真正理解數學！讓數學變得能使用！【16章知識彙總，127個公式、定理】【全面講解無處不在的數學及應用】【4大閱讀板塊，3項閱讀目標】【實現高效、專注、有技巧地字習數數字!】中國科學院副研究員蘇陽·高級教師王學順·超模君等·聯袂推薦本書特色：●繫統講解各領域中涉及的127個數學公式、定理●幫助讀者高效、專注、有技巧地學習數學●每章設置引言部分，講解本章所學條目的重要性及與其他條目的關聯●4大閱讀板塊：閱讀目標、知識點概述和公式、知識講解、實際應用，加深理解與應用●3項等

●第1章初中數學回顧001
1.0導言002
要點是擴展、抽像和邏輯002
1.1正負數004
負數的計算可以用數軸來思考004
應用銀行貸款與溫度005
1.2無理數與平方根006
1.2.1要是沒有無理數就好了……006
1.2.2為什麼一定要分母有理化？007
1.3代數式008
1.3.1使用代數式的原因008
1.3.2抽像化的好處009
應用計算機程序要用代數式編寫009
1.4交換律、分配律和結合律010
1.4.1顯而易見的交換律010
1.4.2為什麼代數式中不使用“÷”？011
1.5乘法公式與因式分解012
1.5.1不要想了，讓你的手作出反應！012
1.5.2為什麼要因式分解？013
應用通過因式分解來解釋員工的努力與公司的效益之間的關繫013
1一次方程014
1.6.1方程是為了求未知數而建立的等式015
應用求商品的價格015
1.7聯立方程016
1.7.1聯立方程是具有多個未知數的方程016
應用求蘋果和橘子的個數017
1.8比例018
1.8.1身邊的比例的例子018
1.8.2坐標是什麼？019
1.9反比例020
1.9.1身邊的反比例的例子020
應用速度、時間、距離法則=比例·反比例021
1.8.2坐標是什麼？021
1.10圖形的性質（三角形、四邊形、圓）022
1.10.1圖形中大力度優惠限度要掌握的內容023
1.11圖形的全等和相似024
1.11.1相似的含義024
應用為什麼不能制造一架巨大的飛機025
1.12證明026
1.12.1為什麼要學習證明？026
應用等腰三角形底角相等的證明027
1.13勾股定理028
1.13.1勾股定理很重要028
1.13.2把勾股定理擴展到立體圖形029
應用電視屏幕的尺寸029
專欄絕對值就是距離030
第2章一次、二次函數與方程、不等式031
2.0導言032
函數用來做什麼？032
為什麼一次函數和二次函數很重要032
如果通過圖像來思考，方程和不等式就比較容易理解033
2.1函數及其定義034
2.1.1函數是什麼034
2.1.2反函數、多變量函數、復合函數035
2.2一次函數的圖像036
2.2.1一次函數是直線036
應用為什麼斜率和截距很重要036
2.3二次函數及其圖像038
2.3.1二次函數是拋物線038
應用為什麼頂點很重要？039
2二次方程的解法040
2.4二次方程的三種解法041
應用點心鋪的利潤041
2二次方程的虛數解042
2.5.1當根號內為負數時042
應用虛數的價格!043
2二次方程的判別式、根與繫數的關繫044
2.6.1判別式是為了稍微方便一點044
應用快速解決問題045
2.7高次函數046
2.7.1隨著次數增加而蜿蜒曲折046
應用使用高次函數擬合數值數據047
2.8因式定理和餘式定理048
2.8.1通過具體的例子來思考，因式定理並不難048
2.8.2整式的長除法049
應用高次方程的解法049
2.9不等式的解法050
2.9.1不等式兩邊乘以負數時要注意！050
2.9.2二次不等式的解法051
2.10不等式與區域052
2.10.1不等式與區域的問題要仔細地畫圖表示052
應用通過線性規劃優選化銷售額053
專欄整數的素因子分解守護著網絡和平054
第3章指數、對數055
3.0導言056
指數可以方便地處理很大的數和很小的數056
對數是指數的逆056
3.1指數058
3.1.1指數是一種表示大數的技術058
應用求探測器“隼鳥號”的速度059
3.1指數的擴展060
3.2.1為什麼要擴展指數060
3.2.2試著擴展指數061
3.3指數函數的圖像及性質062
3.3.1指數函數的特征062
3.3.2指數函數的圖像063
應用復利計算063
3.4對數函數的定義064
3.4.1對數是指數的逆064
應用對數的優勢是什麼？065
3.5對數函數的圖像及其性質066
3.5.1對數函數的特征067
應用用對數定義熵067
3.6換底公式068
3.6.1使用換底公式的問題示例068
3.6.2為什麼底數不能是1或負數？069
3.7常用對數與自然對數070
3.7.1常用對數和自然對數的特征070
應用使用對數表進行計算071
