●《模糊數學與繫統及其應用叢書》序
前言
第1章積分論大意1
1.1測度與可測函數1
1.1.1測度1
1.1.2可測函數3
1.2積分4
1.2.1定義、性質與收斂定理4
1.2.2Fubini定理6
1.2.3Radon-Nikodym定理6
參考文獻6
第2章模糊集、模糊測度與可測函數7
2.1模糊集基礎7
2.2模糊測度9
2.2.1定義與例子9
2.2.2模糊測度的結構特征11
2.2.3模糊測度序列14
2.3可測函數列17
2.4進展與注19
參考文獻20
第3章模糊積分21
3.1Sugeno模糊積分21
3.1.1定義21
3.1.2性質22
3.1.3收斂定理24
3.1.4轉化定理，由積分定義的集函數26
3.1.5上、下Sugeno積分26
3.2(N)模糊積分與半模模糊積分27
3.2.1(N)模糊積分27
3.2.2半模模糊積分29
3.3廣義半模模糊積分31
3.3.1定義與性質32
3.3.2收斂定理35
3.3.3模糊測度序列在廣義半模模糊積分意義下的弱收斂41
3.3.4廣義半模模糊積分的水平收斂定理44
3.3.5廣義半模模糊積分的表示46
3.3.6由廣義半模模糊積分定義的模糊測度51
3.4進展與注52
參考文獻54
第4章Choquet積分57
4.1非負函數的Choquet積分57
4.1.1定義和性質57
4.1.2模糊測度的表示，共單調可加性59
4.1.3廣義收斂定理及Choquet積分表示64
4.1.4Choquet積分不等式67
4.1.5上、下Choquet積分68
4.2非對稱Choquet積分70
4.2.1定義與性質70
4.2.2收斂定理72
4.2.3由Choquet積分定義的集函數73
4.3Fubini定理75
4.3.1基於代數的Fubini定理75
4.3.2基於σ-代數的Fubini定理76
4.3.3一般情形的乘積容度與Fubini定理78
4.4Choquet積分——其他80
4.4.1對稱Choquet積分80
4.4.2關於擬Lebesgue測度的Choquet積分82
4.4.3新Choquet-like積分84
4.4.4Choquet-Stieltjes積分86
4.4.5非單調模糊測度空間及收斂86
4.5進展與注89
參考文獻89
第5章擬積分與廣義Choquet積分93
5.1Sugeno與 rofushi的擬可加測度與積分93
5.1.1擬可加測度與積分的基本概念93
5.1.2擬可加積分的收斂定理96
5.1.3g-積分101
5.1.4Choquet-like積分106
5.2σ-可加測度與擬積分107
5.2.1半環的基本概念107
5.2.2擬積分的定義110
5.2.3Fubini定理112
5.2.4擬積分轉化定理116
5.2.5擬積分的廣義Minkowski不等式117
5.2.6擬積分的Jensen不等式121
5.3非負可測函數的擬積分的再定義128
5.3.1定義128
5.3.2性質130
5.3.3收斂定理131
5.4廣義Choquet積分134
5.4.1半環值模糊測度134
5.4.2廣義Choquet積分——一般情形135
5.4.3廣義Choquet積分——情形I—情形III136
5.4.4廣義Choquet積分的收斂定理143
5.4.5廣義Choquet積分不等式146
5.5進展與注148
參考文獻149
第6章格值廣義模糊積分152
6.1格L上的廣義三角模與TS-L廣義模糊積分152
6.1.1格L上的廣義三角模152
6.1.2TS-L廣義模糊積分153
6.2∨S-L廣義模糊積分159
6.2.1常值函數TS-L廣義模糊積分的討論159
6.2.2∨S-L廣義模糊積分161
6.3Rm+-值廣義模糊積分165
6.3.1基本概念與定義165
6.3.2m維廣義模糊積分定理及收斂定理166
6.4進展與注170
參考文獻171
第7章集值函數與模糊集值函數的積分172
7.1預備知識172
7.1.1Bochner積分172
7.1.2集值函數174
7.1.3可積選擇空間177
7.2集值函數的Aumann積分180
7.2.1定義180
7.2.2性質181
7.3P0(Rn)值函數的Aumann積分184
7.3.1基本性質，收斂定理184
7.3.2Fubini定理185
7.3.3Debreu積分186
7.4集值測度187
7.4.1集值測度的定義與性質187
