數學分析新講（重排本）第一冊

目 錄
預篇 準備知識
§1 集合與邏輯記號 …………………………………………………… (3)
§2 函數與映射 ………………………………………………………… (6)
§3 連加符號與連乘符號 ……………………………………………… (8)
§4 面積、路程與功的計算 …………………………………………… (11)
§5 切線、速度與變化率 ……………………………………………… (15)
篇 分析基礎
章 實數 ……………………………………………………………… (21)
§1 實數的無盡小數表示與順序 …………………………………… (21)
§2 實數繫的連續性 ………………………………………………… (23)
§3 實數的四則運算 ………………………………………………… (28)
§4 實數繫的基本性質綜述 ………………………………………… (34)
§5 不等式 …………………………………………………………… (36)
第二章 極限 ……………………………………………………………… (41)
§1 有界序列與無窮小序列 ………………………………………… (41)
§2 收斂序列 ………………………………………………………… (50)
§3 收斂原理 ………………………………………………………… (65)
§4 無窮大 …………………………………………………………… (77)
附錄 斯托爾茨(Stolz)定理 …………………………………………… (81)
§5 函數的極限 ……………………………………………………… (85)
§6 單側極限 ………………………………………………………… (101)
第三章 連續函數 ……………………………………………………… (105)
§1 連續與間斷 ……………………………………………………… (105)
§2 閉區間上連續函數的重要性質 ………………………………… (110)
附錄 一致連續性的序列式描述 …………………………………… (118)
§3 單調函數,反函數 ……………………………………………… (119)
§4 指數函數與對數函數,初等函數連續性問題小結 …………… (122)
§5 無窮小量(無窮大量)的比較,幾個重要的極限 ……………… (129)
第二篇 微積分的基本概念及其應用
第四章 導數 …………………………………………………………… (141)
§1 導數與微分的概念 ……………………………………………… (141)
§2 求導法則,高階導數 …………………………………………… (152)
§3 無窮小增量公式與有限增量公式 ……………………………… (173)
第五章 原函數與不定積分 ………………………………………… (185)
§1 原函數與不定積分的概念 ……………………………………… (185)
§積分法 ……………………………………………………… (189)
§3 分部積分法 ……………………………………………………… (197)
§4 有理函數的積分 ………………………………………………… (201)
§5 某些可有理化的被積表示式 …………………………………… (209)
第六章 定積分 ………………………………………………………… (213)
§1 定義與初等性質 ………………………………………………… (213)
§2 牛頓-萊布尼茨公式 …………………………………………… (219)
§3 定積分的幾何與物理應法 …………………………… (224)
第七章 微分方程初步………………………………………………… (238)
§1 概說 ……………………………………………………………… (238)
§2 一階線性微分方程 ……………………………………………… (241)
§3 變量分離型微分方程 …………………………………………… (248)
§4 實變復值函數 …………………………………………………… (253)
§5 高階常繫數線性微分方程 ……………………………………… (262)
§6 開普勒行星運動定律與牛頓萬有引力定律 …………………… (269)
重排本說明 ……………………………………………………………… (281)

數學分析新講（重排本）第二冊

目 錄
第三微積分的進一步討論
第八章 利用導數研究函數 …………………………………………… (3)
§1 柯西中值定理與洛必達法則 ……………………………………… (3)
§2 泰勒(Taylor)公式 ……………………………………………… (16)
§3 函數的凹凸與拐點 ……………………………………………… (36)
§4 不等式的證明 …………………………………………………… (44)
§5 函數的作圖 ……………………………………………………… (50)
§6 方程的近似求解 ………………………………………………… (59)
第九章 定積分的進一步討論………………………………………… (67)
§1 定積分存在的一般條件 ………………………………………… (67)
§2 可積函數類 ……………………………………………………… (73)
§3 定積分看作積分上限的函數,牛頓-萊布尼茨公式的
再討論 …………………………………………………………… (79)
§4 積分中值定理的再討論 ………………………………………… (83)
§5 定積分的近似計算 ……………………………………………… (90)
§6 沃利斯公式與斯特林公式 ……………………………………… (98)
附錄 …………………………………………………………………… (105)
第十章 廣義積分 ……………………………………………………… (107)
§1 廣義積分的概念 ………………………………………………… (107)
§2 牛頓-萊布尼茨公式的推廣,分部積分公式與
§3 廣義積分的收斂原理及其推論 ………………………………… (117)
§4 廣義積分收斂性的一些判別法 ………………………………… (119)
第四微積分
第十一章 多維空間 …………………………………………………… (133)
§1 概說 ……………………………………………………………… (133)
§2 多維空間的代數結構與距離結構 ……………………………… (135)
§3 Rm 中的收斂點列 ……………………………………………… (138)
§函數的極限與連續性 ……………………………………… (142)
§5 有界閉集上連續函數的性質 …………………………………… (149)
§6 Rm 中的等價範數 ……………………………………………… (155)
§7 距離空間的一般概念 …………………………………………… (160)
§8 緊致性 …………………………………………………………… (170)
附錄 …………………………………………………………………… (178)
§9 連通性 …………………………………………………………… (180)
§10 向量值函數 …………………………………………………… (182)
第十二微分學………………………………………………… (186)
§1 偏導數,全微分 ………………………………………………… (186)
§2 復合函數的偏導數與全微分 …………………………………… (195)
§3 高階偏導數 ……………………………………………………… (199)
§4 有限增量公式與泰勒公式 ……………………………………… (208)
§5 隱函數定理 ……………………………………………………… (214)
§6 線性映射 ………………………………………………………… (226)
§7 向量值函數的微分 ……………………………………………… (232)
§8 一般隱函數定理 ………………………………………………… (241)
§9 逆映射定理 ……………………………………………………… (248)
§1函數的極值 ……………………………………………… (253)
第十三章 重積分 ……………………………………………………… (269)
§1 閉方塊上的積分———定義與性質 ……………………………… (271)
§2 可積條件 ………………………………………………………… (275)
§3 重積分化為累次積分計算 ……………………………………… (281)
§4 若當可測集上的積分 …………………………………………… (290)
§5 替換計算重積分的例子 ……………………………… (311)
§6 重替換定理的證明 …………………………………… (335)
重排本說明……………………………………………………… (349)

