程序

5.2  曲線擬合

5.2.1  y=CeAx的線性化方法

5.2.2  求解y=CeAx的非線性 小

二乘法

5.2.3  數據線性化變換

5.2.4  線性 小二乘法

5.2.5  矩陣公式

5.2.6  多項式擬合

5.2.7  多項式擺動

5.2.8  習題

5.2.9  算法與程序

5.3  樣條函數插值

5.3.1  分段線性插值

5.3.2  分段三次樣條曲線

5.3.3  三次樣條的存在性

5.3.4  構造三次樣條

5.3.5  端點約束

5.3.6  三次樣條曲線的適宜性

5.3.7  習題

5.3.8  算法與程序

5.4  傅裡葉級數和三角多項式

5.4.1  三角多項式逼近

5.4.2  習題

5.4.3  算法與程序

5.5  貝塞爾曲線

5.5.1  伯恩斯坦多項式的性質

5.5.2  貝塞爾曲線的性質

5.5.3  習題

5.5.4  算法與程序

第6章  數值微分

6.1  導數的近似值

6.1.1  差商的極限

6.1.2  中心差分公式

6.1.3  誤差分析和步長優化

6.1.4  理查森外推法

6.1.5  習題

6.1.6  算法與程序

6.2  數值差分公式

6.2.1  更多的中心差分公式

6.2.2  誤差分析

6.2.3  拉格朗日多項式微分

6.2.4  牛頓多項式微分

6.2.5  習題

6.2.6  算法與程序

第7章  數值積分

7.1  積分簡介

7.1.1  習題

7.2  組合梯形公式和辛普森公式

7.2.1  誤差分析

7.2.2  習題

7.2.3  算法與程序

7.3  遞歸公式與龍貝格積分

7.3.1  龍貝格積分

7.3.2  習題

7.3.3  算法與程序

7.4  自適應積分

7.4.1  區間細分

7.4.2  精度測試

7.4.3  算法與程序

7.5  高斯勒讓德積分（選讀）

7.5.1  習題

7.5.2  算法與程序

第8章  數值優化

8.1  單變量函數的極小值

8.1.1  分類搜索方法

8.1.2  利用導數求極小值

8.1.3  習題

8.1.4  算法與程序

8.2  內德米德方法和鮑威爾方法

8.2.1  內德米德方法

8.2.2  鮑威爾方法

8.2.3  習題

8.2.4  算法與程序

8.3  梯度和牛頓方法

8.3.1   速下降法(梯度方法)

8.3.2  牛頓方法

8.3.3  習題

8.3.4  算法與程序

第9章  微分方程求解

9.1  微分方程導論

9.1.1  初值問題

9.1.2  幾何解釋

9.1.3  習題

9.2  歐拉方法

9.2.1  幾何描述

9.2.2  步長與誤差

9.2.3  習題

9.2.4  算法與程序

9.3  休恩方法

9.3.1  步長與誤差

9.3.2  習題

9.3.3  算法與程序

9.4  泰勒級數法

9.4.1  習題

9.4.2  算法與程序

9.5  龍格庫塔方法

9.5.1  關於該方法的討論

9.5.2  步長與誤差

9.5.3  N=2的龍格庫塔方法

9.5.4  龍格庫塔費爾伯格方法

9.5.5  習題

9.5.6  算法與程序

9.6  預報校正方法

9.6.1  亞當斯巴什福斯莫爾頓

方法

9.6.2  誤差估計與校正

9.6.3  實際考慮

9.6.4  米爾恩辛普森方法

9.6.5  誤差估計與校正

9.6.6  正確的步長

9.6.7  習題

9.6.8  算法與程序

9.7  微分方程組

9.7.1  數值解

9.7.2  高階微分方程

9.7.3  習題

9.7.4  算法與程序

9.8  邊值問題

9.8.1  分解為兩個初值問題：線性打靶法

9.8.2  習題

9.8.3  算法與程序

9.9  有限差分方法

9.9.1  習題

9.9.2  算法與程序

第10章  偏微分方程數值解

10.1  雙曲型方程

10.1.1  波動方程

10.1.2  差分公式

10.1.3  初始值

10.1.4  達朗貝爾方法

10.1.5  給定的兩個確定行

10.1.6  習題

10.1.7  算法與程序

10.2  拋物型方程

10.2.1  熱傳導方程

10.2.2  差分公式

10.2.3  克蘭克尼科爾森法

10.2.4  習題

10.2.5  算法與程序

10.3  橢圓型方程

10.3.1  拉普拉斯差分方程

10.3.2  建立線性方程組

10.3.3  導數邊界條件

10.3.4  迭代方法

10.3.5  泊松方程和亥姆霍茨方程

10.3.6  改進

10.3.7  習題

10.3.8  算法與程序

第11章  特征值與特征向量

11.1  齊次方程組：特征值問題

11.1.1  背景

11.1.2  特征值

11.1.3  對角化

11.1.4  對稱性的優勢

11.1.5  特征值範圍估計

11.1.6  方法綜述

11.1.7  習題

11.2  冪方法

11.2.1  收斂速度

11.2.2  移位反冪法

11.2.3  習題

11.2.4  算法與程序

11.3  雅可比方法

11.3.1  平面旋轉變換

11.3.2  相似和正交變換

11.3.3  雅可比變換序列

11.3.4  一般步驟

11.3.5  使dpq和dqp為零

11.3.6  一般步驟小結

11.3.7  修正矩陣的特征值

11.3.8  消去apq的策略

11.3.9  習題

11.3.10算法與程序

11.4  對稱矩陣的特征值

11.4.1  Householder法

11.4.2  Householder變換

11.4.3  三角形式歸約

11.4.4  QR法

11.4.5  加速移位

11.4.6  習題

11.4.7  算法與程序

附錄A  MATLAB簡介

部分習題答案

中英文術語對照

數值分析課程教材

本書全面介紹數值方法的理論和實踐知識，注重對利用MATLAB軟件實現各種數值算法的實際能力的培養，有助於加強學生的數學理論基礎，培養學生實際處理數值計算問題的能力。

