前言

第0章 緒論

第1章 多天線繫統

    1.1 信道模型

    1.2 多天線繫統的容量

        1.2.1 單發單收繫統的容量

        1.2.2 多發多收繫統的容量

    1.3 空時碼的設計準則

        1.3.1
傳送方與接收方都完全知道信道信息條件下碼的設計準則

        1.3.2
發信方不知道信道而接收方完全知道信道的情況下碼的設計準則

        1.3.3
傳送方與接收方都不知道信道信息的條件下碼的設計準則

    1.4 空間分集與頻分復用之間的平衡點

第2章 正交空時碼

    2.1 線性空時碼

    2.2 正交空時碼的定義

    2.3 正交空時碼的性質

        2.3.1 正交空時碼的性能分析

        2.3.2
正交空時碼與Hurwitz-Radon理論

    2.4 正交空時碼的構造

    2.5 正交空時碼的局限性

        2.5.1 符號率的局限性

        2.5.2
正交空時碼在D-Mtradeoff上的局限性

    2.6 有限點集上的正交空時碼

    2.7 正交空時碼的仿真結果

第3章 擬正交空時碼

    3.1 擬正交空時碼的提出

    3.2 具有滿秩性質的擬正交空時碼

        3.2.1
基於QAM的具有滿秩性的擬正交空時碼

        3.2.2
基於PSK上的具有滿秩性的擬正交空時碼

    3.3 具有小解碼復雜度的擬正交空時碼

        3.3.1 問題的提出及其數學的描述

        3.3.2 具有實數對解碼的線性變換

        3.3.3 QAM上的線性變換

    3.4 坐標交換正交空時碼

    3.5 數值計算與仿真結果

第4章 對角空時碼

    4.1 定義

    4.2 實格和復格

    4.3 格上的對角空時碼的構造準則

    4.4 借助於代數擴張理論的格上的對角空時碼

    4.5 舉例

    4.6 的對角空時碼

    4.7 對角空時碼在單天線中的應用

    4.8 仿真

第5章 分層代數空時碼

    5.1 滿秩的分層代數空時碼

    5.2 二階的完備的分層代數空時碼

    5.3 仿真結果

第6章 酉空時碼

    6.1 基於Fourier變換的酉空時碼

    6.2 基於Grassmann流形擺點的酉空時碼

        6.2.1
Grassmann流形的基礎知識

        6.2.2 酉空時碼的設計準則

        6.2.3
等斜面(isoclinic)酉空時碼

    6.3 仿真結果

第7章 差分空時碼

    7.1 單天線繫統中的差分碼

    7.2 多天線繫統中的差分空時碼

    7.3 差分空時碼的設計

        7.3.1
來自群及其表示論的差分空時碼

        7.3.2 基於正交設計的差分空時碼

        7.3.3
基於Cayley變換的差分空時碼

        7.3.4
基於幾何結構的2×2差分空時碼

        7.3.5
L=4,5,6時的2×2差分空時碼

    7.4 仿真結果

參考文獻

附錄A 有關正交空時碼的結論及其證明

附錄B 第3.3節中定理的證明

附錄C 2×2差分空時碼個數L=6的分集乘積及其證明

附錄D 高斯整數環上2階對角空時碼的證明

第0章緒論

1.多天線（MIMO）繫統

近年來，無線通信技術發展迅猛，特別是在我國，手機用戶已達到7億多，即

半數以上的人都已擁有手機，手機似乎已成為人們日常生活中不可缺少的通信工

具。另一方面，人們對通信的內容與質量的要求也越來越高。目前大部分手機的

通信速度都還在9.6Kb/s～2Mb/s範圍內，但國際無線通信標準IEEE802.11已

制定了速率為54Mb/s的通信標準。據預測，今後十年，無線通信的速率將達到

100Mb/s～1Gb/s。對於如此快速的通信要求，理論上已經證明，單天線（SISO，即

