●《信息與計算科學叢書》序
第二版前言
第1章分數階導數及其數值逼近1
1.1分數階導數的定義和性質1
1.1.1分數階積分1
1.1.2Grunwald-Letnikov分數階導數1
1.1.3Riemann-Liouville分數階導數2
1.1.4Caputo分數階導數2
1.1.5Riesz分數階導數4
1.1.6積分下限處分數階導數的性態4
1.2分數階導數的Fourier變換5
1.3分數階常微分方程6
1.3.1Riemann-Liouville型方程的求解6
1.3.2Caputo型方程的求解9
1.4Riemann-Liouville分數階導數的G-L逼近10
1.5Riesz分數階導數的中心差商逼近24
1.6Caputo分數階導數的插值逼近30
1.6.1L1逼近30
1.6.2L1-2逼近38
1.6.3L2-1σ逼近40
1.6.4多項分數階導數和的L2-1σ逼近47
1.6.5H2N2逼近55
1.7Caputo分數階導數的快速插值逼近64
1.7.1快速的L1逼近65
1.7.2快速的L2-1σ逼近70
1.7.3快速的H2N2逼近77
1.8分數階常微分方程的差分方法81
1.8.1基於G-L逼近的方法81
1.8.2基於L1逼近的方法89
1.8.3基於L2-1σ逼近的方法94
1.9分數階偏微分方程的簡單分類96
1.10補注與討論98
習題1100
第2章時間分數階慢擴散方程的差分方法103
2.1一維問題基於G-L逼近的空間二階方法103
2.1.1差分格式的建立105
2.1.2差分格式的可解性106
2.1.3差分格式的穩定性107
2.1.4差分格式的收斂性109
2.2一維問題基於G-L逼近的空間四階方法109
2.2.1差分格式的建立110
2.2.2差分格式的可解性110
2.2.3差分格式的穩定性111
2.2.4差分格式的收斂性112
2.3一維問題基於L1逼近的空間二階方法113
2.3.1差分格式的建立113
2.3.2差分格式的可解性114
2.3.3差分格式的穩定性115
2.3.4差分格式的收斂性116
2.4一維問題基於L1逼近的快速差分方法117
2.4.1差分格式的建立117
2.4.2差分格式的可解性118
2.4.3差分格式的穩定性119
2.4.4差分格式的收斂性120
2.5一維問題基於L1逼近的空間四階方法121
2.5.1差分格式的建立121
2.5.2差分格式的可解性122
2.5.3差分格式的穩定性123
2.5.4差分格式的收斂性124
2.6一維問題基於L2-1σ逼近的差分方法125
2.6.1差分格式的建立125
2.6.2差分格式的可解性126
2.6.3一個引理126
2.6.4差分格式的穩定性129
2.6.5差分格式的收斂性132
2.7一維問題基於L2-1σ逼近的快速差分方法132
2.7.1差分格式的建立132
2.7.2差分格式的可解性134
2.7.3差分格式的穩定性135
2.7.4差分格式的收斂性137
2.8多項時間分數階慢擴散方程基於L1逼近的差分方法138
2.8.1差分格式的建立138
2.8.2差分格式的可解性139
2.8.3差分格式的穩定性140
2.8.4差分格式的收斂性142
2.9多項時間分數階慢擴散方程基於L2-1σ逼近的差分方法143
2.9.1差分格式的建立143
2.9.2差分格式的可解性144
2.9.3差分格式的穩定性145
2.9.4差分格式的收斂性146
2.10二維問題基於G-L逼近的ADI方法147
2.10.1差分格式的建立149
2.10.2差分格式的可解性151
2.10.3差分格式的穩定性152
2.10.4差分格式的收斂性153
2.11二維問題基於L1逼近的ADI方法154
2.11.1差分格式的建立155
2.11.2差分格式的可解性157
2.11.3差分格式的穩定性157
2.11.4差分格式的收斂性159
2.12補注與討論160
習題2162
第3章時間分數階波方程的差分方法164
3.1一維問題基於L1逼近的空間二階方法164
3.1.1差分格式的建立164
3.1.2差分格式的可解性165
3.1.3差分格式的穩定性166
3.1.4差分格式的收斂性168
3.2一維問題基於L1逼近的快速差分方法169
3.2.1差分格式的建立169
3.2.2差分格式的可解性171
3.2.3差分格式的穩定性172
3.2.4差分格式的收斂性176
3.3一維問題基於L1逼近的空間四階方法178
3.3.1差分格式的建立178
3.3.2差分格式的可解性179
3.3.3差分格式的穩定性180
3.3.4差分格式的收斂性182
3.4一維問題基於L2-1σ逼近的差分方法183
3.4.1差分格式的建立183
3.4.2差分格式的可解性187
3.4.3差分格式的穩定性188
3.4.4差分格式的收斂性199
3.5一維問題基於L2-1σ逼近的快速差分方法199
3.5.1差分格式的建立200
3.5.2差分格式的可解性202
3.5.3差分格式的穩定性203
3.5.4差分格式的收斂性211
3.6多項時間分數階波方程基於L1逼近的差分方法212
3.6.1差分格式的建立212
3.6.2差分格式的可解性213
3.6.3差分格式的穩定性214
