●第一篇復變函數
第1章復數與復變函數3
1.1復數概念及其運算3
1.1.1復數概念3
1.1.2復數的基本代數運算4
1.2復數的表示4
1.2.1復數的幾何表示4
1.2.2復數的三角表示6
1.23復數的指數表示6
1.2.4共輒復數7
1.2.5復窮遠點7
1.3復數的乘幕與方根8
1.3.1復數的乘罪8
1.3.2復數的方根9
1.3.3實踐編程：正十七邊形的幾何作圖法10
1.4區域11
1.4.1基本概念11
1.4.2區域的判斷方法及實例分析14
1.5復變函數14
1.5.1復變函數概念14
1.5.2復變函數的兒何意義——映射15
1.6復變函數的極限16
1.6.1復變函數極限概念16
1.6.2復變函數極限的基本定理17
1.7復變函數的連續18
1.7.1復變函數連續的概念18
1.7.2復變函數連續的基本定理18
1.8典型綜合實例19
小結23
習題125
計算機仿真編程實踐26
第2章解析函數28
2.1復變函數導數與微分28
2.1.1復變函數的導數28
2.1.2復變函數的微分概念30
2.1.3可導的必要條件30
2.1.4可導的充分必要條件32
2.1.5求導法則33
2.1.6復變函數導數的幾何意義34
2.2解析函數35
2.2.1解析函數的概念35
2.2.2解析函數的法則36
2.2.3函數解析的充分必要條件37
2.2.4解析函數的幾何意義（映射的保角性）39
2.3初等解析函數40
2.3.1指數函數（單值函數）40
2.3.2對數函數——指數函數的反函數（多值函數）41
2.3.3三角函數（單值函數）43
2.3.4反三角函數（多值函數）45
2.3.5雙曲函數（單值函數）46
2.3.6反雙曲函數（多值函數）47
2.3.7整幕函數z＂（單值函數）47
2.3.8一般辱函數與根式函數w=＇:f1（多值函數）48
2.3.9多值函數的基本概念49
2.4解析函數與調和函數的關繫51
2.4.1調和函數與共輒調和函數的概念51
2.4.2解析函數與調和函數之間的關繫51
2.4.3解析函數的構建方法52
2.5解析函數的物理意義平面矢量場53
2.5.1用解析函數表述平面矢量場53
2.5.2靜電場的復勢54
2.6典型綜合實例56
小結58
習題259
計算機仿真編程實踐60
第3章復變函數的積分61
3.1復變函數積分及性質61
3.1.1復變函數積分的概念61
3.1.2復積分存在的條件及計算方法62
3.1.3復積分的基本性質62
3.1.4復積分的計算典型實例63
3.1.5復變函數環路積分的物理意義64
3.2柯西積分定理及其應用65
3.2.1柯西積分定理65
3.2.2不定積分66
3.2.3典型應用實例68
3.2.4柯西積分定理（柯西古薩定理）的物理意義68
3.3基本定理的推廣——復合閉路定理69
3.4柯西積分公式72
3.4.1有界區域的單連通柯西積分公式72
3.4.2有界區域的復連通柯西積分公式73
3.界區域的柯西積分公式74
3.5柯西積分公式的幾個重要推論76
3.5.1解析限次可微性（高階導數公式）76
3.5.2解析函數的平均值公式78
3.5.3柯西不等式78
3.5.4劉維爾定理79
3.5.5莫勒納定理79
3.5.6優選模原理79
3.5.7代數基本定理80
3.6典型綜合實例80
小結85
習題386
計算機仿真編程實踐88
第4章解析函數的冪級數表示89
4.1復數項級數的基本概念89
4.1.1復數項級數概念89
4.1.2復數項級數的判斷準則和定理89
4.2復變函數項級數91
4.3冪級數93
4.3.1冪級數概念93
4.3.2收斂圓與收斂半徑94
4.3.3收斂半徑的求法95
4.4解析函數的泰勒級數展開式98
4.4.1泰勒級數98
4.4.2將函數展開成泰勒級數的方法99
4.5羅朗級數及展開方法100
4.5.1羅朗級數100
4.5.2羅朗級數展開方法實例103
4.5.3用級數展開法計算閉合環路積分105
4.6典型綜合實例105
小結108
習題4110
計算機仿真編程實踐112
第5章留數定理113
5.1解析函數的孤立奇點113
5.1.1孤立奇點概念113
