了得網自然科學_時滯動力學繫統的分岔與混沌（下冊）

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《時滯動力學繫統的分岔與混沌(下冊)》可作為高等院校電子工程、計算機、控制理論與應用、應用數學等相關專業高年級本科生、研究生的教材和參考書，也可作為相關教師和科研人員的參考用書。

內容簡介

時滯動力學繫統廣泛存在於自然科學、工程和社會科學等諸多領域中。《時滯動力學繫統的分岔與混沌(下冊)》介紹了研究時滯動力學繫統分岔的基本方法,同時涵蓋目前研究的一些近成果。《時滯動力學繫統的分岔與混沌(下冊)》從理論與數值模擬上繫統地討論了時滯動力學繫統，尤其是時滯神經網絡出現各種分岔及混沌產生的可能性，獲得了一些新的理論結果。分上、下兩冊，共7章，下冊包括三時滯繫統的分岔、高階時滯神經網絡模型，以及在工程中的其他時滯動態模型和時滯混沌繫統等內容。

前言
第4章 三時滯繫統的分岔
  4.1 三時滯繫統的穩定性與分岔
    4.1.1 引言
    4.1.2 固定時滯的穩定性
    4.1.3 依賴於時滯的穩定性
    4.1.4 討論
  4.2 環形聯接的三時滯模型的分岔
    4.2.1 模型的引入與線性穩定性分析
    4.2.2 中心流形縮減與Hopf分岔穩定分析
  4.3 三個Gopalsam繫統的分岔
    4.3.1 模型的引入與依賴於時滯的全局穩定性
    4.3.2 線性穩定性與Hopf分岔的存在性分析
    4.3.3 Hopf分岔周期解的方向、周期和穩定性
    4.3.4 共振餘維2分岔
  4.4 帶單時滯且有自聯接的三模型
    4.4.1 模型的引入、穩定性與Hopf分岔
    4.4.2 Hopf分岔方向與穩定性
  4.5 單時滯三模型的Hopf分岔的充分必要條件
    4.5.1 模型的引入與一些準備工作
    4.5.2 Hopf分岔的充分必要條件
  4.6 多時滯三模型的分岔
    4.6.1 引言
    4.6.2 Pitchfork分岔
    4.6.3 Pitchfork分岔和Hopf分岔相互作用
  4.7 一般的三時滯網絡模型
    4.7.1 模型的引入、穩定性分析與Hopf分岔
    4.7.2 無自聯接模型的穩定性分析
    4.7.3 無自聯接三網絡有大時滯情形的周期解的全局存在性
第5章 高階時滯神經網絡模型
  5.1 時滯遞歸神經網絡的Hopf分岔分析
    5.1.1 問題的闡述
    5.1.2 Hopf分岔的存在性
    5.1.3 分岔周期解的穩定性分析
    5.1.4 數值例子
  5.2 帶時滯相互作用的神經網絡的振蕩模式
    5.2.1 模型與時滯的臨界值
    5.2.2 分岔的方向、模式和穩定性
    5.2.3 一些例子
  5.3 時滯對環形神經網絡的動態行為與學習的影響
    5.3.1 收斂性的影響
    5.3.2 環形神經網絡的振蕩
    5.3.3 多層網絡與同步
    5.3.4 時滯相互作用的學習
  5.4 有記憶網絡的同步和穩定的鎖相
    5.4.1 引言與模型的引入
    5.4.2 同步與多穩定性
    5.4.3 去同步：穩定的鎖相和不穩定波
第6章 在工程中的其他時滯動態模型
  6.1 基因調控網絡模型
    6.1.1 布爾網絡模型
    6.1.2 線性組合模型
    6.1.3 加權矩陣模型
    6.1.4 互信息關聯模型
    6.1.5 貝葉斯網絡模型
    6.1.6 微分方程模型
  6.2 幾種基因調節網絡的分岔分析
    6.2.1 一個常時滯基因調節網絡的引入
    6.2.2 穩定性和Hopf分岔分析
    6.2.3 Hopf分岔的方向與穩定性
    6.2.4 幾種其他基因調節網絡模型
  6.3 網絡擁塞控制模型
    6.3.1 帶棄尾的TCP的局部穩定性與Hopf分岔
    6.3.2 某個對偶擁塞控制算法的局部分岔分析
  6.4 生物病毒模型
    6.4.1 模型的引入
    6.4.2 穩定性分析及仿真
    6.4.3 計算機模擬
    6.4.4 CD+4T細胞的HIV感染的時滯模型
  6.5 宏觀經濟動態模型
    6.5.1 模型的引入
    6.5.2 模型的動態行為分析
  6.6 情感動態模型
    6.6.1 模型的引入
    6.6.2 模型的穩定性與分岔分析
第7章 時滯混沌繫統
  7.1 混沌研究的歷史回顧
  7.2 混沌的定義與判定
    7.2.1 混沌的定義
    7.2.2 混沌研究的判據與準則
  7.3 帶分段線性函數一階時滯繫統的混沌
    7.3.1 模型及局部穩定性域
    7.3.2 分岔和復雜的動態行為
    7.3.3 帶分段線性函數的多渦卷時滯混沌繫統
  7.4 帶連續函數的一階時滯繫統的混沌
    7.4.1 帶非單調激活函數的單時滯方程
    7.4.2 一個原型時滯動態繫統的混沌行為
  7.5 慣性時滯神經網絡的混沌現像
    7.5.1 帶時滯的單個慣模型
    7.5.2 帶時滯兩個慣繫統的混沌行為
  7.6 時滯經濟動態模型的混沌行為
  7.7 帶分布時滯Chen繫統的混沌行為
參考文獻

