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本書從理論和實踐出發，全面介紹求解微分方程的數值方法――有限差分法，並簡單地介法. 全書共6章，主要內容包括：預備知識、常微分方程的數值解法、拋物型偏微分方程的有限差分法、雙曲型偏微分方程的有限差分法、橢圓型偏微分方程的有限差分法法簡介等. 本書提供配套電子課件、例題程序代碼、課後習題參考運行結果及程序代碼等。

華鼕英，博士，北京信息科技大學理學院副教授，長期從事高等學校數學領域基礎課程教學，教學經驗豐富。北京市教委精品課程《高等數學》主要參與人，***《高等數學》優秀教學團隊骨干教師。

第一章 預備知識 1
第一節 微分方程的相關概念與分類 1
一、微分方程的相關概念 1
二、微分方程的分類 2
第二節 數值分析的工具 3
本章要求及小結 6
習題一 6
第二章 常微分方程的數值解法 7
第一節 歐拉（Euler）方法 8
一、歐拉方法 8
二、梯形方法 9
三、改進的歐拉方法 11
第二節 誤差分析的相關概念 12
一、局部截斷誤差與相容性 12
二、穩定性 13
三、收斂性 14
四、收斂階的數值意義 15
第三節 龍格-庫塔（Runge-Kutta）
方法 15
一、泰勒級數方法 16
二、龍格-庫塔方法? 17
第四節 線性多步法 20
一、線性多步法 21
二、阿當姆斯方法 24
三、預估―校正方法 26
第五節 一階方程組及高階方程初值問題
的解法 27
一、一階方程組初值問題的解法 27
二、高階方程初值問題的解法 29
第六節 兩點邊值問題的解法 30
一、打靶法求解兩點狄利克萊邊值
問題 30
二、打靶法求解兩點混合邊值問題 32
三、差分法求解兩點狄利克萊邊值
問題 33
四、差分法求解兩點混合邊值問題 36
第七節 高精度算法 39
一、理查德森（Richardson）外推法 39
二、緊差分方法 42
本章參考文獻 43
本章要求及小結 43
習題二 44
第三章 拋物型偏微分方程的有限差分法 46
第一節 向前歐拉方法 46
一、向前歐拉格式 46
二、向前歐拉格式解的存在唯一性、
穩定性和收斂性分析 48
三、數值算例 52
第二節 向後歐拉方法 55
一、向後歐拉格式 55
二、向後歐拉格式解的存在唯一性、
穩定性和收斂性分析 57
三、數值算例 57
第三節 Crank-Nicolson方法 60
一、理查德森差分格式 61
二、Crank-Nicolson差分格式 65
三、Crank-Nicolson格式解的存在唯一性、
穩定性和收斂性分析 67
四、數值算例 68
第四節 高精度算法 69
一、理查德森外推法 70
二、緊差分方法 76
第五節 混合邊界條件下的差分方法 80
一、幾種差分格式的建立 81
二、差分格式穩定性的討論 84
三、數值算例 87
第六節 二維拋物型方程的交替方向隱
格式 89
一、向前歐拉格式 90
二、Crank-Nicolson格式 91
三、交替方向隱（ADI）格式 94
四、關於添加輔助項的說明 97
五、數值算例 100
第七節 二維拋物型方程的緊交替方向
隱式方法 101
一、二維緊差分格式 101
二、緊交替方向隱格式 103
三、緊ADI格式的收斂性分析 105
四、數值算例 105
本章參考文獻 106
本章要求及小結 107
習題三 107
第四章 雙曲型偏微分方程的有限差分法 110
第一節 一階雙曲型方程的若干差分
方法 110
一、精確解所具有的波的傳播性質及
對初值的局部依賴性 110
二、迎風格式 111
三、一個完全不穩定的差分格式 113
四、蛙跳（Leapfrog）格式 113
五、Lax-Friedrichs 格式 115
六、Lax-Wendroff格式 116
七、Beam-Warming格式 116
八、隱格式的設計 117
九、Courant-Friedrichs-Lewy條件 118
十、數值算例 119
十一、推廣 120
第二節 二階雙曲型方程的顯式差分法 122
一、三層顯差分格式的建立 122
二、顯格式的穩定性、收斂性分析 123
三、改進的三層顯格式 126
四、數值算例 127
第三節 二階雙曲型方程的隱式差
分法 128
一、隱差分格式的建立 128
二、隱格式的穩定性、收斂性分析 130
三、數值算例 131
第四節 二階雙曲型方程的緊差分
方法 131
一、緊差分格式的建立 131
二、緊差分格式的穩定性、收斂性
分析 133
三、數值算例 135
第五節 二維雙曲型方程的交替方向
隱格式 135
一、顯差分格式 135
二、交替方向隱格式 137
三、交替方向隱格式的穩定性、收斂性
分析 140
四、二維拋物型方程交替方向隱格式的
穩定性 142
五、數值算例 142
第六節 二維雙曲型方程的緊交替方向
隱式方法 143
一、二維緊差分格式 143
二、緊交替方向隱格式 145
三、緊交替方向隱格式的穩定性、
收斂性分析 146
四、二維拋物型方程緊交替方向隱格式
的穩定性 148
五、數值算例 148
本章參考文獻 149
本章要求及小結 150
習題四 150
第五章 橢圓型偏微分方程的有限差分法 155
第一節 五點菱形差分方法 155
一、五點菱形格式 155
二、五點菱形格式的收斂性分析 159
三、數值算例 162
第二節 九點緊差分方法 162
一、九點緊差分格式 163
二、九點緊差分格式的收斂性分析 165
三、數值算例 170
第三節 混合邊界條件下的差分方法 170
一、二階差分格式 171
二、差分格式的收斂性分析 176
三、數值算例 176
本章參考文獻 177
本章要求及小結 177
習題五 177
第六章 法簡介 182
第一節 一個引例 182
一、常微分方程兩點邊值問題的等價
形式 182
二、模型問題法 184
三法的編程 185
四法的收斂性分析 188
五、數值算例 189
第二節 變分原理與弱解 190
一、原問題的等價變分形式 191
二、Lax-Milgram定理 192
第三節 空間的構造 194
一、對區域 ? 的剖分 194
二、三角 194
三的基函數與面積坐標 195
四、三角及其基函數 196
第四節 法的實現 198
剛度矩荷載 198
二、總剛度矩陣和總荷載的合成 199
三、邊界條件的處理 200
四、數值算例 200
第五節 拋物型方程初邊值問題的有限一、原方程的變分形式 201
二、法進行空間半離散 202
三、用差分法進行時間全離散 203
四、相關量的數值計算 203
五、編程時的一些說明 204
六、數值算例 204
本章參考文獻 205
本章要求及小結 205
習題六 205
附錄A 二階線性偏微分方程的變換與分類 207
附錄B 四階龍格－庫塔方法的推導 212
附錄C 解線性方程組的迭代法 217

