譯者序
前言
第1章實數繫與復數繫1
1.1引言1
1.2域公理1
1.3序公理2
1.4實數的幾何表示2
1.5區間3
1.6整數3
1.7整數的因數分解定理4
1.8有理數5
1.9無理數5
1.10和小上界(上確界)6
1.11完全公理7
1.12上確界的某些性質7
1.13從完全公理推演出的整數性質8
1.14實數繫的阿基米德性質8
1.15能用有限小數表示的有理數9
1.16用有限小數逼近實數9
1.17用無限小數表示實數10
1.18值與三角不等式10
1.19柯西施瓦茨不等式11
1.20正負無窮和擴充的實數繫R*11
1.21復數12
1.22復數的幾何表示14
1.23虛數單位14
1.24復數的值15
1.25復數排序的不可能性15
1.26復指數15
1.27復指數的進一步性質16
1.28復數的輻角17
1.29復數的整數冪和方根17
1.30復對數18
1.31復冪19
1.32復正弦和復餘弦19
1.33無窮遠點與擴充的復平面C*20
練習20
參考文獻25
第2章集合論的一些基本概念26
2.1引言26
2.2記號26
2.3序偶27
2.4兩個集合的笛卡兒積27
2.5關繫與函數27
2.6關於函數的進一步的術語28
2.71-1函數及其反函數29
2.8復合函數30
2.9序列30
2.10相似(對等)集合31
2.11有限集與無限集31
2.12可數集與不可數集31
2.13實數繫的不可數性32
2.14集合代數33
2.15可數集的可數族34
練習35
參考文獻37
第3章點集拓撲初步38
3.1引言38
3.2歐氏空間Rn38
3.3Rn中的開球與開集39
3.4R1中開集的結構41
3.5閉集42
3.6附貼點與聚點42
3.7閉集與附貼點43
3.8波爾查諾魏爾斯特拉斯定理43
3.9康托爾交定理44
3.10林德勒夫覆蓋定理45
3.11海涅博雷爾覆蓋定理46
3.12Rn中的緊性47
3.13度量空間48
3.14度量空間中的點集拓撲49
3.15度量空間的緊子集51
3.16集合的邊界52
練習52
參考文獻55
第4章極限與連續性56
4.1引言56
4.2度量空間中的收斂序列56
4.3柯西序列58
4.4完備度量空間59
4.5函數的極限59
4.6復值函數的極限61
4.7向量值函數的極限61
4.8連續函數62
4.9復合函數的連續性63
4.10連續復值函數和連續向量值函數64
4.11連續函數的例子64
4.12連續性與開集或閉集的逆像65
4.13緊集上的連續函數66
4.14拓撲映射（同胚）67
4.15波爾查諾定理68
4.16連通性68
4.17度量空間的分支70
4.18弧連通性70
4.19一致連續性72
4.20一致連續性與緊集73
4.21壓縮的不動點定理74
4.22實值函數的間斷點74
4.23單調函數76
練習77
參考文獻83
第5章導數84
5.1引言84
5.2導數的定義84
5.3導數與連續性84
5.4導數代數85
5.5鏈式法則86
5.6單側導數和無窮導數86
5.7具有非零導數的函數87
5.8零導數與局部極值87
5.9羅爾定理88
5.10微分中值定理88
5.11導函數的介值定理90
5.12帶餘項的泰勒公式90
5.13向量值函數的導數92
5.14偏導數92
5.15復變函數的微分93
5.16柯西黎曼方程94
練習97
參考文獻101
第6章有界變差函數與可求長曲線102
6.1引言102
6.2單調函數的性質102
6.3有界變差函數102
6.4全變差104
6.5全變差的可加性105
6.6在［a，x］上作為x的函數的全變差105
6.7有界變差函數表示為遞增函數之差106
6.8有界變差連續函數106
6.9曲線與路107
6.10可求長的路與弧長107
6.11弧長的可加性及連續性性質109
6.12路的等價性與參數變換109
練習110
參考文獻112
第7章黎曼斯蒂爾切斯積分113
7.1引言113
7.2記號114
7.3黎曼斯蒂爾切斯積分的定義114
7.4線性性質115
7.5分部積分法116
7.6黎曼斯蒂爾切斯積分中的變量替換117
7.7化為黎曼積分118
7.8階梯函數作為積分函數11

從目錄可以看出，本書是在“高等微積分”的水平上闡述數學分析中的論題．編寫本書的目的在於展現這門學科，所以要求敘述忠實於原貌、精確嚴密，包含新進展，同時又不過於學究氣．本書提供了從初等微積分向實變函數論及復變函數論等高等課程的一種過渡，並介紹了一些涉及現代分析的抽像理論．
與第1版相比，第2版的主要更新表現在以下方面：在考慮一般的度量空間以及n維歐氏空間時介紹點集拓撲；增加了關於勒貝格積分的兩章；刪去了曲線積分、向量分析和曲面積分的內容；重排了某些章的順序；完全重寫了很多節；增加了若干新的練習．
勒貝格積分由Riesz-Nagy方法引入，此方法直接著眼於函數及其積分，而不依賴於測度論．為了適應大學本科水平的教學，在介紹勒貝格積分時，進行了簡化、延伸和調整．
本書第1版曾被用於從本科一年級到研究生一年級各種水平的數學課程，既用作教科書，又用作補充參考書．第2版保持了這種靈活性．例如，第1章至第5章及第12章和第13章可用於單變量或多變量函數的微分學課程，第6章至第11章及第14章和第15章可用於積分學的課程．也可以按其他方式進行多種組合，教師則可以參考下一頁的圖示根據自己的需要選擇適當的章節，圖中顯示了各章之間的邏輯依賴關繫．
我要向不厭其煩地就第1版寫信給我的許多人表示感謝，他們的評論和建議有助於我進行修訂．特別要感謝Charalambos Aliprantis博士，他細心地閱讀了第2版的全部手稿並提出了許多有益的建議，還提供了某些新的練習．後，向加州理工學院的學生們表示由衷的感謝，是他們對數學的熱情激發了我編著此書的原動力．

T.M.A.
1973年9月於帕薩迪納