《數學女孩》繫列第三彈！日本數學會強力推薦 絕贊的數學科普書原版全繫列累計銷量突破40萬冊！在動人的故事中走近數學，在青春的浪漫中理解數學如果你還沒有明白，那麼就算全世界的人都說“明白了，很簡單啊”，你仍然要鼓起勇氣說“不，我還不明白”。這一點很重要。——結城浩

●序言
第1章 鏡子的獨白 1
1.1 誰是老實人 1
1.1.1 鏡子呀鏡子 1
1.1.2 誰是老實人 3
1.1.3 相同的回答 7
1.1.4 回答是沉默 8
1.2 邏輯謎題 9
1.2.1 愛麗絲、博麗絲和克麗絲 9
1.2.2 用表格來想 10
1.2.3 出題者的心思 14
1.3 帽子是什麼顏色 15
1.3.1 不知道 15
1.3.2 對出題者的驗證 18
1.3.3 鏡子的獨白 19
第2章 皮亞諾算術 23
2.1 泰朵拉 23
2.1.1 皮亞諾公理 23
2.1.2 無數個願望 27
2.1.3 皮亞諾公理 PA1 28
2.1.4 皮亞諾公理 PA2 29
2.1.5 養大 32
2.1.6 皮亞諾公理 PA3 34
2.1.7 小的？ 35
2.1.8 皮亞諾公理 PA4 36
2.2 米爾嘉 39
2.2.1 皮亞諾公理 PA5 42
2.2.2 數學歸納法 43
2.3 在無數腳步之中 49
2.3.1 有限？無限？ 49
2.3.2 動態？靜態？ 50
2.4 尤裡 52
2.4.1 加法運算？ 52
2.4.2 公理呢？ 53
第3章 伽利略的猶豫 57
3.1 集合 57
3.1.1 美人的集合 57
3.1.2 外延表示法 58
3.1.3 餐桌 60
3.1.4 空集 61
3.1.5 集合的集合 62
3.1.6 公共部分 64
3.1.7 並集 67
3.1.8 包含關繫 68
3.1.9 為什麼要研究集合 71
3.2 邏輯 72
3.2.1 內涵表示法 72
3.2.2 羅素悖論 74
3.2.3 集合運算和邏輯運算 77
3.3 無限 79
3.3.1 雙射鳥籠 79
3.3.2 伽利略的猶豫 83
3.4 表示 86
3.4.1 歸途 86
3.4.2 書店 87
3.5 沉默 88
第4章 無限接近的目的地 91
4.1 家中 91
4.1.1 尤裡 91
4.1.2 男生的“證明” 92
4.1.3 尤裡的“證明” 93
4.1.4 尤裡的“疑惑” 96
4.1.5 我的講解 97
4.2 超市 99
4.3 音樂教室 104
4.3.1 字母的導入 104
4.3.2 極限 106
4.3.3 憑聲音決定音樂 108
4.3.4 極限的計算 111
4.4 歸途 119
第5章 萊布尼茨之夢 123
5.1 若尤裡，則非泰朵拉 123
5.1.1 “若……則……”的含義 123
5.1.2 萊布尼茨之夢 126
5.1.3 理性的界限？ 128
5.2 若泰朵拉，則非尤裡 129
5.2.1 備戰高考 129
5.2.2 上課 131
5.3 若米爾嘉，則米爾嘉 133
5.3.1 教室 133
5.3.2 形式繫統 135
5.3.3 邏輯公式 137
5.3.4 “若……則……”的形式 140
5.3.5 公理 142
5.3.6 證明論 143
5.3.7 推理規則 145
5.3.8 證明和定理 147
5.4 不是我，還是我 149
5.4.1 家中 149
5.4.2 形式的形式 150
5.4.3 含義的含義 152
5.4.4 若“若……則……”，則…… 153
5.4.5 邀約 157
第6章 -δ語言 159
6.1 數列的極限 159
6.1.1 從圖書室出發 159
6.1.2 到達階梯教室 160
6.1.3 理解復雜式子的方法 164
6.1.4 看“絕對值” 166
6.1.5 看“若……則……” 169
6.1.6 看“所有”和“某個” 170
6.2 函數的極限 174
6.2.1 -δ 174
6.2.2 -δ的含義 177
6.3 摸底考試 178
6.3.1 上榜 178
6.3.2 靜寂的聲音、沉默的聲音 179
6.4 “連續”的定義 181
6.4.1 圖書室 181
6.4.2 在所有點處都不連續 184
6.4.3 是否存在在一點處連續的函數 186
6.4.4 逃出無限的迷宮 187
6.4.5 在一點處連續的函數！ 188
6.4.6 訴衷腸 192
第7章 對角論證法 197
7.1 數列的數列 197
7.1.1 可數集 197
7.1.2 對角論證法 201
7.1.3 挑戰：給實數編號 209
7.1.4 挑戰：有理數和對角論證法 213
7.2 形式繫統的形式繫統 215
7.2.1 相容性和完備性 215
7.2.2 哥德爾不完備定理 222
7.2.3 算術 224
7.2.4 形式繫統的形式繫統 225
7.2.5 詞彙的整理 229
7.2.6 數項 229
7.2.7 對角化 230
7.2.8 數學的定理 232
7.3 失物的失物 233
第8章 兩份孤獨所衍生的產物 239
8.1 重疊的對 239
8.1.1 泰朵拉的發現 239
8.1.2 我的發現 245
8.1.3 誰都沒發現的事實 246
8.2 家中 247
8.2.1 自己的數學 247
8.2.2 表現的壓縮 247
8.2.3 加法運算的定義 251
8.2.4 教師的存在 254
8.3 等價關繫 255
8.3.1 畢業典禮 255
8.3.2 對衍生的產物 257
8.3.3 從自然數到整數 258
8.3.4 圖 259
8.3.5 等價關繫 264
8.3.6 商集 268
8.4 餐廳 272
8.4.1 兩個人的晚飯 272
8.4.2 一對翅膀 272
8.4.3 無力考試 275
第9章 令人迷惑的螺旋樓梯 277
9.1 π弧度 277
9.1.1 不高興的尤裡 277
9.1.2 三角函數 279
9.1.3 sin45° 282
9.1.4 sin60° 286
9.1.5 正弦曲線 290
9.2 π弧度 294
9.2.1 弧度 294
9.2.2 教人 296
9.3 π弧度 297
9.3.1 停課 297
9.3.2 餘數 298
9.3.3 燈塔 300
9.3.4 海邊 303
9.3.5 消毒 304
第10章 哥德爾不完備定理 307
10.1 雙倉圖書館 307
10.1.1 入口 307
10.1.2 氯 308
10.2 希爾伯特計劃 310
10.2.1 希爾伯特 310
10.2.2 猜謎 312
10.3 哥德爾不完備定理 316
10.3.1 哥德爾 316
10.3.2 討論 318
10.3.3 證明的概要 320
10.4 春天—形式繫統 P 320
10.4.1 基本符號 320
10.4.2 數項和符號 322
10.4.3 邏輯公式 323
10.4.4 公理 324
10.4.5 推理規則 327
10.5 午飯時間 328
10.5數學 328
10.5.2 用數學研究數學 329
10.5.3 蘇醒 329
10.6 夏天—哥德爾數 331
10.6.1 基本符號的哥德爾數 331
10.6.2 序列的哥德爾數 332
10.7 秋天—原始遞歸性 335
10.7.1 原始遞歸函數 335
10.7.2 原始遞歸函數（謂詞）的性質 338
10.7.3 表現定理 340
10.8 鼕天—通往可證明性的漫長之旅 343
10.8.1 整理行裝 343
10.8.2 數論 344
10.8.3 序列 346
10.8.4 變量·符號·邏輯公式 348
10.8.5 公理、定理、形式證明 358
10.9 新春—不可判定語句 362
10.9.1 “季節”的確認 362
10.9.2 種子—從含義的世界到形式的世界 364
10.9.3 綠芽—p的定義 366
10.9.4 枝杈—r的定義 367
10.9.5 葉子—從 A1往下走 368
10.9.6 蓓蕾—從 B1開始往下走 369
10.9.7 不可判定語句的定義 369
10.9.8 梅花— IsProvable(g) 370
10.9.9 桃花— IsProvable(not(g))的證明 372
10.9.10 櫻花—證明形式繫統 P是不完備的 374
10.10 不完備定理的意義 376
10.10.1 “‘我’是無法證明的” 376
10.10.2 第二不完備定理的證明之概要 380
10.10.3 不完備定理衍生的產物 383
10.10.4 數學的界限？ 384
10.11 帶上夢想 386
10.11.1 並非結束 386
10.11.2 屬於我 387
尾 聲 391
後 記 395
參考文獻和導讀 399

