CONTENTS

用陰影長度測量高度............ 002

另外兩種方法........................ 007

測高妙法................................. 010

偵察兵的測高絕招................ 012

借助記事本測高.................... 014

不必靠近大樹的測高法........ 015

林業工作者的測高儀............ 016

鏡子測高法............................. 019

兩棵松樹................................. 021

樹干的形狀............................. 022

公式................................. 023

未伐倒的樹木體積和

 質量計算法.......................... 025

樹葉上的幾何學.................... 029

六條腿的大力士.................... 031

名師點評................................. 035

河流寬度測量法.................... 038

帽檐測距法............................. 043

島嶼的長度............................. 045

對岸的行人............................. 046

簡單的測遠儀.................... 049

河流的能量............................. 052

河水的流速............................. 054

河水的流量............................. 056

水中渦輪................................. 060

五彩虹膜................................. 061

水面上的圓圈........................ 062

關於榴霰彈爆炸後的

 設想....................................... 065

船頭的波峰............................. 066

炮彈的速度............................. 069

水塘的深度............................. 071

河中映出的星空.................... 072

跨河架橋築路........................ 074

修建兩座橋............................. 076

名師點評................................. 078

月亮的尺寸............................. 082

視角......................................... 084

盤子與月亮............................. 086

月亮和硬幣............................. 087

轟動一時的照片.................... 088

活的測角儀............................. 092

雅科夫測角儀........................ 096

釘耙測角儀............................. 098

炮兵和角度............................. 099

視覺的敏銳度........................ 102

視力的極限............................. 103

地平線上的月亮和星星........ 107

月球影子與平流層

 氣球影子的長度.................. 110

雲層距離地面很高嗎？........ 111

根據照片將塔的高度

 推算出來............................... 116

練習題..................................... 117

名師點評................................. 119

步測距離的技巧.................... 122

目測法..................................... 123

坡度......................................... 127

碎石堆..................................... 130

“驕人的山岡”.................... 131

路的轉彎處............................. 133

彎道的半徑............................. 134

大洋的底................................. 137

“水山”真的存在嗎？........ 140

名家點評................................. 142

計算正弦................................. 146

開平方根................................. 151

根據正弦求角度.................... 152

太陽的角度............................. 154

小島的距離............................. 155

湖泊的寬度............................. 156

三角形地帶............................. 158

不經測量而確定角度............ 160

名師點評................................. 162

地平線..................................... 164

地平線上的輪船.................... 167

地平線有多遠？.................... 168

果戈理的塔............................. 172

普希金的山丘........................ 174

兩條鐵軌的交會點................ 175

燈塔問題................................. 176

閃電......................................... 177

帆船......................................... 178

月球上的“地平線”............ 179

月球上的環形山.................... 180

在木星上................................. 181

練習題..................................... 181

名師點評................................. 182

星空中的幾何學.................... 184

神秘島的緯度........................ 188

地理經度的測定.................... 191

在船的底艙裡........................ 196

如何測量水桶？.................... 197

測量尺..................................... 199

還需要做什麼？.................... 202

驗算......................................... 206

馬克·吐溫的黑夜之旅........ 211

蒙眼轉圈................................. 215

徒手測量法............................. 226

黑暗中的直角........................ 229

名師點評................................. 231

古埃及人和古羅馬人的

 實用幾何學.......................... 234

圓周率的精確度.................... 235

傑克·倫敦的錯誤................ 239

擲針實驗................................. 241

圓周的展開............................. 244

方圓問題................................. 245

賓科三角形............................. 250

頭或腳..................................... 251

赤道上的鋼絲........................ 253

事實和計算............................. 254

走鋼絲的女孩........................ 257

經過北極的路線.................... 261

傳送帶的長度........................ 267

聰明的烏鴉............................. 270

名師點評................................. 273

不用圓規來作圖.................... 276

鐵片的重心............................. 277

拿破侖的題目........................ 279

簡單的三分角器................ 281

時鐘三分角器........................ 282

圓周的劃分............................. 283

臺球桌上的幾何學問題........ 285

“聰明”的臺球.................... 288

一筆畫成的圖形.................... 296

哥尼斯堡的七座橋梁............ 300

幾何學玩笑............................. 301

正方形的檢驗........................ 302

下棋遊戲................................. 303

名師點評................................. 305

在一立方釐米空氣中

 有多少個分子？.................. 308

體積和壓力............................. 310

比蛛絲更細，卻比鋼

 更硬....................................... 313

兩個容器................................. 315

名師點評  317

章

叢林中的幾何學

作為偉大的數學家，大自然不知孕育著多少幾何學的秘密，而叢林中的秘密更是眾多。其中，陰影測量的方法就是極為簡單的一種。

用陰影長度測量高度

如今我還時時回想兒時曾令我感到驚訝的事。那件事是這樣的：一位守林人為了測量一棵大樹的高度，使用了一個極小的儀器。測量時，他在一棵大樹附近站好，然後通過一個四方形的木板來觀察大樹。就在我以為他就要開始測量樹的高度時，他卻將那個方形的儀器裝入口袋，然後輕松地告訴大家，他的工作已經完成。在我看來，他明明之前什麼也沒做，測量工作應該剛剛開始纔是。