3.7.2如何在計算機上計算指數和對數？073
3.8對數圖的用法074
3.8.1怪異的軸的含義074
應用用對數圖表示二極管電流-電壓特性075
3.9指數和對數的物理單位076
3.9.1表示指數的詞頭076
應用分貝和震級077
專欄數學世界的炸彈078
第4章三角函數079
4.0導言080
三角函數不是三角形的函數，而是表示波的函數080
三角函數的要點080
4.1三角函數的基本公式082
4.1.1首先通過直角三角形掌握三角函數082
應用用三角法求高度083
4.2三角函數的擴展與圖像084
4.2.1定義從直角三角形變為單位圓084
4.2.2畫出三角函數的圖像085
應用用三角函數表示波086
4.3三角函數的各個公式088
4.3.1讓考生頭疼的公式們088
應用智能手機中使用的無線電波頻譜搬移089
4.4弧度制（弧度）090
4.4.1為什麼使用弧度制？090
4.4.2計算機中三角函數的角度單位091
4.5正弦定理和餘弦定理092
4.5.1考試中經常出現的正弦定理、餘弦定理092
應用三角形的各種面積公式093
4.6傅裡葉級數094
4.6.1所有的波都歸結為正弦餘弦094
應用聲、光與頻率的關繫095
4.7離散餘弦變換096
4.7.1智能手機照片中用到的三角函數096
應用圖像的壓縮方法098
專欄20與20.00的差異100
第5章導數101
5.0導言102
何為導數？102
能處理無窮了103
與積分的關繫103
5.1極限與無窮大106
5.1.1容易被誤解的極限106
應用復雜式子的閱讀理解方法107
5.2導數（求導的定義）108
5.2.1首先掌握求導的大體印像108
5.3導函數110
5.3.1xn的導數很簡單110
5.3.2導函數的含義111
5.4三角函數、指數與對數函數的導數112
5.4.1三角函數的導數112
5.4.2自然常數登場113
5.5函數積的導數、復合函數的導數114
5.5.1驗證公式的方法115
5.5.2像分數一樣對待115
5.6切線的公式116
5.6.1如果理解了導數，切線應該很容易117
應用在計算機上編輯曲線117
5.7高階導數與函數的凹凸性118
5.7.1高階導數118
應用函數的凹凸性119
5.8中值定理與可導性120
5.8.1顯然的定理？120
5.8.2可導性121
專欄不是分數？122
第6章積分123
6.0導言124
何為積分？124
通過積分計算面積的方法124
6.1積分的定義與微積分基本定理126
6.1.1積分是求面積的工具127
6.1.2積分符號的含義128
6.1.3積分是求導的逆運算128
6.2不定積分130
6.2.1不定積分的方法131
6.2.2積分常數C是什麼131
6.3定積分的計算方法132
6.3.1定積分的計算方法132
6.3.2定積分的區間，面積的符號133
6.4分部積分法134
6.4.1顯而易見的交換律134
6.4.2為什麼代數式中不使用“÷”？135
6積分法136
6.5積分法是復合函數求導公式的逆137
6.6積分與體積138
6.6.1體積是把立體劃分為無數塊薄板算出139
6.7曲線的長度140
6.7.1曲線的長度是通過將其分成無限短的直線段來計算141
6.8位置、速度和加速度的關繫142
應用牛頓運動方程143
專欄牛頓與萊布尼茨構建了微積分144
第7章高等微積分145
7.0導言146
本章的學習對高中生也有好處146
微分方程的解是函數146
函數147
7.1微分方程148
7.1.1微分方程是求函數的方程148
7.1.2微分方程的求解方法149
應用運動方程，素衰變150
7.2拉普拉斯變換152
7.2.1通過拉普拉斯變換容易求解微分方程152
應用求解電子電路的微分方程153
7.3偏導函數154
7.3函數的導數是偏導數154
函數的優選、最小值問題155
7.4拉格朗日乘數法156
7.4.1拉格朗日乘數法不用考慮“為什麼”157
應用統計分析的優選值和最小值157
7.5多重積分158
7.5函數的積分是多重積分159
應用根據密度算出重量159
7.6線積分與面積分160
7.6函數有很多積分路徑161
應用計算每條路徑所需的能量161
專欄ε-δ語言162
第8章數值分析163
8.0導言164
沒有指令，計算機什麼也做不了164
數值處理的難度164
8.1線性近似公式166
8.1.1函數用切線來近似166
應用單擺的等時性是近似的167
8.2泰勒展開式、麥克勞林展開式168
8.2.1麥克勞林展開式用xn之和來表示函數169
應用使用對數表進行計算169
8.3牛頓迭代法170
8.3.1用切線解方程的方法170
應用讓計算機解方程171
8.4數值微分172
