第1 章 高等數學
一、考試大綱
1.1 空間解析幾何
向量的線性運算；向量的數量積、向量積及混合積；兩向量垂直、平行的條件；直線方
程；平面方程；平面與平面、直線與直線、平面與直線之間的位置關繫；點到平面、直線的
距離；球面、母線平行於坐標軸的柱面、旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程；常用的二次曲
面方程；空間曲線在坐標面上的投影曲線方程。
1.2 微分學
函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；數列極限與函數極限的定義及其性質；極限的
四則運算；無窮小和無窮大的概念及其關繫；無窮小的性質及無窮小的比較；函數連續的概念；
函數間斷點及其類型；導數與微分的概念；導數的幾何意義和物理意義；平面曲線的切線和法
線；導數和微分的四則運算；高階導數；微分中值定理；洛必達法則；函數單調性的判別；函
數的極值；曲線的凹凸性、拐點；偏導數與全微分的概念；二階偏導函數的極值和條
件極函數的最大、最小值及其簡單應用。
1.3 積分學
原函數與不定積分的概念；不定積分的基本性質；基本積分公式；定積分的基本概念和
性質（包括定積分中值定理）；變上限積分的函數及其導數；牛頓—萊布尼茲公式；不定積
分和定積積分法與分部積分法；有理函數、三角函數和簡單無理函數的積分；廣義
積分；二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用；兩類曲線積分的概念、性質和計算；
求平面圖形的面積、平面曲線的弧長和旋轉體的體積。
1.4 無窮級數
數項級數的斂散性；收斂級數的和；級數的基本性質與級數收斂的必要條件；幾何級數
與p 級數及其收斂性；正項級數斂散性的判別法；任意項級數的絕對收斂與條件收斂；冪級
數及其收斂半徑、收斂區間和收斂域；冪級數的和函數；函數的泰勒級數展開；函數的傅裡
葉繫數與傅裡葉級數。
1.5 常微分方程
常微分方程的基本概念；變量可分離的微分方程；齊次微分方程；一階線性微分方程；
全微分方程；可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質及解的結構定理；二階常繫數
齊次線性微分方程。
1.6 線性代數
行列式的性質及計算；行列式按行展開定理的應用；矩陣的運算；逆矩陣的概念、性質
及求法；矩陣的初等變換和初等矩陣；矩陣的秩；等價矩陣的概念和性質；向量的線性表示；
向量組的線性相關和線性無關；線性方程組有解的判定；線性方程組求解；矩陣的特征值和
特征向量的概念與性質；相似矩陣的概念和性質；矩陣的相似對角化；二次型及其矩陣表示；
第1 章 高等數學
·2·
合同矩陣的概念和性質；二次型的秩；慣性定理；二次型及其矩陣的正定性。
1.7 概率論與數理統計
隨機事件與樣本空間；事件間的關繫與運算；概率的基本性質；古典概型；條件概率；
乘法定理、全概率公式和貝葉斯公式；事件的獨立性；獨立重復試驗；隨機變量；隨機變量
的分布函數；離散型隨機變量的概率分布；連續型隨機變量的概率密度；常見隨機變量的分
布；隨機變量的數學期望、方差、標準差及其性質；隨機變量函數的數學期望；矩、協方差、
相關繫數及其性質；總體；個體；簡單隨機樣本；統計量；樣本均值；樣本方差和樣本矩；
z 分布；r 分布；F 分布；點估計的概念；估計量與估計值；矩估計法；最大似然估計法；估
計量的評選標準；區間估計的概念；單個正態總體的均值和方差的區間估計；兩個正態總體
的均值差和方差比的區 間估計；顯著性檢驗；單個正態總體的均值和方差的假設檢驗。
二、歷年考題分布一覽表
【說明】表中題號有重復源於部分題目中涉及多個考點。
年份
考核點
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2016
1.1 空間
解析幾何
向量代數 1 1 — 1 1 2、3 — — 1 — 4
平面與直線 2 2 1、2 2 2 1 1 — 15 9 —
曲面及其方
程 3、4 3 3 3 — — 2 — — 2 8
1.2 微分
學
函數極限和
連續 5、6 4 4 4 4 4、6 3、4 1、2 2、6 1、3 1
<函數微
分學 7 5、7 5、7、8 5、6、
7、8、9 3、5、6 5 5、6 3、4、
8、9
3、4、5、
7、13 4、5、8 2、5、
11、13
<函數微
分學 8、24 6、8 6 — 7 7 7 — 11、18 15、18 9、18
1.3 積分
學
<函數積
分學 9 9、10、
11
9、10、
11 10、11 8、9、
10、11
8、9、
10
8、9、
10 5、6 8 6、11 6、7、
10
二重積分 10 12 12 12 12 12 — 7 9 16 15
對弧長的曲
線積分 12 13 — 13 — — 11 — 16 — —
對坐標的曲
線積分 11 — 13 — — 11 12 — — 14 16
1.4 無窮
級數