5.1.2孤立奇點的分類及其判斷定理113
5.2解析窮遠點的性質117
5.3留數概念118
5.4留數定理與留數和定理120
5.5留數的計算方法.121
5.5.1有限遠點留數的計算方法121
5.窮遠點的留數計算方法123
5.6用留數定理計算實積分125
5.6.1/R(co58,51n8)d8型裂分125
5.6.型積分127
5.6.型積分128
5.6.4其他類型（積分路徑上有奇點）的識分計算舉例130
5.7典型綜合實例132
小結136
習題5137
計算機仿真編程實踐139
第6章保角映射140
6.1保角映射的概念140
6.2分式線性映射141
6.2.1分式線性映射的概念141
6.2.2兩種基本映射142
6.2.3分式線性映射的性質143
6.2.4分式線性映射的確定及應用145
6.2.5三類典型的分式結性映射148
6.3幾個初等畫數所構成的映射150
6.3.1幕函數映射150
6.3.2指數函數w=e＇映射151
6.3.3儒可夫斯基函數映射.152
6.4典型綜合實例.153
小結156
習題6157
計算機仿真編程實踐158
第一篇復變函數論全篇總結框圖158
第一篇綜合測試題159
第二篇數學物理方程
第7章數學建模——散學物理定解問題162
7.1數學建模——波動方程類型的建立163
7.1.1被動方程的建立163
7.1.2波動方程的定解條件169
7.2數學建模——熱傳導方程類型的建立171
7.2.1數學物理方程——熱傳導類型方程的建立171
7.2.2熱傳導（或擴散）方程的定解條件174
7.3數學建模——穩定場方程類型的建立175
7.3.1穩定場方程類型的建立175
7.3.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件176
7.4數學物理定解理論177
7.4.1定解條件和定解問題的提法177
7.4.2數學物理定解問題的適定性178
7.4.3數學物理定解問題的求解方法178
7.5典型綜合實例178
小結181
習題7181
計算機仿真編程實踐182
第8章二階線性偏微分方程的分類183
8.1基本概念183
8.2數學物理方程的分類.184
8.3二階線性偏微分方程標準化187
8.4線性偏微分方程解的特征190
8.5典型綜舍實例191
小結192
習題8193
計算機仿真編程實踐.193
第9章行波法與達朗貝爾公式194
9.1二階線性偏微分方程的通解194
9.2二階線性偏微分方程的行波解195
9.3達朗貝爾公式196
9.3.1一維波動方程的達朗貝爾公式196
9.3.2達朗貝爾公式的物理意義197
9.4達朗貝爾公式的應用197
9.4.1齊次偏微分方程求解197
9.4.2非齊次偏微分方程的求解200
9.5定解問題的適定性驗證201
9.6典型綜合實例202
小結205
習題9206
計算機仿真編程實踐206
第10章分離變量法207
10.1分離變量理論207
10.1.1偏微分方程變量分離及條件207
10.1.2邊界條件可實施變量分離的條件208
10.2直角坐標繫下的分離變量法208
10.2.1分離變量法介紹208
10.2.2解的物理意義211
10.2.3二維形式的直角坐標分離變量212
10.2.4直角坐標繫分離變量例題分析213
10.3二維極坐標繫下拉普拉斯方程的分離變量法217
10.4球坐標繫下的分離變量法219
10.4.1拉普拉斯方程也＝O的分離變量（與時間無關）219
10.4.2與時間有關的方程的分離變量221
10.4.3亥姆霍茲方程的分離變量222
10.5柱坐標繫下的分離變量223
10.5.1關的拉普拉斯方程分離變量223
10.5.2與時間相關的方程的分離變量225
10.6非齊次三階線性偏微分方程的解法225
10.6.11自松方程非齊次方程的特解法225
10.6.2非齊次偏微分方程的傅裡葉級數解法227
10.7非齊次邊界條件的處理229
10.8典型綜合實例231
小結235
習題10237
計算機仿真編程實踐.239
第11章冪級數解法——本征值問題240
11.1二階常微分方程的事級數解法240
11.1.1幕級數解法理論概述.240