前 言

在自然科學、工程技術甚至經濟管理領域中的很多數學模型，其表現形式通常為常微分方程或偏微分方程的定解問題，如何有效地進行求解是非常關鍵的. 這些微分方程定解問題的精確解通常是很難用解析的方法求得的，所以很大程度上要依靠數值求解. 現代計算技術軟、硬件的發展為借助計算機的數值求解微分方程墊定了媒質基礎，而真正高效地求解微分方程的定解問題則更需要堅實的數學理論和計算機編程實踐基礎，為此我們編寫了這本教材.

該教材具有如下特色：

① 教材起點比較低，為了適應一般院校學生數學基礎相對薄弱的特點，直到最後的兩三章纔使用變化較多的差分算子記號，使學生一開始就不被這些算子記號而束縛，而在經過前幾章的學習、逐漸適應了常用的差商表示以後，再引入這些算子就顯得很自然、也很有效了.

② 在內容和描述上，我們盡可能地把復雜、深奧的數學理論用簡單、通俗的語言和例子進行描述，把一些問題最本質的特點反映出來，讓學生看得見、摸得著，“知其然”還“知其所以然”. 通過一些思路的描述，讓學生了解各種方法的實際演化，從而明白算法改進的實際意義其實本質上就是追求更好、更優，讓學生切實體會到這些理論的實際意義.

③ 國內的很多基礎教材在微分方程的求解方面都側重於傳授理論知識，而實際上，我們認為微分方程數值求解的理論固然重要，而相應的編程實踐同樣重要. 所以“兩的都要抓，兩手都要硬”，這就是我們既把理論知識又把編程算例寫入教材的初衷. 讓學生從一開始就實實在在地進行編程，從模仿到獨立完成. 教材中的算例配上程序和結果是為了讓學生能自己實踐和對比，從而提高學生的實踐操作能力.

④ 在配套的程序編寫方面，我們采用C語言進行程序設計，主要是因為一般高等院校普遍開設過《C語言程序設計》這門課程，C語言也是程序設計的主流高級語言. 另外，C語言數組從0開始編號的特點也正好與微分方程的數值計算理論中從0開始設置下標相匹配.

⑤ 此外，我們的程序設計也從簡到難，從開始十幾行的代碼到後來百來行的代碼，從開始簡單的數組到後來文件數據的存儲、讀取，以及與MATLAB軟件結合來畫圖，都遵循循序漸進的原則，讓學生最後能繫統地學會獨立編程.

⑥ 本書提供配套電子課件、例題程序代碼、課後習題參考運行結果及程序代碼，請登錄華信教育資源網（http://www.hxedu.com.cn）免費注冊下載，或掃描封底、章首和習題的二維碼獲取相關教學資源。

全書共分6章，主要內容包括：第一章預備知識，介紹常用的差商近似及泰勒公式等；第二章常微分方程的數值解法，主要介紹常微分方程初值問題的有限差分方法，包括最經典的歐拉方法、龍格－庫塔方法等，還介紹了差分法的相容性、穩定性及收斂性的概念，然後推廣到求解二階常微分方程的邊值問題，為後面介紹偏微分方程定解問題的有限差分法打下基礎；第三章拋物型偏微分方程的有限差分法，第四章雙曲型偏微分方程的有限差分法，第五章橢圓型偏微分方程的有限差分法，本著從易到難的原則，以上3章分別介紹偏微分方程的3種標準方程在帶不同初、邊值條件下的差分解法；最後第六法簡介，主要介紹法的實際意義及簡單的編程操作.

本書可作為一般高等院校信息與計算科學專業的基礎教材，也可供相關領域的工程技術人員學習和參考.

教學中，可根據教學對像和學時等具體情況對書中的內容進行刪減和組合，也可以進行適當擴展，參考學時為48～64學時.

本書第一章至第五章由華鼕英編寫，第六章由李祥貴編寫，所有程序由李祥貴編寫. 全書由華鼕英統稿. 在本書的編寫過程中，電子工業出版社的王羽佳編輯為本書的出版做了大量工作. 在此一並表示感謝！

由於時間緊促，作者學識有限，書中難免有疏漏及錯誤之處，懇請廣大讀者批評指正.

作 者

20016年6月

2015年7月