這種測量方法像神奇的魔術般，他既不必爬到樹頂測量，也不必把大樹砍倒，就能輕易地測量出大樹的高度，幼小的我覺得這就是一個奇跡。後來我逐漸長大，懂得越來越多知識，纔明白這其實是個極其簡單的方法，而利用簡易的儀器或不用其他任何工具來輔助完成測量的方法也有很多。

泰勒—— 一位古希臘的哲學家，他前6世紀用一種簡單而又古老的方法測量出金字塔的高度。太陽下金字塔的陰影就是他測量金字塔的“工具”。那時候的法老和祭司們都無法相信這個從北方來的異客可以測量出胡夫金字塔的高度。據說，泰勒選擇了自己的影子和身高等長的時間，他認為這時測量出的金字塔的陰影長度就等於金字塔的高度。泰勒靈活地運用了等腰直角三角形的相似原理。

如果把這位古希臘哲學家解決問題的辦法運用到今天，就算是現在的小學生也會感到非常簡單。但我們要切記：現階段學習到的幾何知識都是古希臘以後逐漸建立的，我們現在看問題是運用了前輩們努力探究後的成果和結論。歐幾裡得是古希臘的數學家，前300年就寫了一部很了不起的書《幾何原本》。2000多年過去後，這本書仍是我們教育下一代的重要書籍。

這本書中所講的定理現在的中學生都知道，然而在泰勒的時代，卻不被人們知曉。因為泰勒用陰影測量金字塔高度，所以他需要了解一些關於三角形的性質。首先，等腰三角形的兩個底角相等，換言之，一個三角形有兩個相等的角，它們對應的邊也一定相等；其次，三角形的內角和為180°。因為泰勒知道三角形這兩個性質，所以他能判斷：當自己的身高和影子等高時，太陽與地面的夾角為45°，並得出那時金字塔的塔高與陰影等高的結論。

當陽光明媚時，單獨的大樹的陰影並不會和相鄰的其他大樹的陰影交叉，所以，利用這種辦法測量這棵大樹的高度比較簡便。但這種辦法並不適合運用在緯度較高的地方。原因在於，緯度較高的地方，太陽升起的高度比較低，測量物體高度隻能在正午前後一段很短的時間內進行，不像低緯度的埃及有充裕的時間選擇。因此，泰勒采用的這種辦法並不是放之四海而皆準的。

現在，我們可以巧妙地利用相似三角形的性質。我們稍微調整一下剛纔使用的辦法——使得在太陽照耀的有利條件下更好地測量高度。為此，我們不僅要知道陰影的長度，還要知道另一個物體，如木杆的長度，如此，就能測算出所需測量物體的高度了（圖1-1）。

AB∶BC = ab∶bc

圖1-1 利用陰影測量樹的高度

由相似三角形的性質可知，樹影和樹高的比值與身影和身高的比值相等，所以知道了BC、ab、bc就可以方便地計算AB的高度了。

此時此刻，作為讀者的你是不是有這樣的疑問：如此淺顯的道理，是不需要幾何學來引證的，即便是沒有幾何學，我們同樣能知道，在相同時刻樹高與樹影是同一比值。然而，親愛的讀者，你未免想得太過簡單了。不信？你可以把這個規則應用在街頭路燈照射下物體的高度上，現在，你是否發現這個規則就不適用了。從圖1-2中我們可以清楚地看到：大木柱AB的長度是小木柱ab的3倍，但是大木柱的陰影BC是小木柱陰影bc的8倍。想知道為什麼是這樣的結果嗎？為什麼非常適合於上一個情形的方法卻在這種情形中講不通？如果你想解決這個問題，就需要學習幾何學的知識。

圖1-2 燈光照射下的高度與陰影

【題】我們來分析一下兩種情況下的不同。在肉眼範圍內可以看到，太陽光是平行的光線，而路燈光與太陽的平行光線不同，它是放射狀的光線。因此，我們會產生疑問：為什麼太陽的光線是平行的呢？太陽光線不都是以太陽為原點向外散發嗎？圖1-2這種測量方法適用於什麼情形呢？

