J.Poincaré?在 1908 年的 Science and method 中指出: “The true method of foreseeing the future of mathematics is to study its history and its actual state” (若要預見數學的未來, 適當的途徑就是研究這門科學的歷史和現狀). Sir Dampier-曾經說過: “再沒有什麼故事能比科學思想發展的故事更有魅 力了.” 陳省身?也指出: “了解歷史的變化是了解這門科學的一個步驟.” H. Weylˉ也說過: “如果不去追溯自古希臘以來各個時代所發現與發展起來的概 念、方法和結果, 我們就不能理解前 50 年數學的目標, 也不能理解它的成就.” 本書從講述微分方程和控制理論的歷史開始, 感受學習樂趣, 樹立科學 精神.
長久以來, 人們一直利用反饋來控制繫統. 早的反饋繫統出前 330 年的古希臘, 這種繫統運用在一種改進的浮球控制器裝置上. Ktesibios?的 水鐘就運用了浮球控制器的原理, 這項發明至今仍在使用. 李約瑟-在 Science and civilisation in China (中國科學技術史) 中稱其為 “中國古代偉大的科 學家之一”. 大前 250 年, 為了使燃油在油泵中能保持恆定的液位, Philon?在一種油泵裝置中采用了浮球控制器. Heronˉ的 “Pneumatica” 中有 很多應用浮球控制器的例子. 在我國古代, 人們就憑借著對反饋概念的樸素認識, 發明了許多閃耀著控 制理論智慧火花的傑作, 有了自動控制技術的萌芽. 兩千多年前我國發明的指南針就是一種開環自動調節繫統; 蘇頌和韓公廉利用天衡裝置制造的水運 儀像臺, 就是按負反饋原理構成的一個閉環非線性自動控制繫統. 
微分方程是伴隨著微積分學一起發展起來的學科. 1614 年, SirNapier2創 立對數時討論過微分方程的近似解. da Vinci3的餓狼撲兔問題涉及了微分 方程的思想. Sir Newton′和 von Leibnizμ在創建微積分時都處理過與微分 方程有關的問題. 例如, Sir Newton 就給出了級數展開法和待定繫數法, 在 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 中主要研究了在天文學中的應用. 1842 年, Baron de Cauchy?完善了待定繫數法, 給出 “行列式” 術語. Sir Newton 在研究天體力學和機械動力學時發現了行星運動規律. le Verrier-和 J. Adams?分別計算出那時尚未發現的海王星的位置. 這使人們深信微分方程 的巨大力量. 17 世紀末對單擺運動、彈性理論和天體力學等實際問題的研究引出了 一繫列微分方程. 1690 年, Jacob Bernoulliˉ提出了 “等周問題” “懸鏈線問 題” 以及 “正交軌線問題”, 他本人解決了 “等周問題”. 1691 年, von Leibniz, C. Huygens° 和 Johann Bernoulli±獨立地解決了 “懸鏈線問題”. 1716 年, Sir Newton解決了“正交軌線問題”; 進一步的工作是Nicolaus(II)Bernoulli2解決 的; J. Hermann3於 1717 年給出了一般規則. 還是在 1691 年, Jacob Bernoulli 在研究船帆在風力下的形狀問題, 即 “模蓋問題” 時, 得到了一個二階方程; Johann Bernoulli 處理了這個方程, 並指出 “模蓋問題” 與 “懸鏈線問題” 問題 在數學上是相同的. 1693 年, C. Huygens 明確說到了微分方程, 他還設計了單 擺時鐘, 研究了速度控制問題, 這是控制理論的近代發端. 那時, 航海對科技有 著強烈的推動作用, 提出了準確時鐘的需求. 有了微分方程, 就要求解, 並對結果進行物理解釋, 從而預測物理過程的特 定性質, 所以求解就成為核心問題. 但求解困難很大, 一個看似簡單的微分方 程也沒有普遍適用的方法使人們在所有的情況下得出它的解. 因此, 人們起初 還隻是采用特殊的技巧來解決特殊的方程, 然後纔逐漸開始尋找帶有普遍性的 方法.
