第1 章 緒論

1.1 研究背景

在自然界、人類社會的生產生活和科學技術領域(如生物學、物理學、醫學、經濟學、金融學、控制理論等) 中，
許多動態繫統具有下列特點：在某些時刻繫統的運動狀態可能會發生突然改變，
並且這些突然改變所經歷的時間相對於整個繫統過程的運動時間而言是非常短暫的、可忽略不計的. 因而，
這種繫統的運動狀態發生的突然改變可以看成瞬時發生的， 也就是以脈衝的形式出現. 這種現像就稱為所謂的“脈衝”現像，
其發生突變的瞬間稱為脈衝時刻， 具有脈衝變化現像的繫統稱為脈衝繫統. 常見的脈衝繫統中，
一些具體的脈衝變化形式有：“魚群生態繫統的定時捕撈或補給”影響各種魚群的數量的突然改變、“電路繫統中開關的斷開或閉合”會引起繫統中電流的突然改變、“藥劑的注射”導致生物體內病菌數量的突然變化、“國家調控政策的實施或國內外市場環境的改變”使得股票價格表現出的突變式的漲或跌等.
對於這類繫統的研究， 如果仍然采用通常的無脈衝的微分方程來描述繫統模型就不夠合理， 因而利用具有脈衝作用的微分方程(或差分方程)
來刻畫其繫統模型是比較理想的選擇， 它能更真實地刻畫和反映這些運動過程.

脈衝能引起繫統狀態的突然變化. 正因為如此， 在生態學、醫學、經濟、金融、化工、通信等各個領域的繫統研究中，
脈衝有著廣泛的應用. 人們根據自身的需求，設計出脈衝控制使繫統具有所期望的穩定性， 即制造合適的脈衝使之對於繫統起到積極作用.
例如通過定時捕撈或補給可以控制魚群的生態平衡， 通過某些開關的斷開或閉合可以控制電路中電流的大小，
通過國家調控政策的實施使得資本市場保持積極穩定的狀態等. 脈衝控制是基於脈衝微分方程的控制方法.

一般來說， 研究脈衝微分方程是以無脈衝微分方程的方法為依據， 並克服由於脈衝所引起的困難. 因此，
對於脈衝微分方程的研究無疑要比研究相應的無脈衝微分方程復雜得很多. 脈衝的作用表現在數學模型上，
就是適當的脈衝能使不穩定的繫統變得穩定， 使無界的解變得有界等“積極”作用. 當然， 不恰當的脈衝能使穩定的繫統變得不穩定，
起到相反的作用， 它符合任何事物都存在兩面性的自然規律，這也正是脈衝控制的意義和目的所在.

時滯是自然界中廣泛存在的一種現像. 例如， 帶式運輸機中物料傳輸的延遲， 衛星通訊中信號傳遞的延遲，
網絡繫統中數據傳送的延遲等都是典型的時滯現像. 時滯是引起繫統不穩定， 導致繫統產生不良性能的主要因素之一，
因此研究具有時滯的脈衝繫統是十分有必要的.

在控制繫統中， 狀態變化的規律性的直觀表現在於繫統的周期解的存在性、性及其穩定性等特性. 在現實生活中，
有不少非線性繫統可以由周期的脈衝繫統來描述. 例如， 滿足一定環境條件下生物種群的捕獲繫統， 往復運動的機械繫統等.

一般的， 繫統的研究對像分為確定性現像和不確定現像(隨機現像). 確定性現像是指對所關注的對像的結果能夠預先確定的現像，
隨機現像則是指對所關注的對像的結果不能預先確定的現像. 它們都大量存在於自然界和人類社會當中，
因而研究隨機脈衝繫統是十分必要的.

Stefan Hilger 在1988 年的一篇博士論文中開始了對一般時間尺度的理論研究，隨後該理論發展迅速. 2001
年專著Dynamic Equations on Time Scales: An Intro-duction with
Applications的發表標志著一般時間尺度理論達到了一個高峰. 這個理論的初衷就是要統一連續和離散的情況，
以往對於這兩種情況不得不分開分析. 由於一般時間尺度的統一性，
一般時間尺度上脈衝繫統的穩定性研究無疑對整個學科的發展具有重要的理論價值和應用前景.

由於計算機容量的快速增長和微電子技術的不斷進步，
吸引繫統分析與建模工作者、控制繫統設計者盡可能采用數字計算機或微處理裝置解決他們希望解決的問題.
而利用計算機或微處理裝置對繫統進行實時控制或對繫統進行模擬、分析或控制繫統設計時， 必須將時間變量考慮為離散變量.
因此要將所研究的繫統考慮為離散繫統. 由於上述原因， 自20 世紀50 年代以來，
離散控制繫統的理論研究與實際應用工作逐漸受到控制理論界的廣泛重視， 取得了很大成就，
使離散控制繫統的分析設計成為控制理論的一個重要組成部分.

