歷史介紹

章  算術基本定理

  1.1  引言

  1.2  整除性

  1.3  公約數

  1.4  素數

  1.5  算術基本定理

  1.6  素數倒數的級數

  1.7  歐幾裡得算法

  1.8  兩個以上的數的公約數

  章習題

第二章  數論函數與迪利克雷乘積

  2.1  引言

  2.2  麥比烏斯函數μ(n)

  2.3  歐拉函數□(n)

  2.4  □與μ的相互關繫

  2.5  □(n)的一個乘積公式

  2.6  數論函數的迪利克雷乘積

  2.7  迪利克雷逆函數與麥比烏斯反轉公式

  2.8  Mangoldt函數□(n)

  2.9  積性函數

  2.10  積性函數與迪利克雷乘積

  2.11  完全積性函數的逆函數／

  2.12  柳維爾函數A(n)

  2.13  除數函數σα(n)

  2.14  廣義卷積

  2.15  形式冪級數

  2.16  數論函數的Bell級數

  2.17  Bell級數與迪利克雷乘積

  2.18  數論函數的導數

  2.19  塞爾伯格等式

  第二章習題

第三章  數論函數的平均值

  3.1  引言

  3.2  大0符號，函數的漸近等式

  3.3  歐拉求和公式

  3.4  幾個基本漸近公式

  3.5  d(n)的平均階

  3.6  除數函數σα(n)的平均階

  3.7  □(n)的平均階

  3.8  對於由原點可見的格點分布的應用

  3.9  μ(n)與□(n)的平均階

  3.10  迪利克雷乘積的部分和

  3.11  對μ(n)與□(n)的應用

  3.12  迪利克雷乘積的部分和的另一個等式

  第三章習題

第四章  素數分布的幾個基本定理

  4.1  引言

  4.2  切比雪夫函數ψ(z)與g(x)

