(1)適當壓縮了廣義逆的內容，隻介紹廣義逆的基本概念和基本求解的方法，並放在矩陣分解一章中，使得學生在掌握了矩陣分解的主要方法之後，能夠應用這些方法去求解廣義逆。(2)刪掉了特征值估計中一些證明較復雜的理論界結果，並把它放在範數理論一章中，讓學生更好地去理解範數這一概念的內涵。(3)采用由簡入繁的思路組織內容，通過從一些已經學過的、簡單的知識中引出要介紹的一些抽像知識，比如從解方程組引出矩陣、從歐氏空間的距離概念引出範數的概念，從而避免一開始就介紹過於抽像的知識而打消讀者進一步學習的熱情。(4)本書每一章都采用“基本概念—基本性質—基本定理—例題”的方式展開介紹。對於一些性質和定理的證明非常詳細，同時也留出一部分性質作為練習。__

全書共分7章，具體內容包括：第1章介紹矩陣的由來，分別從“雞兔同籠”解線性方程組和線性空間、線性變換兩個角度進行敘述；第2章介紹矩陣的基本概念、基本性質和常見的幾種矩陣；第3章介紹矩陣化簡問題，即如何把矩陣化簡成對角矩陣或分塊對角化(Jordon標準型)；第4章介紹矩陣分解問題，即把一個矩陣拆分成幾個特殊矩陣乘積的形式，這一章的最後還介紹了矩陣的廣義逆問題；第5章介紹矩陣度量問題，即把“距離”的概念推廣到“範數”的概念，並介紹了範數理論如何應用到特征值估計問題中；第6章介紹矩陣分析問題，即利用微積分的方法來處理矩陣；最後，第7章從一個圖像處理的簡單例子出發，介紹了矩陣如何和實際問題相結合，並拓展介紹了非負矩陣的一些相關知識。同時，在每章章末都配備了一定數量的習題，希望這些習題能夠幫助讀者鞏固本章的知識點。

王剛，北京航空航天大學電子信息工程學院副教授，博士後，從事交通信息工程及控制方面的教研工作，並負責矩陣論和運籌學的教學任務，出版專著（譯著）3部。

目 錄
第1章 線性代數基礎 1
1．1 從線性方程組談起 1
1．2 線性空間、線性變換和矩陣 3
1．3 線性子空間基本概念 8
1．4 特殊的線性子空間 12
習題 13
第2章 矩陣的基本概念 15
2．1 矩陣的基本運算 15
2．2 矩陣的秩 18
2．3 矩陣的跡 20
2．4 矩陣的特征值和特征向量 21
2．5 正交矩陣和酉矩陣 25
2．5．1 Gram-Schmidt正交化方法 26
2．5．2 Givens變換 27
2．5．3 Householder變換 29
2．6 正規矩陣 30
2．7 正定矩陣與半正定矩陣 32
2．8 特殊的冪矩陣 35
習題 36
第3章 矩陣對角化 38
3．1 矩陣的相抵 38
3．2 矩陣的相似 39
3．3 矩陣的對角化 40
3．4 正交相似對角化 42
3．5 Jordan標準形 46
3．5．1 Jordan標準形的存在定理 46
3．5．2 初等因子法求Jordan標準形 48
3．6 Cayley-Hamilton定理及其應用 54
習題 58
第4章 矩陣分解及應用 59
4．1 三角分解LU 59
4．2 矩陣的QR分解 62
4．3 滿秩分解 67
4．4 奇異值分解 69
4．5 矩陣的極分解 74
4．6 矩陣的譜分解 75
4．7 擴展主題――廣義逆矩陣 79
習題 83
第5章 範數理論及其應用 85
5．1 向量範數的定義 85
5．2 三個常用的不等式 86
5．3 常見的向量範數 88
5．4 向量範數的等價性 92
5．5 矩陣範數定義 94
5．6 常見的矩陣範數 94
5．7 矩陣範數與向量範數之間的相容性 99
5．8 擴展主題1：矩陣的非奇異性條件 101
5．9 擴展主題2：特征值估計 103
5．10 廣義特征值與極小極大原理 106
習題 109
第6章 矩陣分析及應用 111
6．1 矩陣序列及其極限 111
6．2 矩陣級數 114
6．3 矩陣冪級數 116
6．4 矩陣函數 118
6．5 函數矩陣的微分 125
6．6 函數矩陣的積分 130
應用擴展：矛盾方程組的求解 130
習題 132
第7章 矩陣論的實際應用 134
7．1 線性方程組求解的問題 134
7．2 非負矩陣簡介 137
7．3 低秩矩陣近似 137
7．4 主成分分析簡介 141
參考文獻 143