【解】由於每條太陽光線角度太小，即使用精準的儀器都無法測量，因此我們把太陽光視作平行光。為了解釋這一點，我們需要運用一個很簡單的幾何學知識。首先，假定太陽光是以太陽為原點向外散發的，現在我們選擇兩道光線為例。這兩條光線投射到地球上的兩點距離為1000米。這就等於是：以太陽這個發光點為圓心，以太陽到地球的距離（150000000千米）為半徑畫圓，我們選取的兩道光線之間的弧長為1000米，這個圓的周長為2π×150000000≈940000000千米。

計算得出：這1000米的弧長對應的角度隻有秒。因為這個角度太微不足道，即使用現在世界上和精準的儀器都難以測量出來，所以，把太陽光視作平行光線也是可行的。

因此，假如沒有幾何學作為支持，前文中提到的利用陰影測量高度的方法就沒有任何依據了。

盡管如此，上述我們所講的方法也不是很可靠，尤其是在做實地試驗的時候。原因是陰影的盡頭並不十分清楚，測量陰影的實際長度存在一定難度。所以實際生活中，我們可以發現：太陽光投射出的任何一個陰影，到了盡頭處都是模糊不清的。其原因就是太陽光不是從一點發出的，太陽相比地球是一個更大的發光體，太陽光線是由它龐大的表面散發出來的。圖1-3解釋了樹影BC為何會多出一段慢慢消失的半影CD。此時，半影兩端點C、D和樹梢A的夾角∠DAC與我們前述的太陽圓面形成的夾角相同，即等於0.5度。所以，僅僅因為太陽位置較高，陰影測量不完全準確產生的誤差就有可能達到5%或者更大。要是再有其他的不可避免的因素（如地勢高低不平等），那麼，其引起的誤差將會使結果更加不可靠。比如，這個方法在丘陵地帶就不完全適用。

另外兩種方法

接下來，我們講兩種無須利用陰影的測量辦法，這兩種方法也非常簡單。

種方法是：用3個大頭針在一塊木板上畫出一個等腰直角三角形，接著的測量需要利用等腰直角三角形的性質。先找來一塊較為光滑的木板或者樹皮，在上面畫一個等腰直角三角形，接著分別在3個頂點上釘上3個大頭針（圖1-4）。

此時，有的讀者可能會問：如果我手上沒有三角板，畫不出正確的直角應該怎麼辦呢？解決這個問題的方法很簡單，隻需要把一張紙對折兩次（對折再橫折）就會出現一個直角了。如此看來，即使是在野外露營，也能很快制作一個直角三角形。令人驚喜的是，使用這個儀器要比制作它更簡單。

使用前要知道如何讓一條直角邊處於豎直狀態。這個方法也很簡單：我們可以在直角邊的頂點上釘上一根繫有重物的細線，而且保證細線和直角邊重合。然後，你用手拿著儀器（圖1-5），在樹的前面尋找一個點A，從點A出發，讓點a、點c和樹梢上的點C在同一直線上（即a、c兩個大頭針正好擋住樹梢上的C點）。此時三角形aBC恰好是一個等腰直角三角形。大樹的高度CD=BC BD=aB BD=AD aA，所以，隻要再測出AD的長度和aA（眼睛距離地面）的高度，大樹的高度就可以計算出來了。

第二種方法更加簡單。首先，豎立一個長杆在地面上，長杆露在地面上的高度要與自己的身高相等。然後我們需要找到一個點b（圖1-6），點b使我們躺在地上腳跟緊貼長杆底部時，眼睛、杆梢a、樹梢C位於同一直線上。此時，三角形ABC就是一個等腰直角三角形。樹高BC=AB=Ab bB，所以，我們再測量出bB的長度就能計算出大樹的高度（即眼睛到樹根的距離）了。

測高妙法

在著名的科幻小說《神秘島》中，儒勒·凡爾納也曾經介紹過一個比較簡單的測量物體高度的方法。

工程師說：“我們今天得去測量眺望臺的高度。”赫伯特說：“那我們需要什麼儀器呢？”

“我們需要轉換一種測量方式，這種方式不需要使用任何儀器，但結果和昨天一樣準確。”

赫伯特是一個很熱愛學習的青年人，所以他不會放過這樣的學習機會，於是他和工程師一起前往眺望臺。

到達眺望臺後，工程師取出一根大約長12英尺的直杆。因為他清楚地知道自己的身高，所以他比較了一下直杆和自己的身高，就大約知道直杆的長度了。測量好後，赫伯特接過工程師遞給他的一塊繫有細線的石塊。