從 20 世紀 50 年代開始, 控制理論的一般方法已經開始形成, 並且已可處 理時變繫統和非線性繫統了. 1954 年, 錢學森?對 N. Wiener 的控制理論在工 程繫統中的應用進行了總結. 1956 年, L.Pontryagin 發表了《過程數學理 論》-, 於 1961 年證明並發表了值原理. 1957 年, R. Bellman?提出了離 散多階段決策的性原理, 創立了動態規劃方法, “Dynamic Programming” 奠基了控制理論. 值原理和動態規劃方法為解決控制問題提供 了理論工具. 1960 年, R. Kálmánˉ發表了 On the general theory of control systems 等文章, 引入了狀態空間分析繫統, 提出可控性、可觀性、調節器、 Kálmán 濾波和線性繫統在二次型性能指標下的控制問題等概念, 奠基了 現代控制理論. 1964 年, E. Jury°提出了 Z 變換方法, 奠基數字控制及數字信 號處理理論. 這一時期發展起來的現代控制理論是以引入狀態變量和狀態空間 來描寫繫統為標志的, 即 輸入 u ∈ U =? 狀態 x ∈ X =? 輸出 y ∈ Y 在讀者已有微積分、矩陣理論和泛函分析基本知識的基礎上, 從深度和廣 度兩個方面深入討論穩定性和繫統控制的基礎理論. 本書試圖做到深入淺出和 通俗易懂, 能對數學類和控制類的高年級學生和研究生都有用, 既注意到其思 想性和邏輯性, 又注意到其直觀性和通俗性. 全書內容共 10 章, 大體上可分為五個部分. 部分是第 1 章的內容, 是本書需要用到的預備知識, 是非常重要的 基礎知識. 這一部分主要是集和映射的基本知識, 包括集和映射、基數、半 序與格、群環域 ?; 線性空間的基本知識, 包括度量空間、開集與閉集、極 限與連續性、線性空間和子空間、線性映射與矩陣、壓縮映像原理、不變子 空間 ?、內積空間、對偶空間和伴隨算子等; 矩陣理論中的一些基本定理, 包括 矩陣函數對矩陣變量的導數、Jacobi 分解、Hamilton±-Cayley2定理和小多項式、矩陣指數與對數函數、Rayleigh?商等; 後還簡單介紹了 Laplace 變 換、Gr?nwall--Bellman 不等式、平面二次繫統、積分方程的基本知識和狀態 變量圖的基本表示方式. 有些內容很重要但不方便展開處理, 就簡單羅列了一 下, 讀者需要進一步了解時, 可以找一些專門的書來讀; 有些內容很重要又不是 很難, 就簡要進行了處理. 下面的思路是這樣的, 先由實際問題引出非線性繫統, 然後在數學上先研 究零輸入的非線性繫統, 這就是第二部分的內容, 包括第 2 章和第 3 章. 其中, 第 2 章先通過幾個引例給出非線性繫統和控制繫統的一般描述, 再繫統地介紹 非線性繫統解的一般理論, 如解的存在惟一性與存在性、解的延拓和解對初值 和輸入的連續依賴性與可微性等, 還包括微分和積分不等式與 Chaplygin?比 較定理. 第 3 章繫統地介紹 Lyapunov 穩定性的理論基礎, 包括 Lyapunov 函 數、Diniˉ導數、Lie°導數 ? 概念和 Lyapunov 穩定性的基本理論. 為了研究非線性繫統, 可利用 Taylor±公式將其進行線性化, 進而研究線 性繫統的性質, 這就是第三部分的內容, 包括第 4 章 ～ 第 6 章, 是線性繫統的 一般理論. 其中, 第 4 章先給出了非線性繫統的線性化, 再研究時變線性繫統 和周期線性繫統的基本理論, 包括時變線性繫統和周期線性繫統解的基本理論 和穩定性, 以及可控性與可觀性的基本概念等; 第 5 章比較詳細地介紹時不變 線性繫統的基礎理論及其在控制理論中的應用, 包括時不變線性繫統解的基本 理論和可控性與可觀性的基本概念等, 關於可控性包括可控性與可控子空間、 可控性分解、可控標準形、可控性指數和輸出可控性等, 關於可觀性包括可觀 性與對偶原理、不可觀子空間、可觀性分解、可觀標準形和可觀性指數等, 還 介紹了可控性與可觀性在穩定性上的應用、線性繫統的傳遞函數與傳遞矩陣 和線性繫統的實現等; 第 6 章介紹矩陣線性繫統的基本理論和進一步的控制理 論, 包括 Lyapunov 矩陣方程、時不變線性繫統的可穩性與與極點配置、輸出 反饋與極點配置和可檢性等, 介紹了狀態觀測器與狀態反饋控制器的基本理論和擾動繫統的穩定性與反饋鎮定, 還介紹了線性繫統的控制和變結構控制 的基本理論. 將繫統進行時間離散化, 或者離散類似, 或者直接從實際問題中提出離散 繫統, 就可研究離散繫統的穩定性和控制等, 這就是第四部分的內容, 即第 7 章的內容, 介紹離散繫統的引入和連續時間繫統的時間離散化, 雖然有些內 容是連續時間繫統的離散類似, 但也有些內容並非是簡單的離散類似, 甚至 有完全不同的結果, 仍然進行了細致處理, 並且盡可能在證明的細節上體現方 法的不同, 並省略與連續情形類似的證法, 其中, 舉例性地介紹了離散繫統的 Lyapunov 穩定性理論; 還介紹了時變和時不變離散線性繫統解的基本理論和 穩定性, 舉例性地介紹了可控性與可觀性的基本概念等, 重點是時間離散化線 性繫統可控性與可觀性的保持; 後介紹了與連續情形有符號差別的控制 的基本理論. 如果繫統中導數是分數階的, 如果