常數項級數 13、16 14 14 14 13 13 13 10 12 7、12 14
冪級數 14 15 15 15 14 14 14 11 17 17 17
傅裡葉級數 15 — — — — — — — — — —
1.5 常微
分方程
常微分方程
及其解 17 16、17 16、17 16、17 15 16 15、16 — 10、20 10、13 3
二階常繫數
齊次線性微分
方程
— 18 18 18 16 15 — 12、13 14 — 12
1.6 線性
代數
行列式 — — 22 — 17 — — 15 — 19 —
矩陣 21、22 22 23 22 18、20 17、18 17、18、
19 14、17 21 20 20
向量 — — — 23 — — — 20 19 — 19
線性方程組 23 23 24 24 — 20 20 16 — 21 —
題
號
2005 年高等數學考題
·3·
續表
年份
考核點
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2016
1.6 線性
代數
矩陣的特征值和
特征向量 — 24 — — 19 19 — 18、19 — — 21
二次型 — — — — — — — 21 — — —
1.7 概率
論與數理統
計
隨機事件及其概
率 18 19、20 19 19、20 21 21、22 21、22 22 22 22 22
隨機變量及其概
率分布 20 21 20 — 22 23 23 24 23 23 23
隨機變量的數字
特征 — — — 21 23 — — 23 24 24 23
數理統計的基本
概念及抽樣分布 19 — — — — 24 24 — — — —
參數估計 — — 21 — 24 — — — — — 24
假設檢驗 — — — — — — — — — — —
2005 年考題
設a,b,c 均為向量，下列等式正確的是：
（A） 2 2 (a + b)(a ? b) = a ? b （B） 2 a i (a i b) = a b
（C） (a i b)2 = a 2 b 2 （D）(a + b)× (a ? b) = a × a ? b×b
解析： 2 2 (a + b)(a ? b) = a i a ? a i b + b i a ? b i b = a ? b ，選項 A正確。
B 選項中，等式左邊是與向量a 平行的向量，右邊是與向量b 平行的向量，是不能
相等的。
a i b = a b cosθ ,(a i b)2 = a 2 b 2 cos2θ ，選項 C 錯誤。
(a + b)× (a ? b) = a × a ? a × b + b× a ? b× b = a × a ? 2a × b ? b× b，選項 D錯誤。1
過點M(3, ? 2,1)且與直線 L：
1 0
2 3 4 0
x y z
x y z
? ? + = ??
? + ? + =
平行的直線方程是：
（A） 3 2 1
1 1 1
x ? y + z ?
= =
? ?
（B） 3 2 1
2 1 3
x ? y + z ?
= =
?
（C） 3 2 1
4 1 3
x ? y + z ?
= =
?
（D） 3 2 1
4 1 3
x ? y + z ?
= =
解析： 直線 L是平面x ? y ? z +1 = 0和平面2x + y ? 3z + 4 = 0的交線，則直線的方向向
1A 2D
題
號
第1 章 高等數學
·4·
1 1 1 4 3
2 1 3
= ? ? = + +
?
量
i j k
i j k
過 Z軸和點(1,2, ?1)的平面方程是：
（A）x + 2y ? z ? 6 = 0 （B）2x ? y = 0
（C） y + 2z = 0 （D）x + z = 0
解析： 過 Z軸的平面方程是 Ax + By = 0，將點(1,2, ?1)代入，得 A = ?2B ，即2x ? y = 0。
將橢圓
2 2
1
9 4
0
x z
y
?
+ = ???
? =
，繞x 軸旋轉一周所生成的旋轉曲面的方程是：
（A）
2 2 2
1
9 9 4
x + y + z = （B）
2 2
1
9 4
x + z =
（C）
2 2 2
1
9 4 4
x + y + z = （D）
2 2 2
1
9 4 9
x + y + z =
解析： 由題意可得，z = ± y2 + z2 ，代入方程則得到答案 C。
下列極限計算中，錯誤的是：
（A） lim 2 sin 1
2
n
n n
x
→ x
i =
∞
（B） lim sin 1
x
x
→ x
=
∞
（C）
1
1
0
lim(1 )x e
x
x ?
→
? = （D）
2
lim 1 1 e2
x
x→ x
? + ? = ? ?
∞? ?
解析： lim sin lim 1 sin 0
x n
x x
→ x → x
= i =
∞ ∞
（有界函數與無窮小的乘積是無窮小）。2
設函數
e 2 0 ( )
ln (1 ) 1 0
x a x
f x
λ x x
? ? +
= ?
