●第一篇高等數學
第一章函數、極限、連續
考點與要求(3)
§1函數(3)
內容精講(3)
一、函數的概念及常見的函數(3)
二、函數的幾種特性(5)
例題分析(7)
一、求反函數及復合函數的表達式(7)
二、關於函數幾種特性的討論(9)
§2極限(11)
內容精講(11)
一、極限的概念(11)
二、極限的性質(13)
三、極限的存在準則(13)
四、無窮小量(14)
五、無窮大量(14)
六、求極限的常用方法(15)
例題分析(21)
一、求函數的極限(21)
二、求數列的極限(30)
三、已知極限值求參數，或已知極限求另一極限(35)
四、無窮小的比較(38)
§3函數的連續性(39)
內容精講(39)
一、連續的概念(39)
二、間斷點及分類(40)
三、連續函數的性質(40)
例題分析(41)
一、討論函數的連續性及間斷點的類型(41)
二、有關閉區間上連續函數性質的證明題(42)
第函數微分學
考點與要求(44)
§1導數與微分，導數的計算(44)
內容精講(44)
一、定義(44)
二、重要性質、定理、公式(45)
例題分析(48)
一、按定義求一點處的導數(48)
二、已知f（x）在某點x=x0處可導，求與此有關的某極限或其中某參數，或已知某極限求f（x）在x=x0處的導數(50)
三、絕對值函數的導數(53)
四、由極限式表示的函數的可導性(54)
五、導數與微分、增量的關繫(55)
六、求導數的計算題(55)
§2導數的應用(57)
內容精講(57)
一、定義(57)
二、重要性質、定理、公式與方法(58)
例題分析(60)
一、增減性、極值、凹凸性、拐點的討論(60)
二、漸近線(65)
三、曲率與曲率圓(65)
四、優選值、最小值問題(66)
§3中值定理、不等式與零點問題(68)
內容精講(68)
一、重要定理(68)
二、重要方法(69)
例題分析(71)
一、不等式的證明(71)
二、f(x)的零點與f′(x)的零點問題(75)
三、復合函數ψ(x，f(x)，f′(x))的零點(77)
四、復合函數ψ(x，f(x)，f′(x)，f″(x))的零點
(79)
五、“雙中值”問題(80)
六、零點的個數問題(81)
七、證明存在某ξ滿足某不等式(82)
八、利用中值定理求極限、f′(x)與f(x)的極限關繫(83)
第函數積分學
考點與要求(85)
§1不定積分與定積分的概念、性質、理論(85)
內容精講(85)
一、定義(85)
二、重要性質、定理、公式(86)
例題分析(87)
一、分段函數的不定積分與定積分(87)
二、定積分與原函數的存在性(90)
三、奇、偶函數、周期函數的原函數及變限積分(90)
§2不定積分與定積分的計算(93)
內容精講(93)
一、基本積分公式(93)
二、基本積分方法(94)
例題分析(96)
一、簡單有理分式的積分(96)
二、三角函數的有理分式的積分(97)
三、簡單無理式的積分(98)
四、兩種不同類型的函數相乘的積分(99)
五、被積函數中含有導數或變限函數的積分(100)
六、對稱區間上的定積分，周期函數的定積分(101)
七、含參變量帶絕對值號的定積分(103)
八、積分計算雜例(104)
§3反常積分及其計算(107)
內容精講(107)
一、定義(107)
二、重要性質、定理、公式(108)
例題分析(110)
一、反常積分的計算與反常積分的斂散性(110)
二、利用比較判別法判定反常積分斂散性(113)
三、關於奇、偶函數的反常積分(115)
§4定積分的應用(116)
內容精講(116)
一、基本方法(116)
二、重要幾何公式與物理應用(116)
例題分析(118)
一、幾何應用(118)
二、物理應用(120)
§5定積分的證明題(124)
內容精講(124)
例題分析(125)
一、討論變限積分所定義的函數的奇偶性、周期性、極值、單調性等(125)
二、由積分定義的函數求極限(127)
三、積分不等式的證明(127)
四、零點問題(133)
第函數微積分學
考點與要求(136)
函數的極限、連續、偏導數與全微分(136)
內容精講(136)
函數(136)
函數的極限與連續(136)
函數的偏導數與全微分(137)
例題分析(139)
一、討論二重極限(139)
二、函數的連續性、偏導數存在性(141)
三、函數的可微性(143)
函數的微分法(146)
內容精講(146)
一、復合函數的偏導數與全微分(146)
二、隱函數的偏導數與全微分(148)
例題分析(148)
一、求復合函數的偏導數與全微分(148)
二、求隱函數的偏導數與全微分(157)
§3極值與最值(161)
內容精講(161)
一、無條件極值(161)
二、條件極值(162)
例題分析(162)
一、無條件極值問題(162)
二、條件極值(最值)問題(165)
函數的優選(小)值問題(166)
§4二重積分(170)
內容精講(170)