3.6.4差分格式的收斂性216
3.7多項時間分數階波方程基於L2-1σ逼近的差分方法217
3.7.1差分格式的建立217
3.7.2差分格式的可解性220
3.7.3差分格式的穩定性221
3.7.4差分格式的收斂性228
3.8時間分數階混合擴散-波方程基於L1逼近的差分方法229
3.8.1差分格式的建立229
3.8.2差分格式的可解性231
3.8.3差分格式的穩定性231
3.8.4差分格式的收斂性235
3.9二維問題基於L1逼近的ADI方法235
3.9.1差分格式的建立236
3.9.2差分格式的可解性238
3.9.3差分格式的穩定性239
3.9.4差分格式的收斂性241
3.10二維問題基於L1逼近的緊ADI方法241
3.10.1差分格式的建立242
3.10.2差分格式的可解性244
3.10.3差分格式的穩定性246
3.10.4差分格式的收斂性249
3.11補注與討論249
習題3251
第4章空間分數階偏微分方程的差分方法256
4.1一維問題基於位移G-L逼近的一階方法256
4.1.1差分格式的建立257
4.1.2差分格式的可解性258
4.1.3差分格式的穩定性259
4.1.4差分格式的收斂性260
4.2一維問題基於加權位移G-L逼近的二階方法260
4.2.1差分格式的建立260
4.2.2差分格式的可解性262
4.2.3差分格式的穩定性263
4.2.4差分格式的收斂性264
4.3一維問題基於加權位移G-L逼近的四階方法265
4.3.1差分格式的建立266
4.3.2差分格式的可解性267
4.3.3差分格式的穩定性268
4.3.4差分格式的收斂性270
4.4二維問題基於加權位移G-L逼近的四階ADI方法270
4.4.1差分格式的建立271
4.4.2三個引理274
4.4.3差分格式的可解性275
4.4.4差分格式的穩定性276
4.4.5差分格式的收斂性278
4.5補注與討論279
習題4279
第5章時空分數階微分方程的差分方法283
5.1一維問題空間二階方法283
5.1.1差分格式的建立284
5.1.2差分格式的可解性285
5.1.3一個引理286
5.1.4差分格式的穩定性288
5.1.5差分格式的收斂性290
5.2一維問題空間四階方法291
5.2.1差分格式的建立291
5.2.2差分格式的可解性293
5.2.3差分格式的穩定性293
5.2.4差分格式的收斂性295
5.3二維問題空間二階方法296
5.3.1差分格式的建立296
5.3.2差分格式的可解性298
5.3.3差分格式的穩定性299
5.3.4差分格式的收斂性301
5.4二維問題空間四階方法302
5.4.1差分格式的建立303
5.4.2差分格式的可解性304
5.4.3差分格式的穩定性306
5.4.4差分格式的收斂性309
5.5補注與討論310
習題5311
第6章時間分布階慢擴散方程的差分方法313
6.1一維問題空間和分布階二階方法313
6.1.1差分格式的建立313
6.1.2差分格式的可解性315
6.1.3兩個引理316
6.1.4差分格式的穩定性318
6.1.5差分格式的收斂性320
6.2一維問題空間和分布階四階方法321
6.2.1差分格式的建立321
6.2.2差分格式的可解性323
6.2.3差分格式的穩定性324
6.2.4差分格式的收斂性326
6.3二維問題空間和分布階二階方法327
6.3.1差分格式的建立328
6.3.2差分格式的可解性329
6.3.3差分格式的穩定性330
6.3.4差分格式的收斂性331
6.4二維問題空間和分布階四階方法332
6.4.1差分格式的建立332
6.4.2差分格式的可解性333
6.4.3差分格式的穩定性334
6.4.4差分格式的收斂性336
6.5二維問題空間和分布階二階ADI方法337
6.5.1差分格式的建立337
6.5.2差分格式的可解性339
6.5.3差分格式的穩定性340
6.5.4差分格式的收斂性341
6.6二維問題空間和分布階四階ADI方法342
6.6.1差分格式的建立343
6.6.2差分格式的可解性344
6.6.3差分格式的穩定性345
6.6.4差分格式的收斂性346
6.7補注與討論347
習題6350
附錄Caputo分數階導數核函數t-a的指數和逼近的MATLAB程序代碼353
參考文獻357
索引365
《信息與計算科學叢書》已出版書目368

本書力求對分數階偏微分方程的有限差分方法做一個繫統的介紹。全書分為6章。第1章介紹四種分數階導數的定義，給出兩類分數階常微分方程初值問題解析解的表達式；介紹分數階導數的幾種數值逼近方法，研究它們的逼近精度，並應用於分數階常微分方程的數值求解。這些是後面章節中分數階偏微分方程數值解的基礎。接著的5章依次論述求解時間分數階慢擴散方程的有限差分方法、求解時間分數階波方程的有限差分方法、求解空間分數階偏微分方程的有限差分方法、求解一類時空分數階微分方程的有限差分方法以及求解一類時間分布階慢擴散方程的有限差分方法。對每一差分格式，分析其專享可解性、穩定性和收斂性。本書可作為高等院校計算數學專業、應用數學專業研究生的教材，也可作為科學與工程計算科研人員的參考書。