11.1.2常點鄰域上的事級數解法（勒讓德方程的求解）241
11.1.3奇點鄰峨的級數解法（貝塞爾方程的求解）243
11.2施圖姆－劉維爾本征值246
11.2.1施圖姆－劉維爾本征值問題246
11.2.2施圖姆－劉維爾本征值問題的性質247
11.2.3廣義悻裡葉級數249
11.2.4復數的本征函數族249
11.2.5希爾伯特空間矢量分解250
11.3綜合實例250
小結251
習題11252
計算機仿真編程實踐252
第12章格林函數法253
12.1格林公式253
12.2解泊松方程的格林函數法253
1界空間的格林函數基本解256
12.3.1三維球對稱情形257
12.3.2工維軸對稱情形257
12.4用電像法確定格林函數258
12.4.1上半平面區域第一邊值問題的格林函數構建方法259
12.4.2上半空間內求解拉普拉斯方程的第一邊值問題260
12.4.3圓形區域第一邊值問題的格林函數構建261
12.4.4球形區域第一邊值問題的格林函數掏建262
12.5典型綜合實例264
小結265
習題12266
計算機仿真編程實踐267
第13章積分變換法求解定解問題268
13.1傅裡葉變換及性質268
13.1.1傅裡葉變換268
13.1.2廣義儒裡葉變換269
13.1.3傅裡葉變換的基本性質271
13.2拉普拉斯變換及性質276
13.2.1拉普拉斯變換276
13.2.2拉普拉斯變換的性質278
13.2.3拉普拉斯變換的反演281
13.3傅裡葉變換法解數學物理定解問題283
13.3.1弦振動問題284
13.3.2熱傳導問題285
13.3.3穩定場問題286
13.4拉普拉斯變換解定解問題288
13.界區域的問題288
13.4界區域的問題288
小結290
習題13292
第14章保角變換法求解定解問題294
14.1保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關繫294
14.2保角變換法求解定解問題典型實例295
習題14299
第15章戴學物理方程綜述300
15.1線性偏微分方程解法綜述300
15.2非線性偏微分方程301
15.2.1孤立波302
15.2.2衝擊波303
小結304
第二篇綜合測試題305
第三篇特殊函數
第16章勒讓德多項式——球函數308
16.1勒讓德方程及其解的表示308
16.1.1勒讓德方程、勒讓德多項式308
16.1.2勒讓德多項式的表示308
16.2勒讓德多項式的性質及其應用311
16.2.1勒讓德多項式的性質311
16.2.2勒讓德多項式的應用（廣義得墾葉級數展開）313
16.3勒讓德多項式的生成函數（母函數）315
16.3.1勒讓德多項式的生成函數的定義315
16.3.2勒讓德多項式的遞推公式316
16.4連帶勒讓德函數318
16.4.1連帶勒讓德函數的定義318
16.4.2連帶勒讓德函數的微分表示319
16.4.3連帶勒讓德函數的積分表示320
16.4.4連帶勒讓德函數的正交關繫與模的公式320
16.4.5連帶勒讓德函數——廣義傅裡葉級數320
16.4.6連帶勒讓德函數的遞推公式321
16.5球函數321
16.5.1球函數的方程及其解321
16.5.2球函數的正交關繫和模的公式322
16.5.3球面上函數的廣義傅裡葉級數323
16.5.4拉普拉斯方程的非軸對稱定解問題324
16.6典型綜合實例325
小結328
習題16331
計算機仿真編程實踐331
第17章貝塞爾函數332
17.1貝塞爾方程及其解332
17.1.1貝塞爾方程332
17.1.2貝塞爾方程的解333
17.2三類貝塞爾函數的表示式及性質333
17.2.1第一類貝塞爾函數333
17.2.2第二類貝塞爾函數335
17.2.3第三類貝塞爾函數335
17.3貝塞爾函數的基本性質336
17.3.1貝塞爾函數的遞推公式336
17.3.2貝塞爾函數與本征值問題338
17.3.3貝塞爾函數的正交性和模340
17.3.4廣義德裡葉－貝塞爾級教341
17.3.5貝塞爾函數的母函數（生成函數）342
17.4虛宗量貝塞爾方程及其解343