工程師走出眺望臺，然後在離眺望臺約500英尺的地方停下腳步，往沙土中插入直杆，插入沙土的長度約為2英尺，然後他用手中的工具懸錘調整直杆，使它豎直。

接著，他繼續往外走，直到找到一個地方，並仰面躺下。此時，在這個位置上，眼睛、直杆的頂點和眺望臺的頂點都處於同一直線上（圖1-7）。然後他把短木樁插在了這個點上，並問身邊的赫伯特：“你知道幾何學嗎？”

圖1-7 測量眺望臺的高度

“是的，我了解。”

“那麼你知道相似三角形的性質嗎？”

“相似三角形的對應邊成比例。”

“對。我們現在不就有兩個相似三角形嗎？相對小的三角形一條邊是短木樁到直杆的距離，另一條邊是豎直的木杆，以我的視線為弦；相對大的三角形一條邊是眺望臺的高度，另一條邊是短木樁到眺望臺的距離，同樣以我的視線為弦，因此和小三角形的弦在同一直線上。”

“哦，我懂得了。直杆高度與眺望臺高度的比值，等於短木樁到直杆的距離與短木樁到眺望臺距離的比值。”

“是的。因而我們隻要知道短木樁到直杆和眺望臺的距離以及直杆的高度，眺望臺的高度便可以通過比值計算出來。”

通過測量可知，短木樁到直杆的距離是15英尺，到眺望臺的距離是500英尺。所以：

10∶x≈15∶500

解得x≈333英尺。

因此，眺望臺高度約為333英尺。

偵察兵的測高絕招

以上我們介紹的幾種測高的方法都有一個共同的不足之處，那就是都需要躺在地上。那麼，我們能否找到一個不需要躺在地上的方法呢？例如：在戰爭中，某個分隊接受命令在山澗上架設一座橋梁，但敵人就在對岸。分隊決定派出一個偵察小組計算出樹林中有多少能用於架橋的樹木，以此了解架橋所用的材料。為此，他們需要先測量樹高。如圖1-8所示，他們借助一支測量杆來測量樹高。所需的測量杆高度必須略高於身高。首先，把測量杆豎立在大樹前面，並離開一段距離。然後，測量人員沿著Dd的延長線向後退，直到點A，在該點上，眼睛、測量杆的杆頂和大樹樹梢恰恰處於同一直線。

接著，測量人員水平看向大樹，在視線與測量杆和大樹分別相交的點c與點C上以後做好記號。現在，觀測工作就完成了。隨後，根據相似三角形的性質bc∶BC=ac∶aC，可得出BC=bc× 。同樣能直接測量出式中的aC、ac、bc，大樹的高度等於BC與CD的和。

為了測算樹林中的樹木數，組長先派遣人員測量樹林的面積，接著數出在50平方米內的樹木，然後利用簡單的乘法計算出樹林中的樹木數。於是，分隊利用這些數據選擇在一個恰當的地方搭建橋梁。戰鬥任務也因此順利結束了。

圖1-8 利用測杆測量高度

借助記事本測高

假如需要測量一個不可能攀登的高度，但結果並不要求太準確，那就可以利用袖珍記事本（附帶小鉛筆的那種）來完成。事實上，這個記事本是個相當不錯的測量儀器。

基本的思路是：把記事本放在一隻眼睛前面（圖1-9），並維持記事本的豎直狀態。接著把鉛筆慢慢往上推，直到從點a方向看去，鉛筆尖b點恰好能擋住樹梢B點。這時，出現了兩個相似三角形：三角形abc和三角形aBC。由相似三角形的性質可得bc∶BC=ac∶aC，

得BC=bc× 。

由於式中aC、ac、bc皆可直接測量，因而用所求的BC加上CD就等於大樹的高度了。CD的高度與你的眼睛到地面的距離相等。我們接著思考，記事本的寬ac是不變的，因此，隻要你站在樹前的位置（aC的距離）不變，就隻剩下一個變量bc了。當我們得知bc的數值時，就可以知道大樹的高度了。

接著，我們來思考一下：假如在鉛筆上畫上刻度，這樣大樹的高度就能直接讀數了。這個簡易的裝置也就成了一個測量儀了。

不必靠近大樹的測高法

有的讀者有這樣的疑問：要是無法接觸測量的大樹，還能夠測量它的高度嗎？答案是肯定的。接下來，我們一起學習制作一個簡單的測量儀器。準備兩根木條（圖1-10），並把ab垂直地釘在cd上，使ab=bc=2bd。如此，一個簡單的測量儀就順利完成了。測量需要兩次運用三角形的相似性質。