發送端與接收端都隻有一根天線）繫統是難以承載的。

六十年前，通信理論界的天纔Shannon給出了容量（capacity）的概念。粗略

地講，一個繫統的容量是指給定繫統帶寬和信號能量的條件下，繫統快能夠有

效地傳輸信號的速率。這裡“有效地傳輸信號”是指通過編碼等技術，在時延可以

任意長時，繫統的錯誤概率趨於零。

根據Shannon的容量理論，單天線繫統的平均容量是由繫統的信噪比（SNR）

決定的。要提高單天線繫統的有效傳輸速率，就得增加發送信號的能量，顯然這

在手機上是很難實現的，或者說要付出極大的代價。

20世紀末發展起來的多天線繫統，即發送端與接收端都采用多根天線，從理

論上給出了解決上述矛盾的方案。當發送信號能量給定時，多天線繫統的容量隨

著發送與接收天線數的小值而線性增長，因此從理論上講，增加發送端與接收

端的天線數就能很好地滿足高速率無線傳輸的要求。

但是，Shannon理論沒有說明用什麼樣的具體方法實現容量，這就需要針對具

體的繫統設計具體的發送與接收信號方案，對於多天線繫統也是如此。

下面以數字無線通信繫統為例，說明單天線繫統與多天線繫統之間的區別，

由此引入空時碼概念，說明空時碼的重要性。

數字無線通信繫統組成框圖。首先連續信號經過A/D轉換器

變換成數字信號；數字信號通過信源編碼，去掉冗餘，以求得用小的比特數表示

原來的信號。然後再經過信道編碼，加上冗餘，以保證信號在傳輸過程中的質量。

後加上冗餘的比特流被調制成連續信號，通過天線發送出去。信號經過物理信

道到達接收端。在接收端，經過上述的逆步驟得到所需要的信號。

顯然，根據以上步驟，單天線繫統與多天線繫統之間的區別在於發送天線與

接收天線這一塊。讓我們再來仔細地看發送天線的工作過程。

在發送端，調制器先把比特流映射成一個復數，然後根據這個復數的幅度與

相位，調制到要發射的頻段；後通過天線發送。注意，上述的復數所組成的集合

一般稱為碼本。常用的4-QAM。還可以選其他的碼本，例如

BPSK、8PSK、16QAM等。

單天線情況下，上述步驟比較簡單。如果有多根發射天線，情況就有很大的

區別。如何組織這多根天線發送信號是我們面臨的新問題。以繫統有兩根發射

天線為例，根天線發送什麼信號？第二根天線如何發送信號？又如何協調它

們所發的信號，使得整個繫統更加有效和高質量，這些都是需要考慮的問題。空

時碼（space time coding）就是要回答這些問題。更具體地說，空時碼的主要任務

就是設計出碼本以協調好多根天線，在不同天線、不同時刻傳送不同的信號，使得

整個繫統有好的性能。由此也可以看出，多天線繫統中的核心內容就是空時碼

技術，因為隻有這一點是與單天線繫統有著本質的區別。

空時碼技術成為多天線繫統理論中的核心，不僅在於上述理由，其實還有更

深層次的原因。事實上，由於繫統有多根天線發送信號，有多根天線接收信號，而

每根發射天線與接收天線之間構成了一個傳遞信號的通道，這樣在發送方與接收

方之間就構成了多個通道。另外，由於信道是無線的，所傳送的信號受到空間電

磁環境的影響。例如，由於距離而引起的信號強度的衰減，由接收方周圍環境而

引起的信號反射、折射，由接收方的移動而引起的信號衍射等多種因素都會影響

到接收的信號，並且這些影響因素是無法事先確定的，從而信道的影響是隨機的，

會時好時壞，好的時候能增強接收到的信號，壞的時候則會削弱接收到的信號。

因此，單天線繫統隻有一個通道，被削弱到無法檢測的信號就無法恢復；而多天線

繫統有多個通道，假如某個通道的信號被削弱，但同時另外的通道可能得到增益。

多個通道同時被削弱到不可檢測的程度的可能性大大地降低，這就是所謂的多天

線中的空間分集（space diversity）。充分利用空間分集的有效方法是同一個原

始數據信息（即需要被傳送的數據）通過所有的發射天線發送，這樣纔能充分地利

用所有的通道。但如果所有的天線隻傳送同一信號，勢必影響到繫統的傳輸速

率。因此需要進行編碼來平衡這兩者之間的關繫。

多天線繫統還創造了另外一個分集，這就是時間分集（time diversity），即同一

