了得網研究生_微積分學習指導(上冊)

編輯推薦

與教材配套的微積分輔導用書

內容簡介

本學習指導是與我們編寫的教材《微積分》配套輔導用書.書中按教材章節順序編排，與教材保持一致.全書共5章，每章又分4個板塊，即大綱要求與重點內容、內容精要、題型總結與典型例題、課後習題解答，以起到同步輔導的作用，幫助學生克服學習中遇到的困難.

第1章函數、極限和連續1
1.1大綱要求及重點內容1
1.2內容精要2
1.3題型總結與典型例題8
1.4課後習題解答33
第2章導數與微分63
2.1大綱要求及重點內容63
2.2內容精要63
2.3題型總結與典型例題66
2.4課後習題解答80
第3章微分中值定理與導數的應用99
3.1大綱要求及重點內容99
3.2內容精要99
3.3題型總結與典型例題103第1章函數、極限和連續1
1.1大綱要求及重點內容1
1.2內容精要2
1.3題型總結與典型例題8
1.4課後習題解答33
第2章導數與微分63
2.1大綱要求及重點內容63
2.2內容精要63
2.3題型總結與典型例題66
2.4課後習題解答80
第3章微分中值定理與導數的應用99
3.1大綱要求及重點內容99
3.2內容精要99
3.3題型總結與典型例題103
3.4課後習題解答129
第4章不定積分157
4.1大綱要求及重點內容157
4.2內容精要157
4.3題型總結與典型例題159
4.4課後習題解答169
第5章定積分及其應用189
5.1大綱要求及重點內容189
5.2內容精要189
5.3題型總結與典型例題191
5.4課後習題解答203
目錄目錄

前言

微積分是高等院校的重要基礎課之一，它不僅是後續課程學習及在各個學科領域中進行研究的必要基礎，而且對學生綜合能力的培養起著重要的作用，同時更是考研數學試題的重要組成部分.為更好地指導學生學好這門課程，加深學生對所學內容的理解和掌握，提高其綜合運用知識解決問題的能力，我們組織編寫此書. 本書按教材章節順序編排，與教材保持一致.全書共5章，每章又分4個板塊，即大綱要求及重點內容、內容精要、題型總結與典型例題、課後習題解答，對現行教材逐章逐節同步輔導. 各板塊具有以下特點：
1. 大綱要求及重點內容部分列出了國家教學大綱對本章內容的基本要求，幫助同學們明確本章應該掌握的數學概念及相關知識.
2. 內容精要部分對每章的內容都給出了簡明的摘要，用以幫助讀者理解和記憶本書中的主要概念、結論和方法，對本章有一個全局性的認識和把握.
3. 題型總結與典型例題部分，選取了近幾年的考研題和競賽題作為例題，並進行了詳細的解答.每種題型的解法都具有代表性.讀者可以通過典型例題既對這部分知識消化理解，掌握了常見的解題方法與技巧，又擴充了知識面，同時也做到舉一反三，觸類旁通.
4. 課後習題解答部分，是對《微積分》一書的課後習題的詳細解答，用以幫助讀者在完成課後習題遇到困難時參考、查閱.對於課後習題，希望讀者在學習過程中，先獨立思考，自己動手解題，然後再對照檢查，不要依賴於解答.微積分是高等院校的重要基礎課之一，它不僅是後續課程學習及在各個學科領域中進行研究的必要基礎，而且對學生綜合能力的培養起著重要的作用，同時更是考研數學試題的重要組成部分.為更好地指導學生學好這門課程，加深學生對所學內容的理解和掌握，提高其綜合運用知識解決問題的能力，我們組織編寫此書. 本書按教材章節順序編排，與教材保持一致.全書共5章，每章又分4個板塊，即大綱要求及重點內容、內容精要、題型總結與典型例題、課後習題解答，對現行教材逐章逐節同步輔導. 各板塊具有以下特點：
1. 大綱要求及重點內容部分列出了國家教學大綱對本章內容的基本要求，幫助同學們明確本章應該掌握的數學概念及相關知識.
2. 內容精要部分對每章的內容都給出了簡明的摘要，用以幫助讀者理解和記憶本書中的主要概念、結論和方法，對本章有一個全局性的認識和把握.
3. 題型總結與典型例題部分，選取了近幾年的考研題和競賽題作為例題，並進行了詳細的解答.每種題型的解法都具有代表性.讀者可以通過典型例題既對這部分知識消化理解，掌握了常見的解題方法與技巧，又擴充了知識面，同時也做到舉一反三，觸類旁通.
4. 課後習題解答部分，是對《微積分》一書的課後習題的詳細解答，用以幫助讀者在完成課後習題遇到困難時參考、查閱.對於課後習題，希望讀者在學習過程中，先獨立思考，自己動手解題，然後再對照檢查，不要依賴於解答.
本書既是大學本科學生學習微積分有益的參考用書，又是有志考研同學的良師益友,相信通過對本書的繫統閱讀,會對學好微積分有很大幫助.
本書由大連民族大學理學院組織編寫，由王金芝、齊淑華主編,參加編寫的有劉強、張譽鐸、李嬌.理學院領導和同事們對本書的編寫提出了寶貴的意見和建議，在此表示感謝.
由於作者水平有限，難免有疏漏、不足或錯誤之處，敬請同行和廣大讀者指正.