《數學女孩》繫列以小說的形式展開，重點描述一群年輕人探尋數學中的美。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為“絕贊的數學科普書”。《數學女孩3：哥德爾不完備定理》有許多巧思。每一章針對不同議題進行解說，再於最後一章切入正題——哥德爾不完備定理。作者巧妙地以每一章的概念作為拼圖，拼出與塔斯基的形式語言的真理論、圖靈機和判定問題一道被譽為“現代邏輯科學在哲學方面的三大成果”的哥德爾不完備定理的大概證明。整本書一氣呵成，非常適合對數學感興趣的初高中生以及成人閱讀。

(日)結城浩 著 丁靈 譯

     第1章 鏡子的獨白 “鏡子呀鏡子，在這世上誰好看？” “女王陛下，在這世上您好看。” 女王很滿意這個回答，因為這面鏡子從不說謊。 ——《白雪公主》 1.1 誰是老實人 1.1.1 鏡子呀鏡子 “哥哥，你知道《白雪公主》的故事吧？”尤裡說。 “當然了，那個尋找掉了水晶鞋的公主的故事。”我答道。 “那是《灰姑娘》！哪是《白雪公主》啊！哼，真是的……” “是嗎？”我裝傻。 “別裝傻嘛～”尤裡說完就笑了。 這裡是我的房間，現在正值一月。新年假期馬上就要結束了，開學以後還有個摸底考試。可是不知為何，房間裡的氣氛卻很是悠閑。 尤裡上初二，我上高二，她管我叫“哥哥”。不過，尤裡不是我的親妹妹。她的媽媽和我的媽媽是姐妹。換句話說，她是我的表妹等