《近世代數》第一章介紹基本概念，是全書的基礎；第二章介紹有一個代數運算的代數繫統——群的理論；第三章介紹具有兩個代數運算的代數繫統——環的理論；第四章介紹環論中的一個特殊問題——分解整環中的因子分解理論；第五章主要介紹了代數擴域。

郭茜 成都師範學院數學學院副教授
吳桂康 成都師範學院數學學院副教授

• 
• 
• 
• 

第1章基本概念/ 1
§1集合/ 1
§2整數的整除/ 3
§3映射/ 5
§運算/ 9
§5運算律/ 11
§6同態與同構/ 15
§7等價關繫與集合的分類/ 20

第2章群論/ 26
§1群的定義/ 26
§、消去律/ 29
§3群的同態/ 32
§4變換群/ 35
§5置換群/ 38
§6循環群/ 44
§7子群/ 48
§8子群的陪集/ 52
§9不變子群、商群/ 57
§10同態與不變子群/ 62

第3章環與域/ 72
§1環的定義/ 72
§2交換律、零因子、整環/ 75
§3除環、域/ 79
§4無零因子環的特征/ 82
§5子環、環的同態/ 84
§6多項式環/ 88
§7理想/ 94
§8剩餘類環/ 97
§9最大理想/ 101
§10商域/ 102

第4章整環裡的因子分解/ 113
§、唯一分解/ 113
§2唯一分解環/ 118
§3主理想環/ 121
§4歐氏環/ 124
§5多項式環的因子分解/ 127
§6因子分解與多項式的根/ 132

第5章擴域/ 139
§1擴域、素域/ 139
§2單擴域/ 142
§3代數擴域/ 149
§4多項式的分裂域/ 153
§5有限域/ 159

參考文獻/ 167
符號表/ 168
名詞索引/ 170

§1集合


集合的概念是數學中最基本的概念之一,在中學裡,已經接觸過集合的有關知識,這裡隻是進行一些復習和補充．




若干個（有限或無限多個）固定事物的全體稱為一個集合（簡稱集）,通常用大寫拉丁字母A, B, C, …來表示；而組成一個集合的事物稱為這個素（有）,通常用小寫拉丁字母a, b, c, …來表示．

若a是集素,則稱a屬於A,記為a∈A；若a不是集素,則稱a不屬於A,記為aA．

例如,一個班級的全體學生就是一個集合,而這個班級的每一個學生就是這個素．

通常,我們用N來表示全體自然數組成的集合,用Z來表示全體整數組成的集合,用Q來表示全體有理數組成的集合,用R來表示全體實數來組成的集合,用
C來表示全體復數組成的集合．

集合的表示方法一般有兩種：

一種是列舉法： 把集合素一一列舉出來,並用花括號“｛｝”括起來表示． 如集素a, b, c, …組成,則表示為A＝{a, b, c, …}．

另一種是描述法： 利用集素的共同特征,采用條件限制的方式來表示這個集合． 如A＝｛x|x∈Z, x2＝1｝．

一個集合素的個數記為｜A｜．當A中含有素n時,則稱A為有限集,記為｜A｜＝n；否則稱A為無限集,記為|A|＝∞．






設A ,B是兩個集合,若B的都屬於A,則稱B是A的子集,記為BA（或AB）．






把不素的集合稱為空集合（簡稱空集）,記為 SymbolFC@ ；並規定： 空集是任何一個集合的子集．





若集合A和集合B所是完全一樣的,則稱A和B相等,記為A＝B．

顯然

A＝BAB,BA.




若集合BA,x∈A,且xB,則稱集合B是集合A的真子集,記為BA（或AB）．




設A, B是兩個集合,則由所有屬於A且屬組成的集合稱為A和B的交集（簡稱交）,記為A∩B,即A∩B＝｛ x｜x∈A且x∈B｝．

例1設A是全體奇數組成的集合,而B是全體小於9的正整數組成的集合,那麼

A∩B＝｛1, 3, 5, 7｝.