  4.3  聯繫g(x)與π(x)的關繫式

  4.4  素數定理的幾個等價形式

  4.5  π(n)與pn的一些不等式

  4.6  Shapiro Tauberian定理

  4.7  Shapiro定理的應用

  4.8  部分和□的一個漸近公式

  4.9  麥比烏斯函數的部分和

  4.10  素數定理初等證明的簡短概要

  4.11  塞爾伯格漸近公式

  第四章習題

第五章  同餘

  5.1  同餘的定義與基本性質

  5.2  剩餘類與完全剩餘繫

  5.3  一次同餘式

  5.4  簡化剩餘繫與歐拉一費馬定理

  5.5  模p的多項式同餘式，拉格朗日定理

  5.6  拉格朗日定理的應用

  5.7  一次同餘式組，中國剩餘定理

  5.8  中國剩餘定理的應用

  5.9  模是素數方冪的多項式同餘式

  5.10  交叉分類原理

  5.11  簡化剩餘繫的分解性

  第五章習題

第六章  有限Abel群及其特征

  6.1  定義

  6.2  群和子群的例子

  6.3  群的基本性質

  6.4  子群的結構

  6.5  有限Abel群的特征

  6.6  特征群

  6.7  特征的正交關繫式

  6.8  迪利克雷特征

  6.9  含有迪利克雷特征的和

  6.10  對於實的非主特征x，L(1，x)不等於零

  第六章習題

第七章  算術級數裡素數的迪利克雷定理

  7.1  引言

  7.2  形如4n-1和4n+1的素數的迪利克雷定理

  7.3  迪利克雷定理的證明方案

  7.4  引理7.4的證明

  7.5  引理7.5的證明

  7.6  引理7.6的證明

  7.7  引理7.8的證明

  7.8  引理7.7的證明

  7.9  算術級數裡素數的分布

  第七章習題

第八章  周期數論函數與高斯和

  8.1  模後的周期函數

  8.2  周期數論函數的有限傅立葉級數的存在性

  8.3  拉馬努然和及其推廣

  8.4  和Sk(n)的乘法性質

  8.5  與迪利克雷特征相伴的高斯和

  8.6  具有非零高斯和的迪利克雷特征

  8.7  誘導模與本原特征

  8.8  誘導模的進一步的性質

  8.9  特征的前導子

  8.10  本原特征與可分的高斯和

  8.11  迪利克雷特征的有限傅立葉級數

  8.12  本原特征部分和波利亞不等式

  第八章習題

第九章  二次剩餘與二次互反律

  9.1  二次剩餘

  9.2  勒讓德符號及其性質

  9.3  (-1/p)與(2/p)的值

  9.4  高斯引理

  9.5  二次互反律

  9.6  互反律的應用

  9.7  雅可比符號

  9.8  對丟番圖方程的應用

  9.9  高斯和與二次互反律

  9.10  二次高斯和的互反律

  9.11  二次互反律的另一個證明

  第九章習題

第十章  原根

  10.1  數的次數mod m，原根

  10.2  原根與簡化剩餘繫

  10.3  對α≥3，模2α的原根不存在

  10.4  對奇素數p，模p的原根存在

  10.5  原根與二次剩餘

  10.6  模pα的原根存在

  10.7  模2pα的原根存在／

  10.8  其他情況下原根不存在

  10.9  模m的原根的個數

  10.10  指數的計算

  10.11  原根與迪利克雷特征

  10.12  模Pa的實值迪利克雷特征

  10.13  模Pa的本原迪利克雷特征

  第十章習題

第十一章  迪利克雷級數與歐拉乘積

  11.1  引言

  11.2  迪利克雷級數收斂的半平面

  11.3  由迪利克雷級數定義的函數

  11.4  迪利克雷級數的乘積

  11.5  歐拉乘積

  11.6  迪利克雷級數收斂的半平面

  11.7  迪利克雷級數的解析性質

  11.8  具有非負繫數的迪利克雷級數

  11.9  迪利克雷級數表示為迪利克雷級數的指數

  11.10  迪利克雷級數的平均值公式

  11.11  迪利克雷級數繫數的一個積分公式

  11.12  迪利克雷級數部分和的一個積分公式

  第十一章習題

第十二章  函數ζ(s)和L(s，y)

  12.1  引言

  12.2  Gamma函數的性質

  12.3  胡爾維茨zeta函數的積分表示

  12.4  胡爾維茨zeta函數的圍道積分表示

  12.5  胡爾維茨zeta函數的解析開拓

  12.6  ζ(s)與L(s，y)的解析開拓

  12.7  ζ(s，a)的胡爾維茨公式

  12.8  黎曼zeta函數的函數方程

  12.9  胡爾維茨zeta函數的函數方程

  12.10  L-函數的函數方程

  12.11  求ζ(-n，a)的值

  12.12  伯努利數與伯努利多項式的性質

  12.13  L(0，x)的公式

  12.14  用有限和逼近ζ(s，a)

  12.15  |ζ(s，a)|的不等式

  12.16  |ζ(s)|與|L(s，y)|的不等式

  第十二章習題

第十三章  素數定理的解析證明

  13.1  證明的方案

  13.2  引理

  13.3  ψ1(x)/x2的圍道積分表示

  13.4  直線σ=1附近|ζ(s)|與|ζ'(s)|的上界

  13.5  在直線σ=1上ζ(s)不為零

  13.6  |1/ζ(s)|與|ζ(s)/ζ'(s)|的不等式

  13.7  素數定理證明的完成

  13.8  ζ(s)的無零點區域

  13.9  黎曼假設

  13.10  對除數函數的應用

  13.11  對歐拉函數的應用

  13.12  特征和的波利亞不等式的推廣

  第十三章習題

第十四章  分拆

  14.1  引言

  14.2  分拆的幾何表示

  14.3  分拆的生成函數

  14.4  歐拉五邊形數定理

  14.5  歐拉五邊形數定理的組合證明

  14.6  p(n)的歐拉遞推公式

  14.7  p(n)的上界

  14.8  雅可比三重積等式

  14.9  雅可比等式的推論

  14.10  生成函數的對數微分

  14.11  拉馬努然的分拆等式

  第十四章習題

附錄  “哥德巴赫猜想"研究綜覽

特殊符號索引

編輯手記