編者2018年6月

在線試讀

第3章

微分中值定理與導數的應用

3.1大綱要求及重點內容1. 大綱要求(1) 理解羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，會運用中值定理證明一些等式和不等式．
(2) 掌握函數單調性的判別方法，會求函數的單調區間，會利用單調性證明一些不等式．
(3) 熟練掌握求函數極值的方法，會求函數在閉區間上的值和小值，會解簡單的值、小值的應用題．
(4) 會求曲線的凹凸區間和拐點，會求曲線的漸近線，能正確地做出某些函數的圖形草圖．
(5) 了解泰勒公式、泰勒定理、麥克勞林公式及其拉格朗日型餘項，能寫出某些初等函數的麥克勞林展開式．
(6) 熟練掌握洛必達法則，會求各類“未定式”的極限．
2. 重點內容
(1) 用中值定理討論方程在給定區間內的根的情況、證明等式；
(2) 用中值定理和單調性證明不等式；
(3) 用洛必達法則求未定式的極限；
(4) 函數的極值、單調性、凹凸性、拐點及漸近線的求法；
(5) 函數的值和小值以及求實際問題的值或小值.第3章

微分中值定理與導數的應用

3.1大綱要求及重點內容1. 大綱要求(1) 理解羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，會運用中值定理證明一些等式和不等式．
(2) 掌握函數單調性的判別方法，會求函數的單調區間，會利用單調性證明一些不等式．
(3) 熟練掌握求函數極值的方法，會求函數在閉區間上的值和小值，會解簡單的值、小值的應用題．
(4) 會求曲線的凹凸區間和拐點，會求曲線的漸近線，能正確地做出某些函數的圖形草圖．
(5) 了解泰勒公式、泰勒定理、麥克勞林公式及其拉格朗日型餘項，能寫出某些初等函數的麥克勞林展開式．
(6) 熟練掌握洛必達法則，會求各類“未定式”的極限．
2. 重點內容
(1) 用中值定理討論方程在給定區間內的根的情況、證明等式；
(2) 用中值定理和單調性證明不等式；
(3) 用洛必達法則求未定式的極限；
(4) 函數的極值、單調性、凹凸性、拐點及漸近線的求法；
(5) 函數的值和小值以及求實際問題的值或小值.
3.2內容精要1. 中值定理與泰勒公式定理1（費爾馬定理）若函數f(x)滿足條件：
(1) f(x)在點x0的某鄰域有定義，並且在某鄰域內恆有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)；第3章微分中值定理與導數的應用3.2內容精要(2) f(x)在x0處可導.
則有f′(x0)=0.
定理2（羅爾定理）設函數f(x)滿足條件：
（1）在\\[a,b\\]上連續；
（2）在(a,b)內可導；
（3） f(a)=f(b).
則在(a,b)內至少存在一點ξ使f′(ξ)=0.
定理3（拉格朗日中值定理）設函數f(x)滿足條件：
（1）在\\[a,b\\]上連續；
（2）在(a,b)內可導.
則在(a,b)內至少存在一點ξ使f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a).
注意（1）在需要建立f(x)與其導數f′(x)聯繫時，應考慮使用拉格朗日中值定理.
（2）在證明不等式時，應判斷是否使用拉格朗日中值定理.
定理4（柯西定理）設函數f(x)，g(x)滿足條件：
（1）在\\[a,b\\]上連續；
（2）在(a,b)內均可導;且g′(x)≠0.
則在(a,b)內至少存在一點ξ使f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f′(ξ)g′(ξ).
