目       錄

1   函數與極限    01

1. 1函數     01


2. 1.1   集合   01


3. 1. 2變量與函數的概念   04


4. 1.3   函數的幾種性質   07


5. 1.4   反函數   009


6. 1.5   復合函數   010


7. 1.6   函數的四則運算   012


8. 1.7   初等函數   013


9. 1. 8雙曲函數與反雙曲函數   015

* 1. 1. 9   映射   017

習題 1-1      018

1. 2極限     020


2. 2.1數列的極限及其性質   020


3. 2.2函數的極限及其性質   026


4. 2.3極限運算法則   032


5. 2. 4極限存在準則    兩個重要極限 035


6. 2.5無窮小與無窮大   039

習題 1-2      044

1. 3函數的連續性和間斷點  046


2. 3.1   函數的連續性   047


3. 3.2函數的間斷點及其分類   049


4. 3.3連續函數的運算   051


5. 3.4初等函數的連續性   054


6. 3.5閉區間上連續函數的性質   055

* 1. 3. 6   一致連續性的概念   057

習題 1-3      058

本章小結    059

高等數學    上冊

自我檢測題 1   061

復習題 1    061

2   導數與微分    063

2.1   導數的概念    063

2.1.1   引例    064

2.1.2   導數的定義    066

2.1.3   導數的幾何意義    069

2.1.4   利用單位解釋導數    070

2.1.5   函數的可導性與連續性的關繫    071

2.1.6   導數在自然學科中的應用實例    073

習題 2-1      074

2.2   函數的求導方法    初等函數的導數     075

2.2.1   幾個基本初等函數的導數公式    075

2.2. 2   函數的和 、差 、積 、商的求導法則      076

2.2.3   反函數的求導法則    079

2.2.4   復合函數的求導法則    080

習題 2-2      085

2.3   高階導數    086

2.3.1   高階導數的概念    086

2.3.2   高階導數的四則運算及萊布尼茨公式    089

習題 2-3      090

2. 4   隱函數及由參數方程所確定的函數的導數   090


3. 4.1   隱函數求導法 090


4. 4.2   取對數求導法 093


5. 4. 3由參數方程所確定的函數的求導法 094


6. 4. 4由極坐標方程所表示的函數的導數 097

習題 2-4      099

2. 5   相關變化率   100

習題 2-5      102

2.6   微分      102

2.6.1   微分的概念    102

2. 6.2   可微的充分必要條件 103

2.6.3   微分的幾何意義    104

2.6.4   微分法則    105

2.6.5   微分的應用舉例    108

習題 2-6      114

目     錄    

本章小結     115

自我檢測題 2    118

復習題 2     119

3   微分學基本定理   121

3. 1   微分學三個基本定理      121


4. 1.1   費馬(Fermat)引理   122


5. 1.2   羅爾定理   122


6. 1. 3拉格朗日中值定理   124


7. 1.4   柯西定理   127

習題 3-1      128

3. 2泰勒公式     129

習題 3-2      132

本章小結     133

自我檢測題 3    135

復習題 3     136

4   微分學應用    137

4. 1未定式求極限    137


5. 1. 1   型未定式    ……… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …  137


6. 1. 2   型未定式    ……… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …  140


7. 1.3   其他未定式   141

習題 4-1      144

4. 2函數的單調性和極值    145


5. 2.1函數的單調性   145


6. 2.2   函數的極值   147


7. 2.3最大值和最小值問題   150

習題 4-2      152

4. 3曲線的凹凸性和拐點   154

習題 4-3      158

4. 4函數圖形的描繪   158


5. 4.1曲線的漸近線   158


6. 4.2函數圖形的描繪   159

習題 4-4      161

4. 5曲率      162


5. 5.1   弧微分   162


6. 5. 2曲率的計算公式   163

   高等數學    上冊

4. 5.3   曲率圓   165

習題 4-5      166

* 4. 6   方程的近似解    167

4. 6.1   二分法   167


5. 6.2   切線法   168

*  習題 4-6      169

本章小結     170

自我檢測題 4    172

復習題 4     173

5   不定積分   174

5.1   不定積分     174

5.1.1   原函數    174

5.1.2   不定積分的概念    175

