分數微積分——理論基礎與應用導論研究分數微積分的經典書籍，致力於論述任意實數階導數和積分概念、任意實數階微積分方程以及它們在不同領域的應用。探討分數微積分、分數微分方程及其解法與應用的基本概念與理論。

●第1章分數微積分中使用的特殊函數
1.1伽馬函數
1.1.1伽馬函數的定義
1.1.2伽馬函數的一些性質
1.1.3伽馬函數的極限表示
1.1.4貝塔函數
1.1.5圍線積分表示
1.1.61/Γ(z)的圍線積分表示
1.2米塔-列夫勒函數
1.2.1定義及其一些函數關繫
1.2.2雙參量米塔-列夫勒函數的拉普拉斯變換
1.2.3米塔-列夫勒函數的導數
1.2.4有關米塔-列夫勒函數的微分方程
1.2.5求和公式
1.2.6米塔-列夫勒函數的積分
1.2.7漸近展開
1.3賴特函數
1.3.1賴特函數的定義
1.3.2賴特函數的積分表達式
1.3.3賴特函數與其他函數的關繫
第2章分數導數與分數積分
2.1基本概念與名稱
2.2格林瓦爾-萊特尼科夫分數導數
2.2.1整數階導數與積分的統一定義
2.2.2任意階積分
2.2.3任意階導數
2.2.4(t－a)β的分數導數
2.2.5具有整數階導數的復合運算
2.2.6分數導數的復合運算
2.3黎曼-劉維爾分數導數
2.3.1整數階導數與積分的統一定義
2.3.2任意階積分
2.3.3任意階導數
2.3.4(t－a)β的分數導數
2.3.5黎曼-劉維爾分數導數與整數階導數的復合運算
2.3.6分數導數的復合運算
2.3.7黎曼-劉維爾定義與格林瓦爾-萊特尼科夫定義之間的關繫
2.4其他一些定義
2.4.1卡普途分數導數
2.4.2廣義函數法
2.5序貫分數導數
2.6左和右分數導數
2.7分數導數的性質
2.7.1線性性質
2.7.2分數導數的萊布尼茨法則
2.7.3復合函數的分數導數
2.7.4單參量積分的黎曼-劉維爾分數導數
2.7.5下端點附近的行為
2.7.6遠離下端點的行為
2.8分數導數的拉普拉斯變換
2.8.1拉普拉斯變換的基本知識
2.8.2黎曼-劉維爾分數導數的拉普拉斯變換
2.8.3卡普途分數導數的拉普拉斯變換
2.8.4格林瓦爾-萊特尼科夫分數導數的拉普拉斯變換
2.8.5米勒-羅斯序貫分數導數的拉普拉斯變換
2.9分數導數的傅裡葉變換
2.9.1傅裡葉變換的基本知識
2.9.2分數積分的傅裡葉變換
2.9.3分數導數的傅裡葉變換
2.10分數導數的梅林變換
2.10.1梅林變換的基本知識
2.10.2黎曼-劉維爾分數積分的梅林變換
2.10.3黎曼-劉維爾分數導數的梅林變換
2.10.4卡普途分數導數的梅林變換
2.10.5米勒-羅斯分數導數的梅林變換
第3章分數微分方程：解的存在性與專享性定理
3.1線性分數微分方程
3.2一般形式的分數微分方程
3.3作為解法的存在性與專享性定理
3.4解與初始條件的依賴關繫
第4章分數微分方程：拉普拉斯變換法
4.1標準分數微分方程
4.1.1常線性分數微分方程
4.1.2偏線性分數微分方程
4.2序貫分數微分方程
4.2.1常線性分數微分方程
4.2.2偏線性分數微分方程
第5章分數格林函數
5.1定義與性質
5.1.1定義
5.1.2性質
5.2單項方程
5.3雙項方程
5.4三項方程
5.5四項方程
5.6一般情況：n項方程
第6章分數階方程的其他求解方法
6.1梅林變換法
6.2冪級數法
6.2.1單項方程
6.2.2非定常繫數方程
6.2.3雙項非線性方程
6.3Babenko符號演算法
6.3.1符號法的思想
6.3.2在熱傳導和物質輸運中的應用
6.3.3Babenko符號法與拉普拉斯變換法的聯繫
6.4正交多項式法
6.4.1正交多項式法的核心思想
6.4.2正交多項式法的一般技巧
6.4.3裡斯分數位勢
6.4.4左黎曼-劉維爾分數積分和導數
6.4.5有關左黎曼-劉維爾分數積分的其他譜繫關繫
6.4.6右黎曼-劉維爾分數積分的譜繫關繫
