| 致謝 前言 概述 1 第 1 章 群是什麼 2 1. 1 一個有名的玩具 2 1. 2 觀察魔方 3 1. 3 關於對稱性的研究 3 1. 4 群的法則 4 1. 5 習題 5 1. 5. 1 滿足法則的情形 5 1. 5. 2 關於法則的一些結論 6 1. 5. 3 不滿足法則的情形 6 1. 5. 4 數字群 7 第 2 章 群看起來像什麼? 8 2. 1 繪圖 8 2. 2 一個不那麼有名的玩具 10 2. 3 繪制群圖 11 2. 4 凱萊圖 13 2. 5 初識抽像群 14 2. 6 習題 17 2. 6. 1 基礎知識 17 2. 6. 2 繪圖 17 2. 6. 3 回顧 18 2. 6. 4 法則 18 2. 6. 5 圖形 18 第 3 章 為什麼學習群? 20 3. 1 對稱群 20 3. 1. 1 分子的形狀 22 3. 1. 2 晶體學 23 3. 1. 3 藝術與建築 24 3. 2 作用群 27 3. 2. 1 舞蹈 27 3. 2. 2 多項式的根 28 3. 3 群無處不在 29 3. 4 習題 30 3. 4. 1 基礎知識 30 3. 4. 2 分子的對稱性 30 3. 4. 3 重復模式 31 3. 4. 4 舞蹈 32 第 4 章 群的代數定義 33 4. 1 作用都去哪兒了? 33 4. 2 組合, 組合, 組合 35 4. 3 乘法表 36 4. 4 經典定義 38 4. 4. 1 結合律 39 4. 4. 素 40 4. 4. 3 群的經典定義 40 4. 4. 4 過去, 現在, 未來 41 . 5 習題 41 4. 5. 1 基礎知識 41 4. 5. 2 創建乘法表 42 4. 5. 3 偽乘法表 43 4. 5. 4 低階群 45 4. 5. 5 表的模式 46 4. 5. 6 代數 46 第 5 章 五個群族 49 5. 1 循環群 49 5. 1. 1 旋轉體 49 5. 1. 2 乘法表和模加法 50 5. 1. 3 軌道 52 5. 1. 4 循環圖 53 5. 2 阿貝爾群 53 5. 2. 1 凱萊圖中的非交換性 54 5. 2. 2 交換乘法表 55 5. 2. 3 錯綜復雜的循環圖 56 5. 3 二面體群 58 5. 3. 1 翻轉與旋轉 58 5. 3. 2 D n 的凱萊圖 59 5. 3. 3 D n 的乘法表 60 5. 3. 4 第 7 章的一點預告 60 5. 3. 5 D n 的循環圖 60 5. 4 對稱群與交錯群 62 5. 4. 1 置換 62 5. 4. 2 置換群 62 5. 4. 3 柏拉圖立體 64 5. 4. 4 凱萊定理 66 5. 4. 5 小結 69 5. 5 習題 69 5. 5. 1 基礎知識 69 5. 5. 2 理解群族 70 5. 5. 3 小成員 71 5. 5. 4 提高篇 72 5. 5. 5 拓展篇 73 5. 5. 6 凱萊定理 75 第 6 章 子群 77 6. 1 關於凱萊圖, 乘法表 說了什麼? 77 6. 1. 1 完善我們的非正式定義 78 6. 2 看見子群 79 6. 3 顯露子群 80 6. 4 陪集 81 6. 5 拉格朗日定理 84 6. 6 習題 86 6. 6. 1 基礎知識 86 6. 6. 2 理解子群 87 6. 6. 3 哈斯圖 89 6. 6. 4 重組可視化圖 89 6. 6. 5 尋找例子 90 第 7 章 積與商 92 7. 1 直積 92 7. 1. 1 可視地構造直積 93 7. 1. 2 更多直積的例子 95 7. 1. 3 為什麼做直積? 96 7. 1. 4 代數觀點 99 7. 2 半直積 102 7. 3 正規子群與商 105 7. 4 正規化子 110 7. 5 共軛 114 7. 6 習題 117 Ⅶ 7. 6. 1 直積 117 7. 6. 2 半直積 119 7. 6. 3 商 119 7. 6. 4 正規化子 120 7. 6. 5 共軛 121 第 8 章 同態的力量 123 8. 1 嵌入和商映射 123 8. 1. 1 嵌入 127 8. 1. 2 商映射 128 8. 2 同態基本定理 131 8. 3 模運算 133 8. 4 直積與互素 136 8. 5 阿貝爾群基本定理 139 8. 6 再訪半直積 140 8. 7 習題 142 8. 7. 1 基礎知識 142 8. 7. 2 同態 143 8. 7. 3 嵌入 143 8. 7. 4 商映射 144 8. 7. 5 阿貝爾化 144 8. 7. 6 模運算 145 8. 7. 7 互素 145 8. 7. 8 半直積 146 8. 7. 9 同構 147 8. 7. 10 有限交換群 149 第 9 章 西羅定理 152 9. 1 群作用 153 9. 2 走向西羅: 柯西定理 157 9. 2. 1 6 階群的分類 161 9. 3 p - 群 162 9. 4 西羅定理 165 9. 4. 1 *一西羅定理: p - 子群的 存在性 165 9. 4. 2 8 階群的分類 168 9. 4. 3 *二西羅定理: p - 子群間的 關繫 170 9. 4. 4 第三西羅定理: p - 子群的 個數 172 9. 4. 5 15 階群的分類 173 9. 5 習題 174 9. 5. 1 基礎知識 174 9. 5. 2 群作用和作用圖 174 9. 5. 3 論證 174 9. 5. 4 西羅 p - 子群 175 9. 5. 5 給定階群的分類 175 第 10 章 伽羅瓦理論 177 10. 1 大問題 177 10. 2 更多大問題 180 10. 3 域擴張的可視化 182 10. 4 不可約多項式 185 10. 5 伽羅瓦群 187 10. 5. 1 一個小的域擴張: Q Q (槡2) 187 10. 5. 2 Q Q (槡2) 的對稱性 188 10. 5. 3 域擴張的對稱性 189 10. 5. 4 Q Q (槡2, 槡3) 的對稱性 191 10. 5. 5 Q Q (槡3 2) 的對稱性 193 10. 6 伽羅瓦理論的核心 195 10. 7 不可解 198 10. 7. 1 一個不可解群 198 10. 7. 2 一個不可解多項式 200 10. 7. 3 結論 202 10. 8 習題 202 10. 8. 1 基礎知識 202 10. 8. 2 域和擴張 204 10. 8. 3 多項式和可解性 207 10. 8. 4 有限域 208 部分習題答案 209 符號索引 229 參考文獻 231 |