在線試讀

第4章三時滯繫統的分岔
4.1三時滯繫統的穩定性與分岔
4.1.1引言
近人們對Hopfield人工神經網絡的研究顯示出巨大的興趣，已證明Hopfield網絡典型地擁有多個局部漸近平衡點？這些平衡點可以用於聯想記憶，對始於吸引域內的非常數解收斂於平衡點相應於從“部分”信息恢復到靜態解？
典型的帶時滯Hopfield神經網絡模型為，其中，和r，是常數;轉換函數中每個均有雙曲正切函數的性質;聯接矩陣表示不之間的耦合強度;時刻第的狀態為？
這些方程的一個簡化形式是假設所相同，並且具有相同強度的耦合，經過正規化以後方程變為當，時，方程(42)總是擁有平衡解？
更一般地，方程(4-2)關於一個平衡解線性化滿足如下繫統，即(4-3)，是歹的聯接強度和轉換函數，在靜態解的第歹個分量的斜率的乘積？
眾所周知，方程(4-3)的零解是漸近穩定的，當下面特征方程的所有根A有負實部，即(4-4)
近已證明可轉換上面鉀階方程(A的冪次)為矩陣，的特征值作為繫數的一階方程組？考慮網絡包含三的情形，同時因為受物理背景原因也不考慮自聯接情形？因此，聯接矩陣的所取零，並且方程(44)可展開成超越方程，即(4-5)其中，繫數A和B可以從矩素計算
方程(4-5)包含A，B和r，通過對這三個參數值的研究來確定線性方程零解的穩定性？然而，我們發現對於三個參數之一取固定值時更易於計算，即在兩參數平面確定穩定性域更容易？在目前情形下，計算簡捷和分析更為方便的方法是固定時滯值c，在繫數A和B的平面內確定穩定性域(對於方程(4-5)的所有根有負實部的A和B的值的集合)，這將在4.1.2節討論？考慮完整性，我們在4.1.3節給這些相同穩定性域在一個坐標為時滯，另一個坐標是繫數A或B之一的平面上的投影？
超越方程，如方程(4-5)的穩定性問題是典型的代數復雜的？不像常微分方程組，它可以獲取明顯的準則，如Routh-Hurwitz準則，對於階大於1，甚至一階時滯微分方程穩定性的繫數的充分必要條件沒有明顯的一般公式？為一般的結果包含於文獻，那裡給出了研究的可選擇解析和幾何手段(然而並不考慮方程(4-5))？我們相信這裡的方法是為白然的，包括對整個參數範圍(繫數以及時滯)所有可能穩定性的變化？
4.1.2固定時滯的穩定性
在本節，我們固定時滯r，並確定參數A和B的值以便特征方程(4-5)的所有根有負實部？正如我們將看到的，在(A，B)乎面這些穩定性域根據r的值而變化？第4章三時滯繫統的分岔