教師可以根據不同的學習對像和學習目的選擇相應章節，形成理論與實踐相結合的學習策略。書中每個概念均以實例說明，同時還包含大量習題，範圍涉及多個不同領域。通過這些實例進一步說明數值方法的實際應用。

本書強調利用MATLAB進行數值方法的程序設計，可提高讀者的實踐能力並加深對數值方法理論的理解。

前言

本書主要介紹數值分析方面的基礎知識，適用於數學、計算機、物理及工程的本科生。本書要求讀者熟悉微積分知識，並接受過結構化編程的訓練。本書提供了豐富的教學內容，可以滿足一個學期甚至一個學年的課程量，教師們可以根據自己的需要對內容進行適當的剪裁。

對於各個領域的學生而言，數值方法都是非常有用的。這一指導思想貫穿於本書的各個章節中，因此本書提供了豐富的範例與典型問題，幫助讀者從理論與實踐兩方面提高數值分析的技能。本書盡可能地以圖形和圖表形式顯示計算結果，以便讀者更好地了解數值逼近的效果。本書利用MATLAB程序實現數值算法。

本書的重點在於幫助讀者理解數值方法如何工作以及有哪些限制。由於需要兼顧理論、誤差分析以及可讀性，達到這個目標並不容易。在本書中，對每種方法都給出了以微積分基本結論為基礎的推導，並進行了適當的誤差分析，以使讀者易於理解。通過這些學習，讀者能夠更好地理解微積分知識。采用MATLAB編程的計算機習題，為學生提供了鍛煉科學計算編程能力的機會。

在本書中，簡單的數值練習題可以用計算器或者掌上電腦完成，而較復雜的習題需要借助於MATLAB子程序。如何指導學生上機進行數值計算由各個教師完成，他們可以根據現有的計算機資源布置適當的教學任務。本書鼓勵使用MATLAB子程序庫，它們可以幫助學生實現計算機實驗題中的數值分析組件。

本書的這個版本在第5章增加了一節，討論貝塞爾曲線。對討論數值優化的第8章也進行了擴充，介紹了單變量和多變量函數的直接方法和基於導數的方法。

筆者以前認為，無論使用哪種編程語言都可以學習這門課程。但後來筆者發現大多數學生（除計算機的學生外）都需要學習新的編程語言。MATLAB現在已經成為工程和應用數學 不可少的工具，它的版本也加強了編程方面的功能。因此筆者希望本書的MATLAB程序能使書中的內容更易掌握，使學習更為有效。

致謝

筆者對參與編輯、出版本書各個版本的所有人員表示感謝！筆者（John Mathews）首先要感謝加利福尼亞州立大學富勒頓分校的學生們。同時，感謝我的同事Stephen Goode，Mathew Koshy，Edward Sabotka，Harris Schultz和Soo Tang Tan在本書 版中給予的支持；感謝Russell Egbert，William Gearhart，Ronald Miller和Greg Pierce對本書第二版的建議。筆者還要感謝加利福尼亞州立大學富勒頓分校數學繫主任James Friel的鼓勵。

許多評閱人對本書 版提出了有效建議，包括蘭德學院的Walter M. Patterson, III，中康涅狄格州立大學的George B. Miller，阿克倫大學的Peter J. Gingo，阿拉斯加大學費爾班克斯分校的Michael A. Freedman，加利福尼亞大學洛杉磯分校的Kenneth P. Bube。對於本書的第二版，筆者向羅格斯大學的Richard Bumby， 陸軍的Robert L. Curry，佛羅裡達大學的Bruce Edwards以及坦普爾大學的David R. Hill致謝。

關於本書的第三版，筆者向喬治梅森大學的Tim Sauer，俄克拉荷馬大學的Gerald M. Pitstick和Victor De Brunner，西弗吉尼亞大學的George Trapp，阿拉巴馬大學享茨維爾分校的Tad Jarik，北卡羅萊納州立大學的Jeffrey S. Scroggs，科羅拉多州立大學的Kurt Georg以及南伊利諾伊大學卡本代爾分校的James N. Craddock表示感謝。

本書第四版的評閱人是阿克倫大學的Kevin Kreider，華盛頓大學聖路易斯分校的Demetrio Labate，弗吉尼亞理工學院的Lee Johnson和路易斯安娜大學拉法葉分校的Azmy Ackleh。筆者對這些評閱人所付出的努力和提出的建議，表示深深的感謝。 

懇請讀者對本書不吝賜教，聯繫地址如下：

John H. Mathews

Mathematics Department

California State University

Fullerton，CA 92634

mathews@fullerton.edu

Kurtis D. Fink

Department of Mathematics

Northwest Missouri State University

Maryville，MO 64468

kfink@mail.nwmissouri.edu

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