17.4.1虛宗量貝塞爾方程的解343
17.4.2第一類虛宗量貝塞爾函數的性質344
17.4.3第二類虛宗量貝塞爾函數的性質345
17.5球貝塞爾方程及其解.345
17.5.1球貝塞爾方程.345
17.5.2球貝塞爾方程的解345
17.5.3球貝塞爾函數的級數表示346
17.5.4球貝塞爾函數的遞推公式346
17.5.5球貝塞爾函數的初等函數表示式346
17.5.6球形區域內的球貝塞爾方程的本征值問題347
17.6典型綜合實例348
小結350
習題17352
討算機仿真編程實踐353
第三篇綜合測試題353
第四篇計算機仿真與實踐
第18章計算機仿真在復變函數中的應用355
18.1復數運算和復變函數的圖形355
18.1.1復數的基本運算355
18.1.2復數的運355
18.1.3復變函數的圖形357
18.2復變函數的極限與導數、解析函數360
18.2.1復變函數的極限360
18.2.2復變函數的導數361
18.2.3解析函數361
18.3復變畫數的積分與留數定理362
18.3.1非閉合路徑的積分計算362
18.3.2閉合路徑的積分計算362
18.4復變畫數級數364
18.4.1復變函數級數的收斂半徑364
18.4.2單變量函數的泰勒級數展開365
18.4.3多變量函數的泰勒級數展開366
18.5傅裡葉變換及其逆變換367
18.5.1傅裡葉積分變換367
18.5.2傅裡葉逆變換368
18.6拉普拉斯變換及其逆變換368
18.6.1拉普拉斯變換368
18.6.2拉普拉斯逆變換369
計算機仿真編程實踐370
第19章數學物理方程的計算機仿真求解371
19.1用偏微分方程工具箱求解偏微分方程371
19.1.1用GU1解PDE問題371
19.1.2計算結果的可視化372
19.2計算機仿真編程求解偏微分方程374
19.2.1雙曲型：波動方程的求解374
19.2.2拋物型：熱傳導方程的求解377
19.2.3橢圓型：穩定場方程的求解379
19.2.4點源泊松方程的適應解381
19.2.5亥姆霍茲方程的求解382
19.3定解問題的計算機仿真顯示383
19.3.1波動方程解的動態由示384
19.3.2熱傳導方程解的分布385
19.3.31自松方程解的分布386
19.3.4格林函數解的分布387
19.3.5本征值問題中本征函數的收斂及其分布388
討算機仿真編程實踐389
第20章特殊函數的計算機仿真應用390
20.1連帶勒讓德函數、勒讓德多項式、球函數390
20.1.1連帶勒讓德函數390
20.1.2勒讓德多項式390
20.1.3球函數391
20.1.4勒讓德多項式的母函數圖形391
20.2貝塞爾畫數（柱函數）及其性質392
20.2.1貝塞爾函數及仿真392
20.2.2虛宗量貝塞爾函數394
20.2.3球貝塞爾函數的圖形394
20.2.4平面被用柱面波形式展開395
20.2.5定解問題的圖形顯示396
20.3其他特殊函數397
計算機仿真編程實踐397
第21章數學物理方法仿真實踐398
21.1復變函數仿真實踐398
21.2數學物理方程仿真實踐400
21.2.1基模高斯光束的傳輸特性仿真400
21.2.2光子晶體中本征值問題的仿真403
21.3特殊函數應用仿真實踐——布拉格光纖光傳輸特性仿真405
參考文獻410

本書繫統地闡述了復變函數論、數學物理方程的各種解法、特殊函數以及計算機仿真編程實踐等內容，對培養思維能力和實踐編程能力具有指導意義。本書在取材的深度和廣度上充分考慮到前沿學科領域知識內容，形成了具有前沿學科特點的數學物理方法與計算機仿真相結合的繫統化理論體繫。本書結構層次清晰，理論具有繫統性和完整性，重點立足於對思維能力的培養，加強計算機仿真能力的訓練，分別介紹了復變函數、數學物理方程和特殊函數的計算機仿真求解及其解的仿真圖形顯示。習題解答和仿真程序等可以通過網絡下載。本書可作為物理學、地球物理學、電子信息科學、光通信技術、空間科學、天文學、地質學、海洋科學、材料科學等學科領域的理工科大學本科教材，也可供相關專業的研究生、科技工作者作為參考資料並進行計算機仿真訓練。

楊華軍,姜萍 著