一、二重積分的定義及幾何意義(170)
二、二重積分的性質(171)
三、二重積分的計算(171)
例題分析(173)
一、計算二重積分(173)
二、累次積分交換積分次序及計算(183)
三、與二重積分有關的綜合題(186)
四、與二重積分有關的積分不等式問題(188)
第五章常微分方程
考點與要求(192)
§1常微分方程(192)
內容精講(192)
一、微分方程的基本概念(192)
二、常見的幾類一階方程及解法(192)
三、可降階的高階微分方程(193)
四、高階線性方程(193)
例題分析(195)
一、微分方程求解(195)
二、微分方程的綜合題(201)
三、微分方程的應用(204)
第二篇線性代數
第一章行列式
考點與要求(209)
內容精講(209)
例題分析(212)
一、數字型行列式的計算(212)
二、抽像型行列式的計算(218)
三、行列式|A|是否為零的判定(220)
四、關於代數餘子式求和(221)
第二章矩陣
考點與要求(223)
內容精講(223)
§1矩陣的概念及運算(223)
一、矩陣的概念(223)
二、矩陣的運算(224)
三、矩陣的運算規則(224)
四、特殊矩陣(225)
§2伴隨矩陣、可逆矩陣(225)
一、伴隨矩陣、可逆矩陣的概念(225)
二、伴隨矩陣重要公式(226)
三、n階矩陣A可逆的充分必要條件(226)
四、逆矩陣的運算性質(226)
五、求逆矩陣的方法(226)
§3初等變換、初等矩陣(227)
一、定義(227)
二、初等矩陣與初等變換的性質(228)
§4矩陣的秩(228)
一、矩陣秩的概念(228)
二、矩陣秩的公式(228)
§5分塊矩陣(229)
一、分塊矩陣的概念(229)
二、分塊矩陣的運算(229)
例題分析(230)
一、矩陣的概念及運算(230)
二、特殊方陣的冪(233)
三、伴隨矩陣的相關問題(235)
四、可逆矩陣的相關問題(238)
五、初等變換、初等矩陣(241)
六、矩陣方程(243)
七、矩陣秩的計算(244)
第三章向量
考點與要求(248)
內容精講(248)
§1n維向量的概念與運算(248)
§2線性表出、線性相關(248)
一、線性表出的概念(249)
二、線性相關、線性無關的概念(249)
三、線性表出、線性相關的重要定理(249)
§3極大線性無關組、秩(250)
一、極大線性無關組、向量組秩的概念(250)
二、有關秩的定理(250)
§4Schmidt正交化、正交矩陣(250)
一、Schmidt正交化(正交規範化方法)(250)
二、正交矩陣(251)
例題分析(251)
一、線性相關的判別(251)
二、向量的線性表示、向量組等價(253)
三、線性相關與線性無關的證明(256)
四、秩與極大線性無關組(261)
五、正交化、正交矩陣(263)
第四章線性方程組
考點與要求(265)
內容精講(265)
§1克拉默法則(265)
§2齊次線性方程組(265)
§3非齊次線性方程組(267)
例題分析(268)
一、線性方程組的基本知識(268)
二、Ax=0與基礎解繫(270)
三、解方程組Ax=b(277)
四、兩個方程組的公共解(282)
五、同解方程組(284)
六、方程組的應用(285)
第五章特征值、特征向量、相似矩陣
考點與要求(288)
內容精講(288)
§1特征值、特征向量(288)
一、定義(288)
二、特征值的性質(288)
三、求特征值、特征向量的方法(288)
§2相似矩陣、矩陣的相似對角化(289)
一、定義(289)
二、矩陣可相似對角化的充分必要條件(289)
三、相似矩陣的性質及相似矩陣的必要條件(290)
§3實對稱矩陣的相似對角化(290)
一、定義(290)
二、實對稱陣的特征值，特征向量及相似對角化(290)
三、實對稱矩陣正交相似於對角陣的步驟(290)
例題分析(291)
一、特征值，特征向量的求法(291)
二、兩個矩陣有相同的特征值的證明(295)
三、關於特征向量及其他給出特征值特征向量的方法(296)
四、矩陣是否相似於對角陣的判別(297)
五、利用特征值、特征向量及相似矩陣確定參數(299)
六、由特征值、特征向量反求A(300)
七、矩陣相似及相似標準形(301)
八、相似對角陣的應用(306)
第六章二次型
考點與要求(310)
內容精講(310)
§1二次型的定義、矩陣表示，合同矩陣(310)
一、二次型概念(310)
二、二次型的矩陣表示(310)
§2化二次型為標準形、規範形合同二次型(311)
一、二次型的標準形，規範形(311)
二、化二次型為標準形，規範形(311)
三、合同矩陣，合同二次型(312)
§3正定二次型、正定矩陣(312)
例題分析(313)
一、二次型的矩陣表示(313)
二、化二次型為標準形、規範形(314)
三、合同矩陣、合同二次型(320)
四、正定性的判別與證明(323)
五、二次型的應用(328)
