●前言
第1章可積性與求解法
1.1何謂可積
1.1.1Lax可積繫統的構造性生成與超對稱擴展
1.1.2Liouville接近可積繫統的判定與Hamilton結構
1.1.3Painlevé可積繫統的判定與共振公式
1.2非線性可積繫統的構造性解法
1.2.1B.cklund變換
1.2.2Darboux變換
1.2.3反散射變換
1.2.4雙線性方法
1.2.5其他構造性解法
第2章C-D對與輔助方程法
2.1C-D對簡述
2.2C-D對在方程轉化中的應用
2.3輔助方程法的C-D對
2.3.1輔助方程法C-D對的一般格式
2.3.2輔助方程法C-D對的展開次數與平衡原則
2.3.3輔助方程法C-D對的舉例
第3章擴展KdV方程和Fokas方程的Painlevé檢驗
3.1孤子與KdV方程
3.2孤子解的存在性與繫統可積性之間的聯繫
3.3非線性可積繫統的穩定性與怪波解
3.4擴展KdV方程的Painlevé檢驗與孤子解
3.4.1Painlevé可積性條件
3.4.2孤子解
3.5Fokas方程的Painlevé檢驗、雙線性化與多孤子解
3.5.1Painlevé可積性判定
3.5.2孤子解
3.5.3雙線性化
3.5.4多孤子解
第4章雙線性方法與DT的新應用
4.1WBK方程的雙線性方法與多孤子解
4.1.1方程轉化與雙線性化
4.1.2簡化的雙線性形式與多孤子解
4.1.3具有一般性的雙線性形式與多孤子解
4.2廣義BK方程的DT與多孤子退化
4.2.1N-重DT
4.2.22N-孤子解
4.2.32N-孤子解的奇偶孤子退化
4.3半離散方程的DT與無窮多守恆律
4.3.1DT
4.3.2準確解
4.3.3無窮多守恆律
第5章數學機械化的應用與HBM的修正
5.1數學機械化簡述
5.1.1什麼是數學機械化
5.1.2數學機械化的基本任務與發展歷程
5.1.3數學機械化與計算機代數
5.2數學機械化在非線性微分繫統求解中的應用
5.2.1求解軟件包與接近自動化
5.2.2機械化求解中的“AC=BD”理論與吳特征列方法
5.3修正HBM構造變繫數Gardner方程的多孤子解
5.3.1HBM簡述
5.3.2變繫數Gardner方程的多孤子解
5.3.3修正HBM構造多波解的步驟
第6章基於多重有理擬形的多波解與怪波解
6.1指數函數法與有理指數函數解
6.1.1指數函數法簡述
6.1.2有理指數函數解的H-秩判定法
6.2多重有理指數函數擬解構造多波解
6.2.1多重有理指數函數擬解
6.2.22+1維BK方程的N-波解
6.3半離散多重有理指數函數擬解構造多波解
6.3.1半離散多重有理指數函數擬解
6.3.2Toda鏈方程的多波解
6.4復多重有理指數函數擬解構造孤波解、多波解和怪波解
6.4.1復多重有理指數函數擬解
6.4.2變繫數NLS方程的孤波解
6.4.3變繫數NLS方程的多波解
6.4.4變繫數NLS方程的怪波解
第7章負冪展開法及其推廣應用
7.1負冪展開法
7.1.1負冪展開法的主要步驟
7.1.2擬解負冪展開的平衡公式
7.1.3算例
7.2構造行波解
7.2.1Mikhauilov-Novikov-Wang方程的行波解
7.2.22+1維色散長波方程的行波解
7.2.3Maccari方程的行波解
7.2.4Tzitzeica-Dodd-Bullough方程的行波解
7.3構造非行波解
7.3.13+1維Jimbo-Miwa方程的非行波解
7.3.2變繫數Sawada-Kotera方程的非行波解
7.4構造半離散解
7.4.1半離散負冪展開擬解
7.4.2晶格方程的半離散解
7.4.3Toda晶格方程的半離散解
第8章輔助方程法的改進與隨機波解的構造
8.1改進的F-展開法與KD方程的準確解
8.1.1輔助橢圓方程及其特解
8.1.2改進的F-展開法的步驟
8.1.32+1維KD方程的準確解
8.2改進的Fan輔助方程法與KP方程的準確解
8.2.1Fan輔助方程及其特例
8.2.2改進的Fan輔助方程法的擬解與步驟
8.2.33+1維KP方程的準確解
8.3改進的離散擴展tanh方法與Toda晶格方程的準確解
8.3.1構造非線性半離散方程擬解的一般性原則
8.3.2改進的離散擴展tanh方法
8.3.3含任意函數2+1維Toda晶格方程的準確解
8.4Wick型隨機方程的對稱、相似約化與輔助方程法
8.4.1知識準備
8.4.2Wick型隨機方程的相容性方法
8.4.3Wick型隨機KdV方程的對稱、相似約化
8.4.4約化方程的F-展開法與隨機波解
第9章KdV繫統的推廣及其BT與IST
9.1變繫數超KdV方程的Lax表示及其IST
9.1.1Lax表示
9.1.2正散射分析
9.1.3聯繫Riemann-Hilbert問題的反散射分析
9.1.4多孤子解
9.2廣義等譜KdV方程族的推導與雙線性BT
9.2.1Lax格式生成
9.2.2雙線性BT
9.2.3多孤子解
9.3含自相容源混合譜KdV方程族的推導與IST
9.3.1Lax格式生成
……

本書研究非線性可積繫統的可積性判定、準確求解和生成的一些構造性理論與方法。首先簡述非線性繫統的可積性、孤子解和多種解法，著重研究C-D對、Painlevé檢驗、Hirota雙線性方法和Darboux變換的新應用；其次簡要介紹數學機械化及其在非線性繫統求解中的應用，主要研究齊次平衡法、指數函數法、輔助方程法和負冪展開法在構造孤波、多波、怪波和隨機波等多種形式解中的改進與推廣；最後重點研究KdV繫統、AKNS繫統、KN繫統和Toda晶格繫統的多種形式推廣生成，並利用Backlund變換、雙線性方法、反散射變換等方法對所生成的多數推廣繫統進行求解，同時還討論推廣後KN繫統的Hamilton結構與Liouville可積性。本書可作為高等學校數學、物理學、流體力學等專業研究生和高年級本科生的教材，也可供相關領域的研究人員和工程技術人員參考。