第1章線性泛函分析初步

1.1距離空間及緊性

1．1．1距離空間的概念

1．1．2收斂及完備性

1．1．3緊性與全有界

1．1．4壓縮映射原理

1．2賦範線性空間與線性算子

1．2．1賦範線性空間

1．2．2內積空間

1．2．3有界線性算子

1．2．4對偶空間

1．3泛函分析基本定理

1．3．1基本定理

1．3．2自反空間

1．3．3全連續算子

1．4緊算子的譜

1．4．1基本概念

1．4．2譜的簡單性質

1．4．3緊算子的譜

1．5向量值解析函數與譜映照定理

1．5．1向量值解析函數的概念

1．5．2向量值解析函數的性質

1．5．3譜映照定理

第1章練習題

第2章非線性算子微積分

2．1非線性算子的有界性與連續性

2．1．1非線性算子的有界性與連續性

2．1．2連續算子的性質

2．1．3全連續算子的概念

2．1．4全連續算子的性質與等價刻畫

2．2抽像函數的積分

2．2．1抽像函數的Riemann積分

2．2．2Bochner積分

2．3非線性算子的可微性與解析性

2．3．1Gateaux微分與導數

2．3．2Fréchet微分與導數

2．3．3偏導數

2．3．4解析算子

2．4多重線性算子與高階微分

2．4．1n重線性算子

2．4．2高階微分與高階導數

2．5非線性算子的Taylor公式與冪級數展開

2．5．1非線性算子的Taylor公式

2．5．2抽像冪級數及其收斂性

2．5．3解析算子的冪級數展開

2．6梯度算子與單調算子

2．6．1非線性泛函的梯度

2．6．2單調算子與凸泛函

2．7隱函數定理

2．7．1Cp映射

2．7．2隱函數存在定理

2．7．3隱函數的可微性

2．7．4Newton迭代方法

2．8泛函極值及條件

2．8．1速降線問題及其求解

2．8．2泛函極值的必要條件

2．8．3下半弱連續條件與泛函極值的存在性

2．8．4陡下降法

2．8．5PalaisSmale條件與泛函極值存在性

第2章練習題

第3章算子半群基礎

3．1算子半群的基本概念與性質

3．1．1算子半群的概念與性質

3．1．2C0半群的性質

3．1．3一致連續半群的等價刻畫

3．2無窮的特征

3．2．1C0半群的無窮的特征

3．2．2耗散算子與壓縮C0半群

3．2．3應用

3．3解析半群與扇形算子

3．4分數冪算子與分數冪空間

3．4．1分數冪算子

3．4．2分數冪空間

第3章練習題

第4章拓撲度

4．1預備知識

4．1．1連續映射規範化與光滑逼近

4．1．2臨界點與Sard定理

4．1．3散度與積分

4．2Brouwer度

4．2．1C1類映射的拓撲度的導數表示

4．2．2C1類映射的拓撲度的積分表示

4．2．3Brouwer度及其基本定理

4．2．4零點指數與乘積定理

4．3LeraySchauder度

4．3．1關於推廣Brouwer度的討論

4．3．2LeraySchauder度的建立

4．4拓撲度的應用

4．4．1Brouwer不動點定理

4．4．2LeraySchauder不動點定理

4．4．3連續映射為滿射的條件

4．4．4在微分方程中的應用

第4章練習題

第5章不動點理論及其在微分方程中的應用

5．1不動點理論概述

5．1．1經典不動點定理

5．1．2線性算子擾動下的壓縮型不動點定理

5．1．3混雜壓縮型不動點定理

5．1．4集值不動點定理

5．2不動點理論在時滯微分方程的應用

5．2．1特定函數空間中的不動點定理

5．2．2時滯脈衝邊值問題

5．2．3生物數學中的幾個時滯模型

5．2．4時滯積分微分方程

5．3不動點理論在分數階微分方程的應用

5．3．1分數階微分方程的存在性

5．3．2帶擴散影響的分數階微分方程

5．3．3分數階邊值問題解的存在性

5．4不動點理論在Banach空間中的微分方程的應用

5．4．1波動方程的時間周期解

5．4．2時滯反應擴散方程的時間周期解

第5章練習題

第6章算子半群理論在微分方程中的應用

6．1算子半群理論在泛函微分方程中的應用