原始信號在不同的時刻多次被發送，這些信號同樣可以通過不同的通道到達接收

端。但如果天線在不同時刻都發送同樣的信號，繫統的傳輸速率將大大降低。因

此，需要合理地安排信號的發送，這也是空時碼的基本任務之一。

總之，多天線繫統中的多發多收創造了空間分集與時間分集，這是多根天線

帶來的物理上的好處。但要充分地利用這兩個分集的好處，必須進行編碼，安排

好所要發送的信號，這就是為什麼要構造空時碼的基本原因之一。

2.空時碼

已知多天線繫統中的關鍵技術是空時碼，那麼，如何來構造空時碼呢？更具

體地說，給定繫統的參數，即發射天線與接收天線個數（分別記為M和N）、傳送率

R（每使用信道一次所要傳送的比特數）及時延數T，如何構造2TR個T×M矩陣作

為碼本來承載信號。要回答這一問題，我們還是要回到單天線的理論中尋求答

案。

在單天線理論中，承載信號的碼本（codebook）是2R個復數所組成的點集，這

裡R是繫統的傳送率。根據成對錯誤概率公式的Chernoff上界可知，這2R個復

數的構造原則是在總能量限定的情況下，任何兩點之間的小距離越大越好。這

樣，碼本的構造與復平面上擺點（packing）原則相同，從而碼本的構造就轉化為數

學問題。例如，R＝1時就用BPSK，R＝2時就采用4QAM或4PSK等。單天線

繫統的理論與實踐都證明，上述方法與由此而得到的碼本是行之有效的。

由此得出以下兩點值得借鋻：

（1）碼本的構造需要遵循一定的構造原則，這就是擺點原則。

（2）構造原則是建立在繫統的成對錯誤概率的Chernoff上界基礎之上。

事實上，空時碼的構造也是遵循以上兩點。

早在20世紀末，Tarokh等首先考慮了一個多天線繫統的碼本的構造原則，或

者說構造準則。他們假設繫統的傳送方不知道信道信息而接收方完全知道信道

信息。在這樣的假設之下，他們分析了繫統的成對錯誤概率公式，並得到了相應

的Chernoff上界。為了使得此上界能夠達到極小，碼本必須滿足兩個條件，而這

兩個條件就成了空時碼構造的基本準則。在他們的論文發表之後不久，酉空時碼

與差分空時碼的設計準則也相繼被提出，這些準則也是建立在成對錯誤概率公式

分析的基礎之上。與前面所提到的空時碼不同的是，在這兩種碼適用繫統中並不

需要接收方知道信道信息。

有了碼本的構造準則，接下來的問題是如何在準則的指導下來構造具體的碼

本。在單天線繫統中，由於構造問題轉化為成熟的數學理論問題，因而可以借助

於數學上已有的結論。但空時碼的構造則完全不一樣，當時沒有完整的、成熟的

數學理論可支撐空時碼的構造。這樣就必須從頭開始。因而，在本世紀初，大量

的研究者投入了大量的精力來從事這個課題的研究。

早出現的繫統性的構造方法是正交空時碼（orthogonal space-time codes）。

特殊的正交空時碼先是由Bell實驗室的Alamouti提出，而後由Tarokh等借助

於數學中的正交設計理論推廣到一般的情形。雖然提出正交空時碼的出發點是

為了降低繫統的解碼復雜度，但是它能很好地滿足先前提到的空時碼的設計準

則。的不足之處是正交空時碼的符號速率不夠高。為了提高符號速率，Ja-

farkhani等幾乎同時提出了擬正交空時碼（quasi-orthogonal space-time codes），所

付出的代價是解碼復雜度的增加及不滿足空時碼設計準則。

為了使得擬正交空時碼滿足設計準則，Su和Xia給出了新的設計方案，完全

地解決了這一缺陷。而為了降低擬正交空時碼的解碼復雜度，由Yuen等提出，而

後由Wang等完善的新方案，使得擬正交空時碼可以和正交空時碼幾乎有相同的

解碼復雜度。

無論是正交或擬正交空時碼，它們的傳送率都受到限制。為了提高傳送率，

在2003年之後，滿秩的對角空時碼由Damen等提出。這種碼的構造建立在代數

數論中的數域擴張理論基礎之上，他們的發現使得空時碼的構造與代數數論聯繫

在一起。從而，豐富的代數理論可以為空時碼的構造提供強有力的手段。而後，

由Belfiore等提出的2×2黃金空時碼，使得全速率、滿秩且行列式下有界的完備

空時碼成為可能。在2004年，Liao等得到了幾乎是的2×2完全空時碼。近