4.1三時滯繫統的穩定性與分岔

4.1.1引言

近人們對Hopfield人工神經網絡的研究顯示出巨大的興趣，已證明Hopfield網絡典型地擁有多個局部漸近平衡點？這些平衡點可以用於聯想記憶，對始於吸引域內的非常數解收斂於平衡點相應於從“部分”信息恢復到靜態解？

典型的帶時滯Hopfield神經網絡模型為，其中，和r，是常數;轉換函數中每個均有雙曲正切函數的性質;聯接矩陣表示不之間的耦合強度;時刻第的狀態為？

這些方程的一個簡化形式是假設所相同，並且具有相同強度的耦合，經過正規化以後方程變為當，時，方程(42)總是擁有平衡解？

更一般地，方程(4-2)關於一個平衡解線性化滿足如下繫統，即(4-3)，是歹的聯接強度和轉換函數，在靜態解的第歹個分量的斜率的乘積？

眾所周知，方程(4-3)的零解是漸近穩定的，當下面特征方程的所有根A有負實部，即(4-4)

近已證明可轉換上面鉀階方程(A的冪次)為矩陣，的特征值作為繫數的一階方程組？考慮網絡包含三的情形，同時因為受物理背景原因也不考慮自聯接情形？因此，聯接矩陣的所取零，並且方程(44)可展開成超越方程，即(4-5)其中，繫數A和B可以從矩素計算

方程(4-5)包含A，B和r，通過對這三個參數值的研究來確定線性方程零解的穩定性？然而，我們發現對於三個參數之一取固定值時更易於計算，即在兩參數平面確定穩定性域更容易？在目前情形下，計算簡捷和分析更為方便的方法是固定時滯值c，在繫數A和B的平面內確定穩定性域(對於方程(4-5)的所有根有負實部的A和B的值的集合)，這將在4.1.2節討論？考慮完整性，我們在4.1.3節給這些相同穩定性域在一個坐標為時滯，另一個坐標是繫數A或B之一的平面上的投影？

超越方程，如方程(4-5)的穩定性問題是典型的代數復雜的？不像常微分方程組，它可以獲取明顯的準則，如Routh-Hurwitz準則，對於階大於1，甚至一階時滯微分方程穩定性的繫數的充分必要條件沒有明顯的一般公式？為一般的結果包含於文獻，那裡給出了研究的可選擇解析和幾何手段(然而並不考慮方程(4-5))？我們相信這裡的方法是為白然的，包括對整個參數範圍(繫數以及時滯)所有可能穩定性的變化？

4.1.2固定時滯的穩定性

在本節，我們固定時滯r，並確定參數A和B的值以便特征方程(4-5)的所有根有負實部？正如我們將看到的，在(A，B)乎面這些穩定性域根據r的值而變化？

考慮c=0的極限情形，可以通過多項式方程求解得到？

引理4.1在方程(4-5)中，令c=0，那麼所有根有負實部，當且僅當？

證明設c=0，那麼方程(4-5)變為(4-6)其中，是一個根，當且僅當？

展開多項式(4-6)的立方項，我們可以獲得等價形式.Routh-Hurwitz準則可直接應用此多項式？這個多項式有具有負實部的所有根，當且僅當下面三個不等式成立，即？個不等式明顯滿足，且後面兩個不等式恰好同時成立，僅當條件和，會滿足？

當是正數時，方程(4-3)是一個時滯型方程，方程(4-5)的根通過復平面的虛軸進入復A平面的右邊(對於中立型方程不需要)？因此，對於方程(4-5)穩定性域的邊界由參數A和B的值給m，使這個方程存在實根？零根或者一對純虛根？