6．1．1泛函微分方程的局部解

6．1．2泛函微分方程的整體解

6．2算子半群理論在半線性拋物方程中的應用

6．2．1齊次線性方程初值問題

6．2．2非齊次線性方程初值問題

6．2．3非線性方程的初值問題

6．3算子半群理論在半線性波方程中的應用

6．3．1半線性波方程初邊值問題

6．3．2SineGordon方程初邊值問題

6．4算子半群理論在時滯反應擴散方程中的應用

6．4．1時滯反應擴散方程的適定性

6．4．2時滯反應擴散方程的算子半群與無窮

6．4．3兩個例子

第6章練習題

參考文獻

泛函分析是從變分法、微分方程、積分方程和理論物理的研究中發展起來的數學分科，其基本理論形成於20世紀30年代。泛函分析綜合運用分析、代數、幾何及其他數學方法，關注不同數學領域問題的共同特征和性質，並用公理化的方法進行抽像，用統一的觀點來處理和理解數學各分支的內容，使得看似屬於不同領域的問題從本質上聯繫起來，因此泛函分析成為現代數學研究的基本工具和方法。泛函分析發展到現在，其內容方法已不僅滲透到幾乎所有的數學領域，如函數論、常微分方程和偏微分方程、調和分析，概率論、大範圍微分幾何、計算數學等，還在數學以外的學科得到廣泛的應用，其方法大量用於連續介質力學、電磁場理論、量子場論等學科。
大學本科階段我們學習的是線性泛函分析的基本理論，它主要研究賦範線性空間及其線性算子的性質，是線性代數中的線性空間和線性變換在無窮維空間的推廣，可以視為無窮維線性空間上的幾何學和分析學。高等泛函分析是面向研究生的一門數學核心基礎課，自然與本科階段的泛函分析在內容取材方面有所區別，這也是我們將教材取名為“高等泛函分析”的理由，嚴格來講應該叫泛函分析選講。基於此，本課程一方面是為了給數學及相關工科專業研究生提供泛函分析的基礎，滿足相關專業方向對泛函分析的基本需求，為進入各專業方向課題研究和學習後續課程提供泛函分析的工具和方法； 另一方面，由於其內容綜合運用了分析、代數、幾何等學科的觀點和方法，同時又具有實際背景和應用前景，因此本課程的學習可以訓練和提高抽像思維能力、邏輯思維能力以及理論聯繫實際的創新能力，使學習者受到數學研究的基本分析技巧和審視問題的基本素養的熏陶，這正是研究生階段需要接受的訓練。
國內外不乏泛函分析的優秀教材，但由於作者的學術興趣、教學目的以及授課對像的基礎不同而具有很大的差異性，為適應本校的教學對像，我們在開設本門課程的初期是綜合各教材的內容實施教學，這給教和學都帶來一些困難。因此，我們在多輪教學講義的基礎上，形成了本教材的基本內容。在內容的選取上，首先介紹了線性泛函分析初步理論，一方面也可以作為相關內容的復習，另一方面，也可以作為泛函分析基礎理論的入門素材。接下來介紹非線性算子微積分理論，讓讀者領略用現代方法處理經典微積分內容的精妙，同時也順利完成從有限維到無窮維、從線性到非線性的過渡。再其次重點介紹在微分方程和動力繫統研究中常用的兩個工具——半群理論和拓撲度理論，它們構成本教材的核心內容。後，作為前面方法的綜合應用，我們給出了不動點理論和半群理論在研究各種微分方程的應用，包括時滯微分方程、分數階微分方程、半線性拋物方程、半線性波方程、時滯反應擴散方程以及Banach空間中微分方程等，學生通過這些內容的學習和相關文獻的閱讀可以直接進入前沿問題研究。
本書前4章（除3.4節）由朱健民編寫，3.4節與第6章由黃建華編寫，第5章由劉易成編寫，劉志明負責部分習題配置及教學實踐，全書由朱健民和黃建華統稿。在編寫過程中，我們借鋻吸收了大量國內外優秀著作的相關內容，雖然沒有一一指出內容出處，但在參考文獻中統一列出，在此對相關著作者表示衷心感謝！
盡管我們盡量讓內容做到自完備，但大學階段的基本分析基礎還是的，如微積分、線性代數、復變函數、微分方程等內容，泛函分析的預備知識在第1章中給出，但其基本方法和技巧的訓練遠在內容之外。另外，在內容處理上，我們盡量與熟知的問題相聯繫，同時通過直觀圖形幫助讀者對內容理解。我們的目的是要編寫一本起點恰當、篇幅適中，既好教又好學的教材，但由於作者水平的局限，恐難達到如此要求，隻希望錯誤能盡量少一些，同時也希望得到各位同行的指教！
編者2022年8月