第１章函數１
１．１函數的概念１
１．１．１實數與數集２
１．１．２區間２
１．１．３鄰域與去心鄰域２
１．１．４有界集３
１．１．５函數３
１．２隱函數與反函數５
１．２．１隱函數５
１．２．２反函數５
１．２．３反三角函數６
１．３參數方程與極坐標９
１．３．１參數方程表示的函數９
１．３．２極坐標１０
１．３．３極坐標與直角坐標的關繫１１
１．３．４極坐標中常見的曲線１２
１．４初等函數１４
１．４．１基本初等函數１４
１．４．２復合函數與初等函數１７
第２章極限２０
２．１數列的極限２０
２．１．１數列與極限的定義２１
２．１．２極限的運算２３
２．２連續函數與函數的極限２６
２．２．１函數的極限與連續函數的定義２６
２．２．２函數的單側極限２８
２．３極限的嚴格定義３０
２．３．１數列極限的嚴格定義３０
２．３．２一般函數極限的嚴格定義３１
２．３．３極限的性質３３
２．４連續函數的性質３４
２．４．１連續函數的嚴格定義３４
２．４．２閉區間內連續函數的性質３５
２．５自然指數ｅ ３８
２．５．１銀行復利的問題３８
２．５．２ｅ的應用４０
２．６漸近線４２
第３微分學４７
３．１導數的概念４７
３．１．１導數的例子４７
３．１．２導數的定義４９
３．２導數的基本公式與四則運算求導法則５３
３．３其他求導法則５７
３．３．１反函數與復合函數求導法則５７
３．３．２隱函數與參數方程求導法則６０
３．４高階導數６７
３．５微分７２
３．６洛必達法則７４
３．６．１００和∞∞型未定式７４
３．６．２其他型未定式７５
３．７極值的判定和值性７８
３．８函數的凸向和作圖８３
３．８．１凸函數、曲線的凸向及拐點８３
３．８．２函數的分析作圖法８４
３．９泰勒公式８７
第４積分學９１
４．１積分的概念與性質９１
４．１．１定積分的概念９１
４．１．２定積分的簡單性質９３
４．２微積分基本定理９５
４．２．１微積分基本定理部分９５
４．２．２微積分基本定理第二部分９７
第５章微積分在高中的應用１０２
５．１微積分的論證方法１０２
５．１．１分析法１０２
５．１．２綜合法１０４
５．１．３構造法１０５
５．１．４舉反例法１０６
５．１．５計算法１０７
５．１．６反證法１０８
５．１．７數學歸納法１０９
５．２微積分在高考數學中的應用１１０
５．２．１極坐標及反三角函數的應用１１０
５．２．２極限及泰勒公式的應用１１１
參考答案１２６
參考文獻１３６

前言
微積分是近代數學的基礎，在科學技術中有著廣泛的應用．隨著時代的進
步和科技的發展，科學創新成果中數學的作用日益凸顯，微積分對學生思維訓
練中起到的作用也越來越受到高中教師的重視．
近些年，隨著新高考改革的推進，導數在高考題目中的分量也在逐漸
增加．而導數作為微積分這門學科中較重要的一部分內容，高中生隻能了
解到這個概念在函數分析中的部分應用，而無法全面地了解微積分的全
貌．對很多學有餘力的學生來說，全面而繫統地把握整個微積分體繫，對
他們未來學習和發展是十分有利的．基於這樣的目的，本書立足於建立微
積分的整套體繫，但又不會完全按照大學微積分的模式而摻雜各種微積分
的計算技巧；通過講解微積分的基本概念和基本理論，並利用這些內容來
解決高中數學中出現的問題，達到開拓學生視野、強化學生邏輯思維訓練
的目的．
本書編寫的指導思想是，力圖使本書既體現微積分本身的繫統性、嚴密
性，又符合易學、易懂、簡潔、精煉的原則；在總體框架和結構上，定位在高中
與大學銜接階段，既適合高中學生拓展數學知識體繫，又對高考及強基計劃筆
試應試有一定的指導作用．
本書共５章．第１章主要介紹函數，這是高中與大學微積分銜接的知識，
大部分內容在高中階段是選修部分．第２章介紹的極限是建立整個微積分課程
體繫的基礎．第３、４章主要介紹的則是微分學和積分學中的兩個主要部分，為
了和高考契合，將重點放在了微分學部分，給出了泰勒公式及導數在函數分析
方面的各種應用；同時，為了體繫的完整，後引出了微積分基本定理，建立
了微分學與積分學的關繫．第５章重點聚焦數學論證方法在高中的應用，以及
微積分學的內容在高考試題及強基計劃試題中的例子．