正如我們看到的，實根和零根的情形實際與r的值無關？

引理4.2對於任意r的正值，方程(4-5)右

①一個零實根，當且僅當？

②B<3，如果。

③B 證明利用文獻[95]的定理1，在圖4.1和圖4.2中給予說明？在方程(4-5)中，設滿足，因此①是明顯的？設方程(4-5)為等式)，顯然方程(4-5)的正根恰是函數和的圖相交的A的正值？我們有，L是單調增和凸的，使得，因為和，方程的正根存在性的充分條件是？

假設，如果或者對於A的正值是單調的，因此並不存在方程(4-5)的一個正根？因為，不難看到在正實軸僅有一個極值，並且正實根僅出現在參數值使得和之間相切存在於A的正值處？對於出現這種情形的充分必要條件是方程和)關於A的正解存在？考慮這兩個方程作為以兩個未知變量A和B的線性方程組，在A的固定值我們反過來導出繫統，即，那麼，可以直接獲得解，可再寫為？

在計算上，它是簡單的，建立的後方程定義到2的一個單調減的凹函數，取值從？在點A=-2和B=3，這個函數實際上切於直線B=l-A？

復根的情形在代數上更為復雜，首先識別在參數A和B平面內的值的集合，對任意固定的r值，方程(4-5)的所有根有負實部？

引理4.3考慮的固定正值，設，那麼方程(4-5)的所有根有負實部，僅當，這裡餘弦函數的反函數在區間上取值，並且是在區間的()根？

證明當時，方程(4-5)變為，可以再寫為(4-8)這是具有單時滯的一階純時滯方程的特征方程，穩定性域是已知的？這裡我們必須用不同尋常的參數表示來確定這個域？由引理4.2，如果B=O，當A 顯然，必須滿足？用式(4-9)的個方程，我們可以寫？因此，相應於反正弦函數的每個分支，我們有A的單調增函數，當，時，它為0;當A從下逼近-l時，它為

從方程(4-8)計算特征值A實部的符號變化，我們有在純虛根處計算時，它的右端變為，因為當這對純虛根存在時，A是負值，可看到在參數平面的穩定性域是位於右端這條曲線的右邊，相應於反正弦函數在區間取值？

因此，在(A，B)平面內穩定性域一定包含由上面引理描述的A軸的一部分，我們現在建立方程(4-5)對純虛根存在的參數值？在方程(45)中，將A—b代人，並分離結果方程的實部和虛部可獲得(4-10)從這個方程，我們可以獲得下面的結果？

定理4.1對於任意固定的r，方程(45)有一對純虛根A-b的參數值A和B？

①如果不是方程的根，那麼A和B可以由下面參數形式給出，即

②如果滿足方程，設是方程位於區間的解，那麼A和B在直線上？記這條直線為，其方程為

證明考慮方程(4-10)作為兩個未知量A和B的線性方程組，即(4-13)，繫數矩陣有行列式值，並且僅當時可逆？在這種情形下，我們可解方程(4-13)，即(4-14)三角恆等式允許簡化導出方程(4-11)？當-面時，解方程面，方程組(4-13)足退化的，並且相應矩陣的秩為1？因此，它的解空間是一維的，並且對於固定的，由方程(4-12)的直線可以等價給出，即，方程(4-11)和方程(4-12)給出了穩定性域邊界，餘下的是確定方程(4-5)的虛根是怎樣隨參數A和B變化的？對於此，我們必須仔細研究由方程(4-11)確定的依賴於的每個函數？首先注意兩個函數是偶函數，且不失一般性僅考慮的正值(方程(4-5)是實方程，以便復根以復共軛對出現)？

容易計算和，兩個函數的導數為(4-17)那麼，可以得到，我們計算二次導數為(4-18)和顯然，使得A僅當時，在處增加，且對於所有r，處作為的函數而減少？

由方程(4-16)，我們計算函數A的極值作為超越方程的根，要發現函數B的極值，由方程(4-17)我們有(4-20)因此，上述方程兩邊平方，且再寫為，以上方程可以看成關於cos(2cvc)的二次方程，它有一對實根，即，記上面方程右端為，那麼的極值相應於與函數缸()之一的交點，且從方程(4-20)開始的值受限制？函教和的符號一定是相同的？

對於時滯r的任意固定正值，函數A和B的圖描述了兩個函數的極值，

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