年來，許多學者都致力於推廣黃金空時碼的概念，找到了高階的完全空時碼。這

其中，由印度科學家Rajan首倡的，利用可分代數的表示論構造空時碼的思想同樣

完成了高階完備空時碼的構造。

完備空時碼具有滿秩、全速率等高性能性質，但是它的解碼復雜度相當高。

如何來平衡復雜度與高性能這兩者之間的關繫是近兩三年的主要研究目標，在這

方面，也有相當多的成果出現，很遺憾由於時間和篇幅的限制，這些工作沒有包括

在本書中。

另一方面，酉空時碼與差分空時碼的研究也取得了相當可觀的成果，大量的數

學工具已被用來構造這兩種碼。例如群論、群的表示論、Caylay變換、Grassmann

流形及其上的擺點理論、Hurwitz-Radon理論等。

3.本書的構成

本書由8章構成。第0章是緒論；第1章介紹多天線繫統理論，是後續6章的

理論基礎；第2～7章分別介紹各種不同的空時碼理論。

第1章多天線繫統理論主要包括多天線繫統的容量理論、空時碼的設計準則

和分集（diversity）與頻分復用（multiplexing）之間的平衡點這三部分內容。

容量理論奠定了通信繫統研究的理論基礎；空時碼設計準則給出了空時碼設計的

目標；分集與頻分復用的平衡點不僅給出了繫統能量與速率之間的平

衡，而且還給出了衡量碼本質量的標準。

第2章著重介紹正交空時碼。正交空時碼是一種具有低解碼復雜度的空時

碼。因而我們將從解碼復雜度入手，導入正交空時碼的概念，然後介紹正交空時

碼的性質、構造方法等。

第3章介紹擬正交空時碼。由於正交空時碼的符號率低，為了提高符號率，

適當增加解碼復雜度，提出了擬正交空時碼。我們將介紹擬正交空時碼的定義、

性質、滿秩性及求得具有小解碼復雜度的擬正交空時碼的構造方法。

第4章與第5章介紹建立在追求極大分集乘積（diversity product）而得到的

空時碼。第4章介紹對角空時碼，它是完備碼（complete code）的基礎，它結構簡

單，可以借助於代數數域擴張理論來構造。

第5章介紹分層代數空時碼，它建立在代數擴張的基礎之上，到目前為止，能

夠達到分集乘積的空時碼都是以此碼為基礎的。

上述章節介紹的空時碼都是假定接收方已知信道信息，而第6章轉向接收方

不知道信道信息時的空時碼，這就是酉空時碼。主要介紹基於Fourier變換和基

於Grassmann流形的兩種構造方法。

第7章介紹差分空時碼，它也用於接收方不知道信道信息的情況。換句話

說，如果繫統采用差分空時碼，則解碼方不需要信道信息。簡單介紹利用群論及

其表示論的差分空時碼構造，然後再介紹一種基於幾何結構的差分空時碼構造。

本書後有四個附錄，這四個附錄都是有關空時碼的幾個基本定理的證明。

附錄A是有關正交空時碼的符號率上界的證明。附錄B給出了擬正交碼中具有

解碼復雜度的幾個結論的證明。後兩個附錄給出了一個差分空時碼和對

角空時碼具有分集乘積的證明。這四部分的證明都比較長，但也比較詳細，

感興趣的讀者可以參考閱讀。

第1章多天線繫統

1.1信道模型

假設繫統有M根發送天線與N根接收天線。從第i根天線

到第j根天線的信道增益繫數設為hij，1≤i≤M，1≤j≤N。假設各信道之間是

相互獨立的，並且每個hij在時間T之內是不變的（T稱為相干時間），但從上一

個T時間段跳到下一個T時間段是變化的，其轉化規律服從於零均值、單位方

差的復Gauss分布。記H＝（hij）M×N，則H可以看成是一個M×N的隨機矩陣

的一個實現。

再假設第i根天線在第t時刻發送的信號為xti，（t＝1，2，…，T；i＝1，2，…，

M），並且記X＝（xti）T×M，則基本的發送-接收方程可以認為

其中，Y＝（yij）T×N為N根天線在T時刻內接收到信號；ρ是每根天線接收到的信

噪比（SNR）；W＝（wij）是一個T×N的矩陣，它的素wtj表示第j根接收

天線在第t時刻由接收天線接收信號時所產生的噪聲。一般假設為Gauss白噪

聲，即它們之間相互獨立，且服從零均值、方差為σ2的復Gauss分布，但由於我們

的方程出現ρ，因而假設σ2＝1。另外，也正是由於方程中出現了信噪比ρ，要求假

定每個發出信號的平均能量為1，即X滿足下列方程：