定理5(泰勒公式)設函數f(x)在點x0處的某鄰域內具有n 1階導數，則對該鄰域內異於x0的任意點x，在x0與x之間至少存在一個ξ，使得f(x)=f(x0) f′(x0)(x－x0) f″(x0)2!(x－x0)2 … f(n)(x0)n!(x－x0)n Rn(x),其中Rn(x)=fn 1(ξ)(n 1)!(x-x0)n 1稱為拉格朗日型餘項, Rn(x)=ο((x－x0)n)稱為佩亞諾型餘項.
(麥克勞林公式)當x0=0時，有f(x)=f(0) f′(0)x f″(0)2!x2 … f(n)(0)n!xn f(n 1)(ξ)(n 1)!xn 1（ξ在0與x之間），
f(x)=f(0) f′(0)x f″(0)2!x2 … f(n)(0)n!xn ο(xn).常用的五種函數的麥克勞林公式,如ex,sinx,cosx,ln(1 x),(1 x)m的展開式如下： ex=1 x x22! … xnn! eθx(n 1)!xn 1,θ∈(0,1),
sinx=x-x33! x55!-… (-1)nx2n 1(2n 1)! o(x2n 2),
cosx=1-x22! x44!-x66! … (-1)nx2n(2n)! o(x2n),
ln(1 x)=x-x22 x33-… (-1)nxn 1n 1 o(xn 1),
11-x=1 x x2 … xn o(xn),
(1 x)α=1 αx α(α-1)2!x2 … α(α-1)…(α-n 1)n!xn o(xn).2函數微分的應用
(1）函數的單調性
① 定義x1,x2∈(a,b),且當x1f(x2)）,則函數f(x)在(a,b)內單調增加（或單調減少）.
② 判別方法x∈(a,b)，都有f′(x)>0（或f′(x)<0)，則函數f(x)在(a,b)內單調增加（或單調減少）.
③ 用函數的單調性可以證明不等式.
(2）極值與值
① 極值的定義函數f(x)在x0的某一鄰域內異於x0的任意一點，若恆有f(x)>f(x0)(f(x)② 駐點若f′(x0)=0,則x0為函數f(x)的駐點.
③ 定理1（極值存在的必要條件）設函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，則f′(x0)=0.
④ 定理2（極值存在的充分條件）設函數f(x)在x0的某一鄰域內可導，且f′(x0)=0（或f(x)在x0處連續，但f′(x0)不存在），若設函數f(x)在x0的某一鄰域內，若：
Ⅰ f′(x)在x0的附近左正右負，則f(x0)為極大值;
Ⅱ f′(x)在x0的附近左負右正，則f(x0)為極小值;
Ⅲ f′(x)在x0的附近不變號，則f(x0)不是極值.
⑤ 定理3（極值存在的第二充分條件）設函數f(x)在x0處有f″(x0)≠0且f′(x0)=0,則：
Ⅰ 當f″(x0)<0時，f(x0)為極大值;
Ⅱ 當f″(x0)>0時，f(x0)為極小值;
Ⅲ 當f″(x0)=0時，無法判斷.
推論設函數f(x)在x0處具有二階以上的n階導數，且f′(x0)=f″(x0)=…=f(n－1)(x0)=0，f(n)(x0)≠0,則:
Ⅰ n為偶數且f(n)(x0)<0，則f(x)在x0處取得極大值；
Ⅱ n為偶數且f(n)(x0)>0，則f(x)在x0處取得極小值；
Ⅲ n為偶數且f(n)(x0)=0，無法判斷；
Ⅳ n為奇數時，f(x)在x0處無極值.
⑥ 值
若f(x)為定義在\\[a,b\\]上的連續函數，則在\\[a,b\\]函數值的為值，小的為小值.這時，求值的求法步驟為：