數學分析新講（重排本）第三冊

目 錄
第五篇 曲線、曲面與微積分
第十四章 微分學的幾何應用 ………………………………………… (3)
§1 曲線的切線與曲面的切平面 ……………………………………… (4)
§2 曲線的曲率與撓率,弗萊納公式 ………………………………… (10)
§3 曲面的與第二基本形式 …………………………………… (22)
第十五章 型曲線積分與型曲面積分 ………………… (27)
§1 型曲線積分 ………………………………………………… (27)
§2 曲面面積與型曲面積分 …………………………………… (33)
第十六章 第二型曲線積分與第二型曲面積分 ………………… (46)
§1 第二型曲線積分 ………………………………………………… (46)
§2 曲面的定向與第二型曲面積分 ………………………………… (54)
§3 格林公式、高斯公式與斯托克斯公式 …………………………… (70)
§4 微 分 形 式 ……………………………………………………… (84)
§5 布勞威爾不動點定理 …………………………………………… (92)
§6 曲線積分與路徑無關的條件 …………………………………… (99)
§7 恰當微分方程與積分因子 ……………………………………… (118)
第十七章 場論介紹 …………………………………………………… (128)
§1 數量場的方向導數與梯度 ……………………………………… (128)
§2 向量場的通量與散度 …………………………………………… (130)
§3 方向旋量與旋度 ………………………………………………… (132)
§4 場論公式舉例 …………………………………………………… (133)
§5 保守場與勢函數 ………………………………………………… (135)
附錄 正交曲線坐標繫中的場論計算 ……………………………… (136)
第六篇 級數與的積分
第十八章 數項級數 …………………………………………………… (147)
§1 概說 ……………………………………………………………… (147)
§2 正項級數 ………………………………………………………… (150)
§3 上、下極限的應用 ……………………………………………… (167)
§4 任意項級數 ……………………………………………………… (175)
§5 收斂級數與條件收斂級數的性質 ………………………… (183)
附錄 關於級數乘法的進一步討論 ………………………………… (192)
§6 無窮乘積 ………………………………………………………… (196)
第十九章 函數序列與函數級數 …………………………………… (201)
§1 概說 ……………………………………………………………… (201)
§2 一致收斂性 ……………………………………………………… (203)
§3 極限函數的分析性質 …………………………………………… (213)
§4 冪級數 …………………………………………………………… (220)
附錄 二項式級數在收斂區間端點的斂散狀況 …………………… (228)
§5 用多項式逼近連續函數 ………………………………………… (229)
附錄Ⅰ 魏爾斯特拉斯逼近定理的伯恩斯坦證明 ………………… (234)
附錄Ⅱ 斯通 魏爾斯特拉斯定理 …………………………………… (238)
§6 微分方程解的存在定理 ………………………………………… (245)
§7 兩個著名的例子 ………………………………………………… (249)
第二十章 傅裡葉級數………………………………………………… (256)
§1 概說 ……………………………………………………………… (256)
§2 正交函數繫,貝塞爾不等式 …………………………………… (260)
§3 傅裡葉級數的逐點收斂性 ……………………………………… (265)
§4 均方收斂性與帕塞瓦爾等式,等周問題 ……………………… (284)
§5 周期為2l的傅裡葉級數,弦的自由振動 ……………………… (300)
§6 傅裡葉級數的復數形式,傅裡葉積分簡介 …………………… (307)
第二十一章 的積分 ……………………………………… (313)
§1 的常義積分 …………………………………………… (313)
§2 關於一致收斂性的討論 ………………………………………… (319)
§3 的廣義積分 …………………………………………… (323)
§4 Γ函數與B函數 ………………………………………………… (341)
§5 的積分與函數逼近問題 ……………………………… (354)
後記 ………………………………………………………………………… (361)
重排本說明 ……………………………………………………………… (363)