●《現代數學基礎叢書》序
前言
緒論 1
0.1 李群方法的基本介紹 1
0.2 李群方法的基本作用 3
第 1 章 李群的基本概念與基本理論 4
1.1 李群的基本概念 4
1.1.1 李群的定義 4
1.1.2 無窮小變換 6
1.1.3 李第一基本定理與無窮 7
1.1.4 正則坐標 14
1.2 微分方程延拓的無窮 16
1.2.1 常微分方程情形 16
1.2.2 偏微分方程情形 21
1.3 微分方程的不變解與不變性準則 32
1.3.1 微分方程的不變解 33
1.3.2 常微分方程的不變性準則 33
1.3.3 偏微分方程的不變性準則 36
1.4 李第二、第三基本定理與李代數 40
第 2 章 整數階微分方程的不變解與準確解 44
2.1 常微分方程在正則坐標下的準確解 44
2.1.1 一階常微分方程情形 44
2.1.2 二階常微分方程情形 46
2.2 幾類偏微分方程的不變解與準確解 52
2.2.1 (1+1)維熱方程情形 52
2.2.2 組合KdV-mKdV方程情形 55
2.2.3 (3+1)維Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程情形 60
2.2.4 廣義Kaup-Boussinesq方程組情形 65
2.2.5 非線性廣義Zakharov方程組情形 71
第 3 章 分數階微分方程的李群理論 77
3.1 Riemann-Liouville分數階導數的基本概念 77
3.1.1 特殊函數 77
3.1.2 Riemann-Liouville分數階導數的定義和性質 78
3.2 幾類分數階微分方程的不變性準則 79
3.2.1 分數階常微分方程情形 79
3.2.2 時間分數階偏微分方程情形 84
3.2.3 時間分數階偏微分方程組情形 91
3.3 幾類分數階微分方程的李群分析 93
3.3.1 分數階Riccati方程情形 93
3.3.2 線性時間分數階變繫數偏微分方程情形 95
3.3.3 非線性時間分數階對流擴散方程情形 99
3.3.4 非線性時間分數階反應對流擴散方程情形 103
3.3.5 時間分數階耦合It^o方程組的不變解 111
第 4 章 偏微分方程守恆向量的構造 115
4.1 整數階偏微分方程的共軛性概念與守恆向量定理 115
4.1.1 共軛性概念 115
4.1.2 守恆向量定理 117
4.2 兩類整數階非線性偏微分方程的守恆向量構造 121
4.2.1 拓展的(2+1)維量子Zakharov-Kuznetsov方程情形 121
4.2.2 變繫數Davey-Stewartson方程組情形 124
4.3 時間分數階偏微分方程的共軛性概念與守恆向量定理 130
4.3.1 共軛性概念 131
4.3.2 守恆向量定理 133
4.4 幾類時間分數階偏微分方程的守恆向量構造 134
4.4.1 時間分數階耦合It^o方程組情形 134
4.4.2 時間分數階變繫數耦合 Burgers方程組情形 136
4.4.3 時間分數階廣義Hirota-Satsuma耦合KdV方程組情形 138
4.4.4 時間分數階耦合Hirota方程組情形140
第 5 章 偏微分方程基於守恆向量的準確解求解 145
5.1 具有外部源的各向異性非線性擴散方程的準確解 145
5.1.1 非線性自共軛 145
5.1.2 守恆向量約化 148
5.1.3 穩態及非穩態準確解求解 152
5.1.4 修正守恆律下的準確解 157
5.2 具有外部源的各向異性波動方程的準確解 158
5.2.1 非線性自共軛 158
5.2.2 守恆向量約化 161
5.2.3 三角函數型準確解求解 164
5.3 一類非線性色散演化方程組的準確解 165
5.3.1 非線性自共軛 166
5.3.2 守恆向量構造 167
5.3.3 準確解求解 169
第 6 章 李群方法的其他應用 172
6.1 雙平方根利率期限結構方程的李群分析 172
6.1.1 無窮 173
6.1.2 不變解求解 173
6.2 Novikov方程基於不變解的單尖峰孤子解 177
6.2.1 方程的李群分析 177
6.2.2 單尖峰孤子解 179
6.3 分數階微分-積分方程的李群分析 182
6.3.1 不變性準則 182
6.3.2 無窮 185
6.3.3 基於核函數和自由項的李群分析 188
參考文獻 191
附錄 196
附錄A 無窮的Maple實現 196
A.1 組合KdV-mKdV方程情形 196
A.2 非線性廣義Zakharov方程組情形 196
附錄B Bernoulli型輔助方程法 197
附錄C tanh函數型輔助方程法 198
附錄D 分數階無窮相關推導 199
《現代數學基礎叢書》己出版書目 203
