前言

第0章數學思想與創新思維

§0.1特殊與一般

0.1.1特殊與一般

0.1.2兩種常用的化歸思維方法

0.1.3關繫映射反演方法

0.1.4函數構造

§0.２分解與組合

0.2.1分解

0.2.2組合

§0.3聯想、類比、歸納與演繹

0.3.1聯想與類比

0.3.2歸納與演繹

§0.４思維

0.4.1思維

0.4.2同向思維與逆向思維

0.4.3對偶結構思維

0.4.4非邏輯思維

§0.５抽像

0.5.1抽像與數學抽像

0.5.2弱抽像與強抽像

§0.６數學中的美學

0.6.1美學

0.6.2數學美

0.6.3數學美的內容

0.6.4數學美的特征

第1章極限與連續

§１.1極限的概念與性質

1.1.1極限的基本概念

1.1.2極限的性質與法則

1.1.3函數、數列、子數列之間的關繫

§１.２函數的連續性

1.2.1函數連續的概念與性質

1.2.2函數間斷的概念

1.2.3閉區間上連續函數的性質及其應用

§１.３極限存在的準則

§１.４極限的計算

1.4.1基本型不定式極限的計算

1.4.2冪指函數極限的計算

1.4.3極限中參數的確定

第函數導數的概念與計算

§2.1導數與微分的概念

2.1函數導數的定義

2.1函數導數的基本性質

2.1.3分段函數的可導性討論

2.1.4微分的定義

§2函數導數的計算

2.2.1基本類型函數的導數計算與應用

2.2.2高階導數的計算

第3章微分中值定理及其應用

§3.1微分中值定理

3.1.1微分中值定理的分析

3.1.2泰勒定理與泰勒公式的建立

§3.2微分中值定理的若干應用

3.2.1函數與其導數之間的關繫

3.2.2微分中值定理的中值的若干問題

3.2.3利用微分中值定理證明不等式

3.2.4利用洛必達法則求極限

3.2.5泰勒公式的若干應用

§3.３利用微分中值定理討論方程的實根

第函數及其性態分析

§4.1函數

4.1.1函數的概念

4.1.2函數的構造

§4函數性態的分析

4.2.1函數的單調性與極值

4.2.2曲線的凹向性

4.2.3函數性態的綜合分析

4.2.4函數的值問題

§4.３函數性態分析的應用

4.3.1結合函數性態分析討論方程的實根

4.3.2利用函數性態分析證明不等式

朋友！你我不曾相識，但高興的是我們有幸相聚於本書之中. 這是一種緣分，更是一種信任與情感的交流，願通過本書我們能成為好朋友——真正的好朋友！因為一切的美，數情美.

你的可愛讓我陶醉，你的優秀使我感動.

你的青春令我羨慕，你的現在由我陪同.

創新，是人類社會活動永恆的主題. 創新活動和科學研究需要具有一定的基礎與專業知識的積累，需要具有相當的創新思維，需要具有終身學習的能力. 這些都是高等教育的基本任務，希望你們先從本書的學習中得以培養和提升.

筆者一輩子堅守並實踐著的教和學的理念是：創新思維的教和學，情與愛的教和學，愉悅而輕松的教和學.

非初等數學的數學皆為高等數學. 二者的根本區別在於：初等數學研究的是有限的，又是靜態的；高等數學研究的是無限的，又是動態的. 顯然，高等數學比初等數學研究的範圍更廣、難度更大、探索的未知更多. 人們俗稱的高等數學課程，僅僅涉及整個高等數學中基礎的極少部分.

按創新思維與方法、專題梳理與解悟，高等數學課程中各個知識點是一種較高的思想境界，可以讓你掌握創新活動中一些常規的思維和方法，會讓你覺得這種學習挺好玩兒的，能提高你的終身學習能力. 本書就是強調創新思維與數學知識的貫通，突出撰寫科學研究論文的路線加以闡述. 本書具有個性的“注記”就是對有關專題的剖析與延拓及其思想的好解悟.

好人的充分必要條件是考慮到他人. 愛與情的核心也就在於尊重對方、考慮對方. 教師為學生著想，作者為讀者考慮，均體現著愛與情. 學生接受這種被愛是對教師的敬重，讀者喜愛並接受書中的見解和字裡行間的情是對作者的肯定. 這說明雙方都是好人，大家都持有“待賢者謙，待善者恭”的精神.

正是筆者考慮著你們，纔把本書寫成一部具有可讀易懂、內容全面、方法多樣、綜合性強等特點的大全；又具有概念清晰、敘述嚴謹、思想豐富、思維活躍等特色；還在許多“注記”中提供了相關的練習題. 本書的寫作風格是以朋友交流的談話形式，是沒有聲音的討論式課堂教學.

好人考慮著他人，就是讓他人有收益、有快樂. 學生喜愛的好教師是這樣，讀者喜愛的好作者也是如此. 筆者懷著為了學生和讀者有收益有快樂的理念，坦誠用心寫成了本書. 當然也期望你們用心、靜心研讀本書，誠如是，則你一定會在繫統梳理數學知識的同時，在學業上、思維上都有收益和提高，進入更高的境界，並愉悅又輕松著.

本書（一套四冊）適用於工學、理學、經濟學、管理學等各學科、各專業的如下幾類讀者：

（1） 正在學習“高等數學”（含“微積分”、“常微分方程”等）課程的讀者. 本書各章節的編排是與“高等數學”（含“微積分”、“常微分方程”等）課程的常用教材及其教學順序相一致的，故對初學者，尤其是大學新生來說它是一部極好的高等數學同步輔導用書.

另外，請讀者根據自己報考研究生的專業要求，按照*當年頒布的數學考試大綱選用本書中有關章節的相關內容.

（2） 正在選學“數學分析”課程的讀者. 本書覆蓋了“數學分析”課程中純分析理論以外的全部內容，且達到了相應的高度.所以本書也是正在學習“數學分析”課程讀者的很好的輔導用書.

（3） 從事“高等數學”課程和“數學分析”課程教學工作的教師. 本書可以作為這些教師朋友的教學參考用書，願對大家有一定的幫助.

這裡，特別感謝本書責任編輯、上海遠東出版社社長曹建編審！感謝他的關注，使筆者長期創立的教學理念與教學風格在本書中得以部分展示. 他在每個細節中處處體現出來的考慮讀者、關心作者的好人品質讓我感動.

本書的不當甚至差錯之處，唯望從各位同仁與朋友中多獲教言以增益，謝謝！

邵劍2019年8月於杭州