Ⅰ 求f′(x)，求出駐點和使f′(x)不存在的點；
Ⅱ 計算出（Ⅰ）中所得到的各點的函數值及f(a),f(b)；
Ⅲ 比較以上各函數值的大小，者為值，小者為小值.
若f(x)為定義在\\[a,b\\]上有的極值點，則這個極值點為值點.
應用問題的值：
Ⅰ 建立目標函數（根據實際問題）;
Ⅱ 求目標函數的值.
(3）函數的凹凸和拐點
① 函數的凹凸定義：設x1,x2∈I，恆有fx1 x22>f(x1) f(x2)2fx1 x22② 凹凸性的判斷: 設x∈I，若f″(x)<0（或f″(x)>0）,則f(x)在I上是上凸的（下凸）.
③ 拐點：函數f(x)的圖形上上凸弧和下凸弧的分界點稱為圖形的拐點.
④ 拐點的求法: 若在x0處f″(x0)=0（或f″(x0)不存在），當x變動經過x0時，f″(x)變號，則(x0,f(x0))為拐點；否則不是拐點.
(4）漸近線
① 水平漸近線：若limx→ ∞f(x)=b或limx→-∞f(x)=b,則稱y=b為曲線y=f(x)的水平漸近線.
② 鉛直漸近線：若limx→x-0f(x)=∞或limx→x 0f(x)=∞,則稱x=x0為曲線y=f(x)的鉛直漸近線.
③ 斜漸近線：若a=limx→∞f(x)x，b=limx→∞\\[f(x)-ax\\],則稱y=ax b為曲線y=f(x)的斜漸近線.
(5）邊際與彈性
① 邊際
   設函數y=f(x)可導，稱導數f′(x)為f(x)的邊際函數，f′(x)在x0處的函數值f′(x0)為f(x)在x0處的邊際函數值，即當x=x0時，若x改變一個單位，則y改變f′(x0)個單位.
   在經濟學中，邊際成本定義為產量增加一個單位時所增加的總成本，邊際收益定義為多銷售一個單位產品時增加的銷售總收入,等等.
C(x)表示產量為x單位時的總成本，R(x)表示銷售x單位產品時的總收益，C′(x)和R′(x)表示邊際成本和邊際收益，則
總利潤函數L(x)=R(x)－C(x)，邊際利潤L′(x)=R′(x)－C′(x).
② 彈性
     彈性用於定量描述一個經濟變量對另一個經濟變量變化的反應程度，即當一個經濟變量變動百分之一時另一個經濟變量變動百分之幾.設x和y是兩個變量，y對x的彈性記為EyEx，當y=y(x)可導時，其計算公式為EyEx=xy·dydx.
      設某商品的需求量為Q，價格為P，需求函數Q=Q(P)可導，則該商品需求對價格的彈性（需求彈性）為EQEP=PQ·dQdP.由於需求函數Q=Q(P)一般是單調減少的，因而需求對價格的彈性常為負值.
      收益對價格的彈性為EREP=PQ·dRdP.因為R=PQ，於是有EREP=1Q·dPQdP=1QQ PdQdP=1 EQEP.3.3題型總結與典型例題1. 中值定理3.3題型總結與典型例題題型31欲證結論：在(a,b)內至少存在一點ξ使f(n)(ξ)=0的命題的證明
【解題思路】此類型的命題證法有三種思路：
（1）驗證f(n-1)(x)在\\[a,b\\]上滿足羅爾定理條件，由該定理證得.
（2）驗證ξ為f(n-1)(x)的值或極值點，用費爾馬定理證明.
（3）條件涉及某一點的高階導數都存在時，也可用泰勒公式；在使用泰勒公式之後可能需要用介值定理.
例3.1設f(x)在\\[1,2\\]上具有二階導數f″(x)，且f(2)=f(1)=0.如果F(x)=(x-1)f(x)，證明：至少存在一點ξ∈(1,2），使F″(ξ)=0．