5.1.3   基本積分表    176

5.1.4   基本積分運算法則    178

習題 5-1      180

5.2   &nbs積分法   181

5.2.1   第 法(湊微分法)   181

5.2.2   法    185

習題 5-2      189

5. 3分部積分法     190

習題 5-3      194

5. 4有理函數的不定積分    195


6. 4.1有理函數的積分   195


7. 4.2三角函數有理式的積分   198


8. 4.3簡單無理函數的積分   200

習題 5-4      201

5. 5   積分表的使用  202

本章小結    204

自我檢測題 5    206

復習題 5     207

6   定積分   209

6. 1定積分的概念   209


7. 1.1   引例   209


8. 1. 2定積分的概念   211

習題 6-1      213

6. 2定積分的性質  213

目     錄    

習題 6-2      218

6. 3微積分基本定理  218


7. 3.1積分上限的函數及其導數   219


8. 6. 3.2   牛頓-萊布尼茨公式    220

習題 6-3      224

6. 4   定積法與分部積分法 225


7. 4.1定積法   225


8. 4.2   定積分的分部積分法 229

習題 6-4      231

6. 5   反常積分  232


7. 5.1   無窮限的反常積分   233


8. 5.2無界函數的反常積分   235

習題 6-5      237

* 6. 6   反常積分的審斂法    Γ函數    237

6. 6.1   無窮限反常積分的審斂法   238


7. 6. 2   無界函數的反常積分的審斂法 241


8. 6. 3Γ(Gamma)函數    242

*  習題 6-6      244

本章小結    245

自我檢測題 6    247

復習題 6     249

7   定積分的應用   251

7. 1定素法  251


8. 2定積分在幾何方面的應用   253


9. 2.1平面圖形的面積    253


10. 2.2   體積    257


11. 2.3平面曲線的弧長   259

習題 7-2      261

7. 3定積分在物理及其他方面的應用  262


8. 3.1變力沿直線所做的功   262


9. 3. 2液體的靜壓力   263


10. 3.3   引力   264


11. 3.4平均值和均方根   265

習題 7-3      266

本章小結    267

自我檢測題 7    269

復習題 7     269

   高等數學    上冊

8   無窮級數   271

8. 1   數項級數的概念與性質  271


9. 1.1   數項級數的概念   271


10. 1. 2數項級數的收斂與發散   272


11. 1. 3收斂級數的性質   275

* 8. 1. 4   級數收斂的柯西(Cauchy)準則   277

習題 8-1      278

8. 2正項級數及其審斂法    279


9. 2.1正項級數的基本性質   280


10. 2.2正項級數的比較審斂法   281


11. 2.3正項級數的比值審斂法   284


12. 2.4   正項級數的根值審斂法 287

* 8. 2. 5   正項級數的積分審斂法   289

習題 8-2      290

8. 3   任意項級數   291


9. 3.1   交錯級數與萊布尼茨審斂法 291


10. 3.2   任意項級數的絕對值審斂法 293


11. 3.3絕對收斂級數的性質   295

習題 8-3      297

8. 4冪級數     298


9. 4.1函數項級數   298


10. 4. 2冪級數與冪級數的收斂區間 299


11. 4. 3冪級數的代數性質與解析性質 304

習題 8-4      307

8. 5   函數展開為冪級數    冪級數的若干應用   308


9. 5.1   泰勒級數   308


10. 5.2   函數展開成冪級數的方法 310


11. 5. 3冪級數的若干應用   315


12. 5.4   歐拉公式   317

習題 8-5      318

* 8. 6   函數項級數的 一 致收斂性    319

8. 6.1   一致收斂的概念   319


9. 6. 2   函數項級數一致收斂的審斂法   322


10. 6. 3   一致收斂級數的解析性質 324


11. 6. 4冪級數的 一致收斂性   327

*  習題 8-6      329

8. 7   傅裡葉級數   329


9. 7.1   三角函數繫的正交性及三角級數 330

目     錄    

8. 7. 2函數的傅裡葉級數   331


9. 7. 3   傅裡葉級數的收斂性定理—狄利克雷(Dirichlet)充分條件     332


10. 7.4正弦級數與餘弦級數   337


11. 7.5   一般周期函數的傅裡葉級數 340

*  8. 7. 6   傅裡葉級數的復數形式    342

習題 8-7      344

本章小結    345

自我檢測題 8    348

復習題 8     348

參考文獻    350

附錄 1   二階和三階行列式簡介   352

附錄 2   基本初等函數的圖形及其主要性質   355

附錄 3   常用的三角公式   361

附錄 4   常用曲線和曲面   363

附錄 5   積分表   367

習題參考答案   376