設A,B是兩個集合,則由所有屬於A組成的集合稱為A和B的並集（簡稱並）,記為A∪B,即A∪B＝｛ x｜x∈A,或x∈B｝．

例2
設集合A＝{ x︱－1
A∪B＝{ x︱－1
對於兩個以上的集合A1, A2, …的交集和並集的定義和上面完全類似．






設A1, A2, …, An是n個集合,由一切從A1, A2, …, An裡按順序素組（a1, a2, …, an）（ai∈Ai）所做成的集合稱為A1, A2, …, An集合的積,記為

A1×A2×…×An.

並且，若｜Ai｜＝mi,則｜A1×A2×…×An｜＝m1×m2×…×mn．

例3
設集合A＝{0, 1},集合B＝{2, 3, 4},那麼

A×B＝{（0, 2）, （0, 3）, （0, 4）, （1, 2）, （1, 3）, （1, 4）}，

且｜A×B｜＝6．






設A是一個集合,由A的所有子集構成的集合稱為A的冪集,記為2A．

當集合A是有限集合時,素的個數正好是|2A|＝2|A|．證明留給讀者．

例4
設A＝｛x, y｝,則2A＝｛ SymbolFC@ , ｛a｝, ｛b｝, A｝,且｜2A｜＝22＝4,即集合A的冪集2A素．

代數學是數學中最重要的、基礎的分支之一．代數學的歷史悠久，它隨著數學本身的發展和應用、科學技術的進步
和需要而產生和發展．在這個過程中，代數學的研究對像和研究方法發生了重大的變化，並在初等代數學的基礎上產生和發展了近世代數學，即抽像代數學．它是一種帶有運算的集合，即以代數繫統為研究對像的一門學科．這樣，從一般的集合出發，研究各種運算的性質，就具有非常重要的意義，因為它的結論和方法不僅可以滲透到數學的各個領域，而且在其他學科，例如在化學、物理、編碼和計算機等理論中都有重要應用．
同構、群、環和域等基本概念對於大多數大學生來說都是新的，因此在概念的引入和定理的證明上，本書盡量采用通俗的語言和形像化的方法來表達，並輔以生動的例子，抽出若干最常用的代數繫統，如整數加群、對稱群Sn、GLn、整數環、多項式環、有理數（實數、復數）域等，將代數語言以它們為背景展示出來，並不計較多次返回同樣的議題或者同一個例子，同時顧及從高中到大學的過渡，讓基本的代數結構自然地產生．
本書是作者在長期的近世代數教學實踐的基礎上，參考國內外大量相關教材、專著、文獻編寫而成的.全書共五章，第1章介紹基本概念，是全書的基礎；第2章和第3章介紹群、環、域理論，包括子繫統、商繫統和同態同構等，同時介紹了具體的群、環和域，是本書的核心內容；第4章介紹整環裡的因式分解論，並由此介紹了兩個特殊的環類——主理想整環和歐式環；第5章主要介紹了擴域，特別是有限擴域和有限域．同時，為了提高學生的解題能力，加強實訓練習，每章後配有一定數量的習題供學生練習．
本書可作為師範院校和綜合大學數學專業學生的教材和參考書，亦可作為其他數學愛好者和工程技術人員的參考書．在采用本書作為教材時，教師可根據實際情況作適當的取舍．
本書由成都師範學院郭茜、吳桂康主編.具體分工如下： 郭茜編寫第一章至第三章；吳桂康編寫第四章和第五章；全書由郭茜負責統稿.
本書的編寫得到了成都師範學院
數學學院的支持和幫助，
參加教材審查會的同志們對本書亦提出了不少寶貴意見，
在此我們一並表示衷心感謝！

限於編者水平，書中錯漏難免，我們希望大家在使用的同時不斷提出意見，以便今後寫出高質量的教材．


編者

2018．09