圖1-10 利用兩根木條制成的簡單的測高儀和它的使用法

步，在測量者的前上方放上這個儀器（固定其高度），並使cd保持豎直。首先確定一個點A，使點a、c及樹梢B保持在同一直線上。

第二步，測量者沿著DA的延長線向後移，並找到點A′，使a′、d′及B在同一直線上。我們使用這種測量方法的關鍵點是A和A′的選擇，因此，BC的高就與AA′的距離相等。原因是什麼呢？

a′C=2BC

aC=BC

兩式相減得：

a′C-aC=BC=A′A

在得到BC後，加上儀器ab距離地面的高度，就等於大樹的高度。

由此可見：在不能接近大樹的地方，運用這種測量方法也能測量樹高。

事實上，這種儀器的制作方法還可以更簡單：無需木條，隻要使用一塊光滑的木板，並用大頭針在上面標識a、b、c、d四個點就可以了。

林業工作者的測高儀

事實上，林業工作者使用的專業測量儀並不是前面所講的測高儀器。接下來我們就來了解一下專業的測量儀，但我們隻討論一種，並對它做了些許的改動。

我們以圖1-11為參照來介紹這種測高儀的構造原理。儀器由一塊方形的木板或平面紙板和一個豎直垂線組成。測量人在待測大樹前站立，並使點a、點b及點B保持在同一直線上。此時豎直垂線與cd相交於點n，做上記號。現在，我們看看三角形bnc和三角形bBC是否相似？答案毫無疑問是相似的。所以：

nc∶BC=bc∶bC

得BC=bC×

圖1-11 林業工作者所用測高儀的使用方法

其中，可以直接測量的有bC、nc、bc，此時再測量出CD的高度（儀器所在點b到地面的距離），這樣，我們就可以知道大樹的高度了。

現在我們繼續往下想。已知方形木板的邊長（假定為10釐米），在邊cd上畫出釐米的刻度，這樣， 就可以直接讀出來了。打個比方：假設豎直垂線和cd相交於7釐米的點上，那麼就是0.7，這樣就可以很快計算出大樹的高度了。

接著往下思考：能否更簡單地將點a、b、B置於同一直線上呢？現在，我們在線ab的兩側折出兩個豎立的小正方形，分別在兩個正方形上穿一個孔。放在眼前的孔比放在後面的孔稍大（圖1-12）。

圖1-12 林業工作者的測高儀

這種測高儀的性能會更好嗎？圖1-12和實際的大小相當，制作比較簡便，花費時間較短的，也不必擁有在工藝方面的特殊技能。這種測量儀不會占用太多空間，又能夠在郊外又快又好地測量出所見的任何物體，如大樹、高樓和信號塔等。

【題】我們是否能用這種測量器測出無法接近的大樹的高度呢？如果可以，要如何實施測量？

【解】利用上面所講的辦法，分別找出點A、A′（圖1-13），並使其滿足下列要求：

BC=0.9AC；BC=0.4A′C

我們把兩式相減，可得：

AA′=BC

AA′是可以直接測量出的，因此就可以計算大樹的高度了。

圖1-13 不能接近的大樹的高度測量

鏡子測高法

【題】下面問大家一個問題：是否可以使用鏡子測量出大樹的高度？答案是：一定可以。我們把鏡子放在大樹AB前的點C上（圖1-14），測量者找到這樣一個點D，使測量人恰好能在鏡子裡看到樹梢點A，並站在其上。此時，BC與CD的比值即樹高AB與測量人身高的比值。原因是什麼呢？

圖1-14 利用鏡子測高

【解】我們利用光的反射性質來闡釋這種測高法，圖1-15。我們可以求得：

AB=A′B=×ED

這種簡單易行的辦法可以在任何天氣裡使用。但有一個前提條件：它不適合密林中的樹木，隻適用於個別單獨的樹木。

【題】要是無法接近測量的大樹，能使用鏡子測高法嗎？

【解】實際上這是一個很古老的問題。在幾百年前，一位名叫安東尼·德·克雷蒙的數學家在他的作品《實用土地測量》中討論過這個問題。解決這個問題也能夠使用上述的測量方法，再根據相似三角形的原理，就可以求出大樹的高度了。接下來，我們再分享一個測量大樹高度的方法。

兩棵松樹

【題】兩棵松樹之間相距40米，我們運用前述的測量辦法測量出兩棵松樹的高度。它們的高分別為31米和6米。請求出兩棵松樹樹梢間的距離。

【解】事實上，我們隻需要利用勾股定理就可以求出兩棵松樹樹梢的距離了，見圖1-16。AB=≈47（米）。

圖1-16 測量兩個松樹樹梢間的距離

樹干的形狀

倘若你漫步於林中，此時你正為自己已經掌握了六七種測量物體高度的方法而竊喜，突然一個問題又在你腦中浮現：如何測量大樹的體積呢？隻要測量出體積並稱出大樹的重量，就可以知道運輸大樹的車的大小了。然而，這兩個問題並不像測量樹高那樣簡單，目前為止，專家們尚未找到能精確測量大樹體積和重量的辦法，但是找到了一種可以無限接近真實數據的辦法。因為哪怕在你面前放置一棵已經被伐倒的大樹，你也不可能精確地測量出它的體積。