8.4.1在數值計算中，導數就是差商172
應用自行車加速數據的求導173
8.5數值積分（梯形公式、辛普森公式）174
8.5.1基於什麼來求面積？175
應用指數函數積分值的計算175
8.6微分方程的數值解法（歐拉法）176
8.6.1歐拉法是用切線來近似曲線176
8.6.2雙擺的運動177
專欄計算機用二進制進行計算178
第9章數列179
9.0導言180
學習數列的意義是學習離散180
在數列中求和很重要181
9.1等差數列182
9.1.1相鄰項之差為常數，因此是等差數列182
應用數一數金字塔的磚的數量183
9.2等比數列184
9.2.1定義從直角三角形變為單位圓184
應用計算逸失利益的萊布尼茨繫數185
9.3符號Σ的用法186
9.3.1Σ（Sigma）並不可怕186
應用Σ的標記方法187
9.4遞推公式188
9.4.1遞推公式是局部地觀察數列的式子188
9.5無窮級數190
9.5.1即使把無窮個數加起來也可能不會很大190
應用把循環小數用分數表示191
9.6數學歸納法192
9.6.1數學歸納法就像多米諾骨牌192
9.6.2數學歸納法的悖論193
專欄專欄：習慣希臘字母194
第10章圖形與方程195
10.0導言196
用數學式子來表示圖形196
極坐標的存在是為了讓人輕松196
10.1直線的方程198
10.1.1作為圖形的直線方程199
應用繪制直線的算法199
10.2圓的方程200
10.2.1把圓作為方程來看200
應用繪制圓的方法201
10.3二次曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）202
10.3.1橢圓、雙曲線、拋物線的特征203
應用衛星的軌道203
10.4平移圖形的方程204
10.4.1移動圖形的方法205
應用CG中也用到的仿射變換205
10.5中心對稱和軸對稱206
10.5.1對稱變換引起的方程變化207
應用奇函數與偶函數的積分207
10.6旋轉208
10.6.1旋轉由三角函數表示209
應用轉動參考繫中的離心力和科裡奧利力209
10.7參數210
10.7.1參數不是敵人211
應用擺線分析211
10.8極坐標212
10.8.1極坐標是指定方向和距離的坐標繫213
應用船舶航行213
10.9空間圖形的方程214
10.9.1通過比較二維（平面）和三維（空間）來理解本質215
專欄數學中必需的空間認知能力216
第11章向量217
11.0導言218
向量不僅僅是箭頭218
向量乘法可以用多種方式定義219
11.1作為箭頭的向量220
11.1.1作為箭頭的向量是具有大小和方向的量221
應用力的分解221
11.2向量的坐標表示、位置向量222
11.2.1用數字表示向量223
應用內分線段的點223
11.3向量的線性無關224
11.3.1線性無關很常見，線性相關是例外224
應用坐標軸的變換225
11.4向量的內積（平行和垂直的條件）226
11.4.1向量乘法不止一種226
應用給予貨物的能量227
11.5平面圖形的向量式方程228
１1.5.1為什麼使用向量式方程229
11.6空間向量230
11.6.1空間向量的變與不變231
應用超弦理論：空間實際上是9維的231
11.7空間圖形的向量式方程232
11.7.1空間圖形凸顯向量式方程的優點233
應用三維CAD數據的二維化233
11.8向量的外積234
11.8.1外積的結果為向量234
應用坐標軸的變換235
11.9速度向量與加速度向量236
11.9.1可以用向量分析平面上的運動236
應用勻速圓周運動的分析237
11.10梯度、散度、旋度238
11.10.1向量微積分並不可怕239
應用抽像化是價值239
專欄數學中必需的空間認知能力240
第12章矩陣241
12.0導言242
矩陣用於向量的運算242
矩陣與高中數學的關繫242
12.1矩陣的基礎及計算244
12.1.1注意矩陣的乘積245
應用程序的矩陣和數組245
12.2單位矩陣與逆矩陣、行列式246
12.2.1矩陣的除法使用逆矩陣246
12.3矩陣與聯立方程組248
12.3.1用矩陣也可以求解聯立方程組248
應用用法解聯立方程組249
12.4矩陣與線性變換250
12.4.1簡潔的表示很有價值251
應用平移的表示方法251
12.5特征值和特征向量252
12.5.1直觀地理解特征值、特征向量253
應用矩陣的對角化253
12.63×3矩陣254
12.6.1隨著矩陣變大，計算變得復雜255
應用用法求逆矩陣255
專欄應該在高中數學教矩陣嗎？256
第13章數257
13.0導言258
由人決定虛實258
為什麼要特意使用復平面？258