7.4.2集值測度的選擇188
7.4.3Radon-Nikodym定理189
7.5模糊集值函數的積分191
7.5.1n維模糊數191
7.5.2一維模糊數193
7.5.3模糊集值函數194
7.5.4模糊集值函數的積分195
7.5.5模糊值積分的Fubini定理199
7.5.6模糊集值測度200
7.6Pk(R)-值與Pk(R)-值積分的Jensen不等式201
7.6.1凸函數與經典Jensen不等式201
7.6.2集值函數與模糊集值函數積分的幾個性質201
7.6.3集值Jensen不等式203
7.6.4模糊集值Jensen不等式207
7.7模糊數測度與積分214
7.7.1模糊數測度214
7.7.2模糊值函數關於模糊數測度的積分215
7.7.3Fubini定理219
7.7.4Radon-Nikodym定理220
7.8進展與注221
參考文獻222
第8章集值函數與模糊集值函數的模糊積分226
8.1預備知識226
8.2集值函數的模糊積分227
8.2.1定義與性質227
8.2.2收斂定理231
8.3模糊集值函數的模糊積分233
8.3.1定義與性質233
8.3.2收斂定理235
8.4集值模糊測度與擬可加集值測度237
8.4.1定義與例子237
8.4.2集值模糊測度的一種構造方法237
8.4.3擬可加集值測度與Radon-Nikodym定理238
8.5集值函數的集值Choquet積分239
8.5.1定義與性質239
8.5.2收斂定理242
8.6模糊集值函數的Choquet積分243
8.7集值函數的實值Choquet積分244
8.7.1定義與性質244
8.7.2收斂定理246
8.8Choquet積分的Jensen不等式247
8.8.1實值Jensen不等式247
8.8.2集值函數實值Choquet積分的Jensen不等式251
8.8.3集值Choquet積分的Jensen不等式253
8.8.4模糊集值Choquet積分的Jensen不等式255
8.9進展與注256
參考文獻257
第9章模糊數模糊測度與模糊積分259
9.1預備知識259
9.2區間數模糊測度與模糊數模糊測度262
9.3模糊值函數關於模糊數模糊測度的模糊積分264
9.3.1區間值函數關於區間數模糊測度的模糊積分264
9.3.2模糊值函數關於模糊數模糊測度的模糊積分267
9.4模糊值函數關於模糊數模糊測度的廣義模糊積分272
9.4.1區間值函數關於區間數模糊測度的廣義模糊積分272
9.4.2模糊值函數關於模糊數模糊測度的廣義模糊積分273
9.5模糊值函數關於模糊數模糊測度的廣義Choquet積分277
9.5.1區間值函數關於區間值模糊測度的廣義Choquet積分——一般情形277
9.5.2區間值函數關於區間值模糊測度的廣義Choquet積分——半環情形I—情形III278
9.5.3模糊值函數關於模糊數模糊測度的廣義Choquet積分——半環情形I—情形III280
9.6進展與注282
參考文獻282
第10章廣義模糊數284
10.1定義與基本定理284
10.1.1CH廣義模糊數284
10.1.2廣義模糊數的再定義285
10.2廣義模糊數空間:序、運算、距離290
10.2.1h-廣義模糊數290
10.2.2廣義模糊數292
10.3廣義模糊數序列299
10.4進展與注303
參考文獻304
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積分論一直是分析學的核心領域，近年來產生的非可加積分、集值積分與模糊值積分理論發展迅速，且在信息論、控制論、數量經濟、決策過程、人工智能和大數據等領域有著廣泛的應用。本書繫統介紹非可加積分、集值積分與模糊值積分領域的近期新理論成果，因為其涵蓋了經典的Lebesgue積分，所以定名為“廣義積分論”。內容有：單值積分，包括抽像Lebesgue積分、Bochner積分、模糊積分、（N）模糊積分、半模模糊積分、廣義模糊積分、Choquet積分、擬積分、廣義Choquet積分、格值廣義模糊積分；集值積分，包括Aumann積分、Debreu積分、集值模糊積分、集值Choquet積分；模糊值積分，包括模糊值Aumann積分、模糊值模糊積分、模糊值Choquet積分；關於模糊數測度的積分；關於模糊數模糊測度的模糊積分、廣義模糊積分、廣義Choquet積分；廣義模糊數理論。本書可作為大學數學、計算機、管理學等