隨著科學技術的迅猛發展， 人們著眼的繫統規模也越來越大， 隨機現像越來越復雜. 以往的理論體繫已難以適用於這些新的問題，
導致脈衝繫統研究同時包含離散事件過程和連續變量過程的混雜動態繫統的需要. 目前，
混雜繫統研究給控制理論及繫統工程的研究帶來了新的機遇和挑戰. 其中切換繫統和脈衝繫統是兩類典型的混雜繫統，
吸引著大量來自於應用數學、計算機科學、繫統工程等領域的科學家的興趣.

本書的內容安排如下：

在本書的第1 章簡要介紹一下脈衝繫統研究的背景意義及一些本書中常用的記號、定義和引理.

第2 章研究脈衝繫統的穩定性.

第2.1 節給出一般時間尺度上脈衝繫統穩定性、漸近穩定性、一致Lipschitz穩定性的判據.

第2.2 節介紹線性脈衝繫統和線性時變奇異脈衝繫統的有限時間穩定性.第3 章研究時滯脈衝繫統的穩定性.

第3.1 節給出時滯脈衝線性繫統的一致穩定性判據， 在脈衝點狀態變量與時滯有關的時滯脈衝線性繫統一致穩定的判據.

第3.2 節研究脈衝泛函微分方程的穩定性. 給出脈衝泛函微分方程嚴格穩定的判據，
並給出在脈衝點狀態變量與時滯有關的這類方程一致穩定、漸近穩定和實用穩定的判據.

第3.3 節研究一般時間尺度上時滯脈衝繫統的穩定性.
給出一般時間尺度上時滯脈衝繫統一致穩定、漸近穩定以及不穩定的判據；並給出雙測度下一般時間尺度上時滯脈衝繫統一致穩定和漸近穩定的判據.

第4 章研究脈衝繫統的可控性、可觀性.

第4.1 節給出分片線性時變脈衝繫統的可控性、可觀性分析.

第4.2 節介紹復數域上脈衝繫統的可達性、可觀性分析.

第4.3 節研究線性和線性時變切換脈衝繫統的可控性、可觀性.

第5 章研究脈衝繫統的邊值問題和周期解.

第5.1 節研究一階脈衝微分方程的非線性邊值問題.

第5.2 節研究一階脈衝泛函微分方程的非線性邊值問題.

第5.3 節介紹脈衝控制繫統的平穩振蕩.

第5.4 節給出一類變時刻單種群捕獲繫統的周期解.

第6 章研究隨機脈衝繫統的穩定與控制問題.

第6.1 節介紹隨機脈衝開關繫統的p 階穩定性及一類線性隨機脈衝滯後繫統的穩定性.

第6.2 節研究隨機脈衝繫統的H1 濾波. 研究一類帶脈衝效應的隨機Marko-vian 切換繫統H1
濾波問題以及一類不確定隨機脈衝繫統的魯棒H1 濾波.

第6.3 節研究隨機脈衝繫統的鎮定與控制問題. 具體地， (1) 討論一類帶脈衝效應和Markovian
切換的不確定隨機繫統的魯棒穩定性， 設計了線性輸出反饋控制器使繫統魯棒隨機穩定， 並提出了計算線性輸出反饋控制器的增益的方法；(2)
研究一類帶Markovian 切換的不確定隨機脈衝繫統的保成本控制問題；(3) 探討一類帶脈衝效應的隨機非線性繫統的H1 鎮定問題，
給出繫統的線性狀態反饋鎮定控制器的設計方法；(4) 討論一類隨機非線性Markovian 切換繫統的混雜控制問題，
首先給出了繫統在脈衝控制下的鎮定條件， 並在脈衝控制下， 設計繫統的線性輸出反饋控制器.

第7 章研究離散脈衝繫統的控制問題.

第7.1 節討論離散脈衝線性繫統的H1 濾波和H1 輸出反饋鎮定. 分別研究了離散線性脈衝繫統的H1 輸出反饋鎮定.
一類離散脈衝不確定繫統的H1 濾波器設計以及分片離散脈衝繫統的濾波器設計問題.

第7.2 節給出離散脈衝時滯線性繫統的鎮定問題.

1.2 記號

第2 章 脈衝繫統的穩定性理論

2.1 一般時間尺度上脈衝繫統的穩定性理論首先給出一般時間尺度上脈衝繫統的穩定性理論的一些基本概念.
這些概念主要來自文獻[8]，[68].

設T 是一般時間尺度(一種非空的閉的實數集) 滿素t0 > 0，素.