13.1復數的基礎260
13.1.1注意復數的絕對值260
應用用復數表示反射繫數261
13.2復平面與極坐標形式262
13.2.1復數與旋轉很契合263
13.3歐拉公式264
13.3.1連接指數函數和三角函數的公式264
應用交流電路的復數表示265
13.4傅裡葉變換266
13.4.1傅裡葉變換的含義267
13.4.2函數的正交和內積是什麼？267
應用無線通信技術與傅裡葉變換268
13數（Quaternion）270
13.5.1數加深復數的理解271
應用CG與火箭的旋轉271
專欄虛數時間是什麼？272
第14章概率273
14.0導言274
概率的關鍵是語文的理解274
現實的概率與數學的概率274
14.1情況數276
14.1.1情況數就是不重不漏277
14.1.2加法還是乘法？277
14.2排列數公式278
14.2.1考慮順序時使用排列數公式278
應用最短路徑問題279
14.3組合數公式280
14.3.1不考慮順序時使用組合數公式280
14.3.2排列與組合的總結282
應用從楊輝三角推導出二項式定理282
14.4概率的定義284
14.4.1“等可能”的問題285
應用古典概率與試驗概率285
14.5概率的加法定理286
14.5.1“互斥”是指沒有公共部分287
14.6獨立事件的概率公式288
14.6.1要從反面來理解獨立288
應用購買紙尿褲的概率和購買啤酒的概率289
14.7獨立重復試驗的概率公式290
14.7.1獨立重復試驗考慮組合290
應用用於風險管理的泊松分布291
14.8條件概率和概率的乘法定理292
14.8.1條件概率是分母發生了變化292
14.9貝葉斯定理294
14.9.1如果理解了條件概率，定理的機制就很簡單294
應用垃圾郵件判定294
專欄蒙特卡羅方法296
第15章統計學基礎297
15.0導言298
通過均值和標準差理解統計學的一半298
正態分布是統計學上優選的發現298
統計學成立的前提299
15.1均值300
15.1.1為什麼要求均值？300
應用收入分布的分析301
15.2方差與標準差302
15.2.1標準差是離散程度的指標303
15.2.2為什麼要平方？304
15.2.3用計算機計算方差和標準差時的注意事項305
應用過程能力指數305
15.3相關繫數306
15.3.1相關繫數表示兩組數據之間相關性的強度307
應用投資組合307
15.4概率分布與期望值308
應用賭博的期望值309
15.5二項分布、泊松分布310
15.5.1二項分布和泊松分布的關繫311
應用安打1次數、不合格品個數311
15.6正態分布312
15.6.1為什麼正態分布如此重要？312
應用正態分布的局限313
15.7偏度、峰度、正態概率圖314
15.7.1把握偏離正態分布的程度315
應用正態概率圖的用法315
15.8大數定律與中心極限定理316
15.8.1多少纔算“很多”？316
15.8.2中心極限定理中呈現正態分布的是“樣本均值”317
專欄數據是統計的靈魂318
第16章高等統計學319
16.0導言320
接近交給計算機是不行的320
統計推斷是根據樣本對總體作出推斷320
回歸分析使預測未來成為可能321
16.1總體均值的區間估計322
16.1.1從樣本的統計值推斷總體均值322
應用日本成年男性的平均身高323
16.2總體比例的區間估計324
16.2.1從樣本的統計值推斷總體均值324
應用電視收視率325
16.3假設檢驗326
應用工廠之間產品的波動327
16.4簡單回歸分析328
16.4.1回歸分析的含義329
應用廣告效果329
16回歸分析330
16.5回歸是具有多個自變量的回歸分析330
應用天氣條件與產量的關繫331
16.6主成分分析332
16.6.1主成分分析的目標332
應用品牌形像調查333
16.7因子分析334
16.7.1因子分析聚焦於意義335
應用顧客調查問卷分析335
專欄實用數學的優選敵人336
結束語337

本書細致、全面地介紹了身邊的數學知識，共16章，包含一次函數、二次函數與方程、不等式，指數、對數，三角函數，導數，積分，高等微積分，數值分析，數列，圖形與方程，向量，矩陣，復數，概率，統計學等在大多數行業中常用的數學知識。本書每一節分為3個板塊：首先，標明參考星級，指導讀者按需掌握程度進行閱讀；其後，列出知識點概述和公式、法則，用文字進行簡單講解並配以趣味小圖畫，非常易於理解；最後，具體介紹這個數學知識在實際生活或工作中的應用。本書不僅可以幫助讀者加深學習或鞏固數學知識，更能幫助讀者了解數學在各方面的應用場景。本書適合中學生和大學生，以及數學愛好者閱讀。

(日)藏本貴文 著 楊瑞龍 譯