前 言

矩陣論作為數學的一個重要分支，不但具有豐富的內容，而且在信息科學與技術、管理科學與工程等學科中都有十分廣泛的應用，因此，學習和掌握矩陣理論的基本概念和基本方法就顯得十分必要。目前，高等院校許多專業都把矩陣論設置成研究生的一門必修課，而本書就是針對工科院校非數學專業研究生編寫的。

本書是在近十年課堂教學經驗的基礎上，參考了國內其他院校的相關課程講義編寫而成的。全書共分7章，具體內容包括：第1章介紹矩陣的由來，分別從“雞兔同籠”解線性方程組和線性空間、線性變換兩個角度進行敘述；第2章介紹矩陣的基本概念、基本性質和常見的幾種矩陣；第3章介紹矩陣化簡問題，即如何把矩陣化簡成對角矩陣或分塊對角化(Jordon標準型)；第4章介紹矩陣分解問題，即把一個矩陣拆分成幾個特殊矩陣乘積的形式，這一章的最後還介紹了矩陣的廣義逆問題；第5章介紹矩陣度量問題，即把“距離”的概念推廣到“範數”的概念，並介紹了範數理論如何應用到特征值估計問題中；第6章介紹矩陣分析問題，即利用微積分的方法來處理矩陣；最後，第7章從一個圖像處理的簡單例子出發，介紹了矩陣如何和實際問題相結合，並拓展介紹了非負矩陣的一些相關知識。同時，在每章章末都配備了一定數量的習題，希望這些習題能夠幫助讀者鞏固本章的知識點。

面向工科院校碩士研究生48課時的授課內容，在編寫過程中，本書力求兼顧基礎理論和應用，培養學生邏輯思維、抽像思維及實際應用的能力。為了使讀者在較短時間內盡可能多地掌握矩陣理論基礎知識，本書在內容的取舍和結構編排上，還做了如下一些新的嘗試。

(1)適當壓縮了廣義逆的內容，隻介紹廣義逆的基本概念和基本求解的方法，並放在矩陣分解一章中，使得學生在掌握了矩陣分解的主要方法之後，能夠應用這些方法去求解廣義逆。

(2)刪掉了特征值估計中一些證明較復雜的理論界結果，並把它放在範數理論一章中，讓學生更好地去理解範數這一概念的內涵。

(3)采用由簡入繁的思路組織內容，通過從一些已經學過的、簡單的知識中引出要介紹的一些抽像知識，比如從解方程組引出矩陣、從歐氏空間的距離概念引出範數的概念，從而避免一開始就介紹過於抽像的知識而打消讀者進一步學習的熱情。

(4)本書每一章都采用“基本概念—基本性質—基本定理—例題”的方式展開介紹。對於一些性質和定理的證明非常詳細，同時也留出一部分性質作為練習。

本書的主要內容曾為北京航空航天大學電子信息工程學院、軟件學院研究生講授。感謝北京航空航天大學電子信息工程學院給我提供了一個良好的教學、科研平臺，感謝張有光副院長、陳傑副院長、王俊副院長、孫則怡老師、張穎老師、郎榮玲老師、原倉周老師在教學過程中給我提供的幫助和支持，感謝電子工業出版社編輯竺南直先生的大力幫助。由於作者水平有限，難免有疏漏之處，迫切希望讀者批評指正。

編者