為什麼呢？原來是因為：即使是表面十分平整的大樹，它也不可能是圓柱、圓臺或圓錐的形狀，所以它不能像其他幾何體那樣能按照公式精確計算出它的體積。大樹不同於圓柱，因為它上細下粗；它也不同於圓錐，因為它的母線是直線而不是曲線。

如此想來，我們隻能運用微積分法來計算出無限接近大樹實際體積的值。也許有人會問：測量這麼簡單的木材也要運用到高等數學嗎？或許還有人認為：掌握初等數學的知識就足夠讓我們解決日常生活中的問題了，高等數學隻會在特殊情況下纔使用。然而，這些想法都是不正確的。我們可以用初等數學準確地計算出恆星和行星的體積，但是卻無法利用初等數學去精確地測量一段木材或一個啤酒桶的體積。所以，我們隻能利用高等數學中的解析幾何和微積分。

我們可以想像：一棵樹的樹干體積接近於圓臺體積，而它的樹梢體積則接近於圓錐體積；如果樹干比較短，那麼它的體積就接近於圓柱體積。在這種情況下，這棵樹的體積就很好計算了。我們能否找到一個公式對這三種情況都適合呢？有了這樣的公式，就很容易解決上述問題了。而這個公式，專家們其實已經想出來了。

公式

數學上的辛普森公式如下：

V=（b₁ 4b₂ b₃）

式中h——立體的高度；

b₁——底面的面積；

b₂——中間截面面積；

b₃——上底的面積。

這個公式就是所謂的公式，它不但對圓柱、圓錐和圓臺適用，對稜柱、稜錐和稜臺一樣適用，而且還對圓球適用。

【題】試證明公式對以下七種幾何體都適用：圓柱、圓臺、圓錐、稜臺、稜柱、稜錐和球體。

【解】隻要把各類幾何體的相關參數代入到公式中，得到的結果和正常計算體積時一樣，證明就成立。

對於圓柱、稜柱[圖1-17（a）]：V=（b₁ 4b₂ b₃）=bh₁

對於圓錐、稜錐[圖1-17（b）]：V=（b₁ 4×   0）=

對於圓臺[圖1-17（c）]：

V= πR² 4π（）² πr²

V= πR² πR² 2πRr πr² πr²

V=（R² Rr r²）

同樣的方法也能用於證明稜臺。

對於球體[圖1-17（d）]：

V=R² 0=4πR³

【題】假如公式隻能用於計算前述的幾何體體積，那就不可被稱為公式了。事實上，隻要改變公式中的字母含義，它就可以用於計算平面圖形的面積。

圖1-17 公式用於計算平面圖形的面積

h：高度；b₁：下底底長；b₂：中間線的長度；b₃：上底底長。

要怎樣去證明這個說法呢？

【解】一樣的道理，隻要把參數代入公式就可以得到證明。

對於平行四邊形、正方形和矩形[圖1-18（a）]：

S=（b₁ 4b₂ b₃）=bh₁

對於梯形[圖1-18（b）]：S=（b₁ 4× b₃）=（b₁ b₃）

對於三角形[圖1-18（c）]：S=（b₁ 4× 0）=

圖1-18 公式對於求這些圖形的面積適用

未伐倒的樹木體積和質量計算法

現在我們就可以用公式去計算大樹的體積，不必管它是圓柱還是圓錐或者圓臺了。然而這還是步，接著我們還要獲得以下數據：大樹的上、下底面積，中間的橫截面面積以及樹高。大樹的上、下底面積都比較容易測量。要是沒有找到一種特殊的設備（量徑尺：一種測量物體直徑的儀器），測量中間的橫截面面積就有點困難（圖1-19、圖1-20）。但這個困難也是可以解決的。隻要我們測量出物體的周長，它的直徑就可以用公式計算出來了。圓的周長公式是：

A=2πr

圖1-19 用量徑尺測量樹的直徑

注：著名的測量圓形物體的量徑尺就是用這種方法制成的

圖1-20 量徑尺（左）和微分尺（右）

利用這種方法計算得出的大樹體積，其精確度可滿足許多實際工作要求。事實上，還有一個更為簡單的辦法：把大樹看作一個圓柱體，大樹中間部位的直徑相當於圓柱的直徑。這是個非常簡單的計算方法，但它的精確度並不高，誤差率通常維持在12%左右。假如我們把樹干分成許多截，每截長2米，然後把每截都看作一個圓柱體，這樣的計算就能得出比較接近真實體積的數值，它的誤差值在2%～3%之間。