6.4.7蠕變理論中的Arutyunyan方程求解
6.4.8阿貝爾積分方程的求解
6.4.9有限部分積分
6.4.10與非可積權函數正交的雅可比多項式
第7章分數導數的數值計算
7.1分數階導數的黎曼-劉維爾定義與格林瓦爾-萊特尼科夫定義
7.2分數導數的逼近
7.2.1分數差分法
7.2.2求積公式的應用
7.3“短時記憶”原理
7.4逼近階
7.5繫數的計算
7.6高階逼近
7.7高爐牆體內熱負荷強度變化的計算
7.7.1問題的引入
7.7.2分數階微分和積分
7.7.3熱流量的分數階導數計算法——方法A
7.7.4基於爐牆熱場模擬仿真的熱流量計算法——方法B
7.7.5解法的比較
7.8有限部分積分與分數導數
7.8.1用分數導數進行有限部分積分計算
7.8.2用有限部分積分進行分數導數計算
第8章分數微分方程的數值求解
8.1初始條件：什麼問題需要求解？
8.2數值求解
8.3數值求解舉例
8.3.1弛豫-振蕩方程
8.3.2定常繫數方程：浸入平板的運動
8.3.3不定繫數方程：流體中氣體溶解問題
8.3.4非線性問題：半無限體的輻射冷卻
8.4“短時記憶”原理在分數微分方程初值問題中的應用
第9章分數階繫統與控制器
9.1分數階繫統與分數階控制器
9.1.1分數階控制繫統
9.1.2分數階傳輸函數
9.1.3米塔-列夫勒型新函數
9.1.4一般公式
9.1.5單位衝激響應與單位階躍響應
9.1.6一些特殊情形
9.1.7PIλDμ控制器
9.1.8開環繫統響應
9.1.9閉環繫統響應
9.2舉例
9.2.1分數階被控繫統
9.2.2整數階逼近
9.2.3整數階PD控制器
9.2.4分數階控制器
9.3分數階繫統辨識
9.4小結
第10章分數微積分的應用綜述
10.1阿貝爾積分方程
10.1.1一般要點備注
10.1.2一些方程可簡化為阿貝爾方程
10.2黏彈性力學
10.2.1整數階模型
10.2.2分數階模型
10.2.3分數微積分相關方法
10.3反饋放大器的伯德分析
10.4分數階電容器理論
10.5電路
10.5.1樹分抗
10.5.2鏈分抗與串分抗
10.5.3多孔堤壩的電路模擬模型
10.5.4Westerlund廣義分壓器
10.5.5分數階Chua-Hartley繫統
10.6電分析化學
10.7電極-電解液界面
10.8分數多極點
10.9生物學
10.9.1生物繫統的電導性
10.9.的分數階模型
10.10分數擴散方程
10.11控制理論
10.12實驗數據擬合
10.12.1經典回歸模型的缺點
10.12.2分數導數法
10.12.3舉例：NiznaSlana礦山鋼纜
10.13“分數階”物理學
附錄A分數導數表
注譯附錄A分數微積算子、分抗與分抗逼近電路及其運算特征
注譯附錄BOldham分形鏈分抗逼近電路的輸入阻抗函數序列的求解方法
注譯附錄C粗糙界面電極的電路建模與標度拓展——非正則標度方程
注譯附錄D任意階分數算子的有理逼近——標度拓展與非正則標度方程
注譯附錄E分數微積分的應用實現問題
中英文詞彙對照表
參考文獻
注譯參考文獻
注譯後記

本書是研究分數微積分的經典書籍，致力於論述任意實數階導數和積分概念、任意實數階微積分方程以及它們在不同領域的應用。主要目的是為讀者展示分數微積分、分數微分方程及其解法與應用的基本概念與理論。全書共分七部分，包括分數微積分中的特殊函數、分數導數的經典定義與積分變換、分數階繫統描述與線性分數微分方程理論及其求解算法、分數階控制理論與應用、件與復雜繫統行為過程的數學建模、分形與分抗、分數階電路與繫統等。本書可作為應用科學工作者，特別是工程技術人員學習分數微積分概念與理論基礎、（線性）分數微分方程理論與應用的人門書，還可作為流變學、黏彈性力學、材料力學、電（解析）化學、混沌電路、信號與信息處理、生物學（生物繫統電導的分數階模型等）、電磁學等科技分支領域中工作者的參考用書。