證明由已知F(x)在\\[1,2\\]上連續，在（1，2）內可導，F（1）=F（2）=0，所以F（x）滿足羅爾定理條件，則至少存在一點a∈(1,2)，使得F′(a)=0．因為F′(x)=f(x) (x-1)f′(x)，則由題設知F′(x)在\\[1,a\\]上連續，在(1,a)內可導，且F′(1)=f(1)=0=F′(a)，故F′(x)在\\[1,a\\]上滿足羅爾定理條件，則至少存在一點ξ∈(1,a)(1,2)，使F″(ξ)=0.
例3.2設f(x)在［a,b］上連續，在(a,b)內二階可導．連接點A(a,f(a))與點B(b,f(b))的直線段交曲線f(x)於C(c,f(c))處，此處a證明f(x)在［a,c］,［c,b］上滿足拉格郎日中值定理，因此，至少分別存在一點ξ1∈(a,c)，ξ2∈(c,b)使得f′(ξ1)=f(c)－f(a)c－a,f′(ξ2)=f(b)－f(c)b－c，由a,b,c三點位於同一直線上，因此f′(ξ1)=f′(ξ2)，不妨設ξ1<ξ2，在［ξ1,ξ2］上，f′(x)滿足羅爾定理條件，故至少存在一點ξ∈(ξ1,ξ2)(a,b)，使得f″(ξ)=0.
例3.3設函數f(x)在\\[0,3\\]上連續，在(0,3)內可導.又f(0) f(1) f(2)=3，f(3)=1,證明存在一點ξ∈(0,3)，使得f′(ξ)=0.
證明有題設可知，函數f(x)在\\[0,2\\]上連續，所以m≤f(x)≤M，其中m,M分別為f(x)在\\[0,2\\]的小值和值，於是m≤f(1)≤M,m≤f(2)≤M,m≤f(0)≤M,
3m≤f(0) f(1) f(2)≤3M,即m≤f(0) f(1) f(2)3≤M.由介值定理，存在點η∈\\[0,2\\]，使得f(η)=f(0) f(1) f(2)3=1.又f(3)=1，可知f(x)在\\[η,3\\]上滿足羅爾定理，故存在一點ξ∈(η,3)(0,3)，使得f′(ξ)=0.
例3.4設函數f(x)在區間(a,b)上連續可導，xi∈(a,b),λi>0(i=1,2,…,n)，且∑ni=1λi=1，證明：存在ξ∈(a,b)，使得∑ni=1λif′(xi)=f′(ξ).
證明不妨設 x1≤x2≤…≤xn－1≤xn.若x1=xn，則取ξ=x1，∑ni=1λif′(xi)=f′(ξ)顯然成立.
若x1≤∑ni=1λif′(xn)=f′(xn)∑ni=1λi=f′(xn),即f′(x1)≤∑ni=1λif′(xi)≤f′(xn).又因為f′(x)在區間(a,b)上連續，因而也在(x1,xn)上連續，由連續函數的介值定理，存在ξ∈(x1,xn)(a,b)，使得f′(ξ)=∑ni=1λif′(xi).本題去掉導函數的連續性結論也成立.
例3.5已知函數f(x)具有二階導數，且lim x→0f(x)x=0，f(1)=0.證明：存在一點ξ∈(0,1)使f″(ξ)=0.
證明由limx→0f(x)x=0,得f(0)=0，f′(0)=0.
函數f(x)在［0,1］上連續，在(0,1)內可導，且f(0)=f(1)=0，由羅爾定理，至少存在x0∈(0,1)使f′(x0)=0.
函數f′(x)在［0,x0］上連續，在(0,x0)內可導，且f′(0)=f′(x0)=0，由羅爾定理，至少存在ξ∈(0,x0)(0,1)使f″(ξ)=0.
例3.6設函數f(x)在［a,b］上連續，在(a,b)內二階可導,且f(a)=f(b)，f′ (a)f′－(b)>0，試證：在(a,b)內至少存在一點ξ，使f″(ξ)=0.
證明因為f′ (a)f′－(b)>0，所以，可設f′ (a)>0,f′－(b)>0.由於limx→a f(x)－f(a)x－a=f′ (a)>0，所以，總存在ca

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