實際上，這個方法也有一個缺點：不能測量沒被砍倒的大樹。因為我們不可能爬到大樹上去測量，而隻能測量較為方便的大樹底部面積。在實際工作中，我們解決這個問題的辦法通常是采用一種近似值的估算，這為林業工作者大量使用。辦法是：使用“材積繫數表”來計算。這需要把樹干當成是圓柱體，先測量出離地1.30米處樹干的直徑並把它作為圓柱的直徑，再把這個直徑的值乘以相應的繫數，如圖1-21所示。對於種類不同、高度不同的樹木，其繫數也不相一致，但差別很小。在密林中的松樹和柏樹兩個種類的樹干，其繫數範圍是0.45～0.51，換句話說，其繫數值約等於0.5。

因此，我們可以如此計算：把大樹看成一個圓柱體，把離地 1.3米處的樹干直徑作為圓柱的直徑，大樹的高度相當於圓柱的高度，這樣計算所得的大樹體積為真實體積的兩倍。換言之，實際體積等於計算體積的一半。如此計算出的結果並不會有很大的誤差，隻有2% ~ 10%。還差後一步我們就能估算出大樹的質量了。

後一個數據是密度。一般大樹的密度為600～700千克/立方米。

例如：一棵柏樹的高是28米，距離地面1.3米處的周長是120釐米。它的質量約為：

M =ρv=ρπr²h=ρπ（）²h≈1000（千克）

所以它的質量約為1000千克。

樹葉上的幾何學

【題】我們經常會在一棵高大的白楊樹下發現一棵較小的白楊樹。你是否發現一個奇怪的現像：小樹的葉子要比大樹身上的葉子長得寬大。尤其是比有充足光照的葉子還要大。這是因為，陰影中的小樹隻有讓自己的葉子更加寬大纔能得到更加充分的陽光照射。不過這是植物學家所關心的事，關於幾何學，我們關心的是：能否計算出大葉子比小葉子大多少倍。

下面，來分析這個問題的思考過程。

【解】實際上我們隻要求出每片葉子的面積，然後計算二者的比例就可以得出結果。常用於測量面積的方法是：把一張透明的方格紙鋪在樹葉上方，因為小方格的面積都一樣，所以隻要數出樹葉上所覆蓋的方格數就可以算出其面積（一般略去小於方格的，大於方格的則算為一個）。這個辦法雖然較為精確，但免不了煩瑣。

我們在觀察樹葉時可以發現，雖然一棵樹上的兩片葉子大小不同，但形狀卻是相似的，用幾何學的語言來說就是兩片葉子是相似的。因此可以想一個較為簡單的辦法。通常來說：如果兩個圖形相似，它們的面積比等於其直線比的平方。所以隻要我們計算出兩片葉子的長或寬的比值，它們的面積比也就顯而易見了。

例如：大樹葉子的長是4釐米，小樹葉子的長是15釐米，它們長的比值為。

根據相似的性質，我們就能計算出它們的面積比是

=≈14

但是由於在這個過程中出現了較多的估算，因此我們得出的結論是小樹的葉子面積約為大樹葉子面積的15倍。

再來看看下一個題目。

【題】有兩棵葉子大小不同的蒲公英，它們的葉子長度分別為31釐米和3.3釐米。大葉子面積是小葉子面積的多少倍呢？

【解】根據上述原理，兩片葉子面積的比例是

=≈90

所以大葉子的面積約為小葉子的面積的90倍。

在森林漫步時，我們通常會發現許多大小不一但形狀十分相似的樹葉，這在幾何學中成為相似圖形。如果一個不太熟悉幾何學的人，他會感到十分驚訝：兩片長寬差別不是很大的葉子，面積卻相差得很大。

比如有兩片形狀相似的葉子，其中一片的長是另一片的1.2倍，但面積竟然是另一片的1.4倍（1.2²≈1.4）。所以兩片葉子面積差為40%。假如兩片葉子的長相差了40%，如此計算，它們的面積相差2倍（1.4²≈2）。

六條腿的大力士

你們知道嗎？螞蟻確實是一種非常神奇的小生物！因為它所舉起的“龐然大物”與它弱小的身軀毫不相稱。

如圖1-22所示，一隻螞蟻在順著植物莖向上爬行，它身上居然背著比它身體大幾倍的物體。看到這樣的情形，我們不禁心生疑問：這隻弱小的螞蟻，它怎麼會有力氣舉起比自己身體重10倍的物體呢？如果拿人相比較，就相當於一個人背著一架大鋼琴在梯子上爬。這根本是不可能做到的。如此說來，是不是螞蟻要比人更強大呢？真的是這樣嗎？不用幾何學來解釋這個問題是比較困難的。我們先來了解一下專家關於肌肉和力量的科學解釋，然後再來分析人和螞蟻的對比。

動物的肌肉就仿佛是一個有彈性的韌帶，而肌肉並不是因為彈性而收縮，而是出於別的原因，並且在神經刺激下恢復正常。從生理學實驗中可知，隻要把電流接到相對應的神經或者肌肉上，也可以讓肌肉收縮。下面，我們利用剛死的青蛙身上的肌肉完成這個實驗。原因是，在常溫下，冷血動物的肌肉就算是在體外也能長時間保持活性。

實驗方法並不難，把青蛙彎曲的後退的主肌——腿肚肌——和附在其上的大腿骨、腱子一起取下來。這段肌肉無論是其大小、形狀都是十分適宜的，用於實驗也十分的便利。把這段大腿骨掛起來，然後在腱子上穿一個鉤子，利用這個鉤子來懸掛砝碼。假如有電流通過肌肉，肌肉就會收縮，同時提起砝碼。通過增加砝碼的重量，我們就能測算出這段肌肉的舉重程度。現在，我們逐一把兩條、三條、四條一樣的肌肉連接起來，然後對其實施電流刺激。我們可以看到如此做並沒有增大它的舉重力，反而是提高的高度增加了好幾倍。如果我們把2條、3條、4條肌肉用並聯的方式捆在一起，用電流對其刺激，結果是它的舉重力隨著肌肉的增加而遞增。同樣，如果這些肌肉生長在一塊，它的舉重力也會是這個結果。因此，是肌肉的粗細（橫截面的大小）決定肌肉的舉重力大小，而不是肌肉的長度或重量。

現在，再來看看各種形狀相似、大小不同的動物的比較。

假設：這裡有兩隻動物，第二隻動物的直線尺寸是隻的兩倍，那麼按理說，第二隻動物的體積重量及其各器官的體積和重量應該是隻動物的八倍；實際在平面上，第二隻動物的各部分，包括其肌肉橫截面積，是隻的四倍。換言之，即使一隻動物的身長是原來的兩倍，體重是原來的八倍，它的肌肉力量也隻是原來的四倍。所以相比較而言，這隻動物的體力和體重的增加相比少了一半。同樣的，即使一隻動物的高度是同類的3倍（面積是其同類的九倍，體重上是其同類的27倍），相對的體力也隻有另一隻的1/3；同樣的，4倍長的動物，它的的舉重力相對也隻有前一隻的1/4。

動物的肌肉力量並不與體積和重量同比例增長這個原理，恰恰能解釋為什麼昆蟲（螞蟻、黃蜂等）能背負大於自身重量三四十倍的重物，而相比較而言，在正常情況下，人類（除運動員和重物搬運工）隻能負荷自身體重9/10的重物，而馬匹也隻能負荷自身體重7/10的重物。

知道上述的原理後，我們必須換一種角度來思考克雷洛夫所諷刺的螞蟻勇士的功績。克雷洛夫是這樣描述的：

有一隻力大無比的螞蟻，至今為止，都沒聽說過能有如此大的力氣；它甚至可以高高地舉起兩粒對它而言巨大的麥粒。

名師點評

本章所涉及的幾何學主要表現為相似三角形在樹木長度測量中的應用。相似三角形指的是形狀相同、大小不同的兩個三角形，其判定方法通常指：

兩角對應相等的兩個三角形相似，如果有兩組對應的角相等，則三角形相似。

對應到本章的測量大樹高度的模型，其特別之處在於，大樹和人為提供的標杆都是豎直放置（比如圖1-6、圖1-7的直杆），可以看作是兩條平行線，形成的兩個三角形的對應夾角自然是相等的。幾何模型可以抽像為下圖。圖中，AB//DE，易得三角形ACE ~ 三角形HEF。

進一步地，根據相似三角形的性質（相似三角形的對應邊成比例），不難得出=。所以，要想求出AB的長度，隻需獲取DE、BC、CE的長度即可，此時，AB=。本章提供的幾種方法，則是分別通過不同的實物模型給出了三個量的大小。特別要說明的是，圖1-5和圖1-6運用了特殊角的三角形模型（等腰直角三角形），使得運算更為簡單，但其根本原理依然是相似三角形的性質。

除了上述提到的“A字形”相似模型之外，圖1-11借助同角的餘角相等的原理，圖1-14中利用鏡面反射的原理，分別構造了兩個相似三角形。具體幾何模型如下圖，具體判定方法不再贅述。

 1英尺=0.3048米。