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本書是一本分析力學的簡明教材。全書共分十章，*～第三章闡述了分析力學的基本概念和基本原理，包括分析靜力學與動力學普遍方程等。第四～第五章屬完整繫統動力學，包括第二類拉格朗日方程和哈密頓正則方程。第六～第七章為力學的兩種變分原理，含哈密頓原理和高斯原理兩部分。第八～第十章為非完整繫統動力學問題初步，包括*類拉格朗日方程、阿沛爾方程以及凱恩方程。

內容簡介

本書是一本分析力學的簡明教材。全書共分10章，第1~3章闡述了分析力學的基本概念和基本原理，內容包括分析靜力學與動力學普遍方程等；第4、5章屬完整繫統動力學，內容包括第二類拉格朗日方程和哈密爾頓正則方程；第6、7章為力學的兩種變分原理，內容包括積分型原理（即哈密爾頓原理）和微分型原理（即高斯原理）兩部分；第8~10章為非完整繫統動力學問題初步，內容包括*類拉格朗日方程、阿沛爾方程以及凱恩方程。
全書重點強調分析力學的基礎理論，注重分析力學的基本方法，並闡述數學公式所蘊含的物理意義。書中共配有200多個例題和200多道習題，並附有部分習題答案，因此有較好的教學適應性。建議授課學時為48～64學時。
本書可作為高等工科院校工程力學本科及機械類或相近專業研究生的分析力學課程教材，也可作為有關教師和工程技術人員的教學和科研參考書。

作者簡介

王永崗，男，1965年出生，陝西米脂人，中共黨員，博士（後），現為中國農業大學教授。主要從事結構非線性振動、幾何非線性動、靜力學問題的數值解和近似解析解等方向的研究工作，在國內外發表SCI/EI學術論文40餘篇，參加過多項國家自然科學基金項目。先後為本科生和研究生講授過《理論力學》、《分析力學》、《工程力學》、《高等動力學》、《機械振動》等課程，編撰著作或教材4部（主編2部，副主編1部，參編1部）。至今，已連續講授本科生工程力學專業《分析力學》課程15年，積累了一定的教學經驗和素材，並能長期跟蹤分析力學相關的教學和科研發展趨勢，對該課程及相關的理論和應用領域有總體把握。

第1章分析力學的基本概念

1.1約束及其分類

1.2可能位移與虛位移

1.3廣義坐標與自由度

1.4虛功及理想約束

習題
第2章分析靜力學

2.1虛位移原理及其在靜力學中的應用第1章分析力學的基本概念

1.1約束及其分類

1.2可能位移與虛位移

1.3廣義坐標與自由度

1.4虛功及理想約束

習題
第2章分析靜力學

2.1虛位移原理及其在靜力學中的應用

2.2虛位移原理的廣義坐標形式

2.3勢力場中質點繫的平衡條件及平衡的穩定性

習題
第3章動力學普遍方程

3.1達朗貝爾原理

3.2動力學普遍方程的三種基本形式

習題
第4章拉格朗日方程

4.1拉格朗日方程的理論及其應用

4.2動能的結構及拉格朗日方程的顯式

4.3拉格朗日方程的初積分

4.4耗散問題的拉格朗日方程

4.5踫撞問題的拉格朗日方程

4.6勒讓德變換與勞斯方程

習題
第5章哈密爾頓正則方程

5.1哈密爾頓正則方程的理論及其應用

5.2哈密爾頓正則方程的初積分

5.3泊松括號與泊松定理

習題
第6章變分法及哈密爾頓原理

6.1變分法簡介

6.2哈密爾頓原理及其應用

6.3經典力學原理的一致性

習題
第7章高斯小拘束原理

7.1高斯小拘束原理及其應用

7.2平面運動剛體的加速度能與拘束

習題
第8章拉格朗日乘子法

8.1類拉格朗日方程

8.2非完整繫統的勞斯方程

習題
第9章阿沛爾方程

9.1偽速度的概念

9.2阿沛爾方程的理論及其應用

習題
第10章凱恩方程

10.1偏速度與偏角速度的概念

10.2凱恩方程的理論及其應用

習題
名人履痕
參考文獻

前言

經典力學是研究宏觀低速物體機械運動的現像和規律的學科，宏觀是相對於原子等微觀粒子而言的，而低速是相對於光速而言的。1900年馬克斯·普朗克（Max Planck，1858—1947）的量子論指出，經典力學不適用於微觀世界，而隨後1905年阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）的狹義相對論指出，經典力學不適用於運動速度可與光速比擬的物體。因此，一般認為經典力學是20世紀以前的力學，或非相對論非量子的力學。
經典力學沿著牛頓力學和分析力學兩條主要分支發展，二者並駕齊驅，構成了不同特色的力學理論體繫，並使用不同的數學語言，對機械運動的同一客觀規律各自進行表述。牛頓力學認為力是影響物體運動的因素，將約束對運動的作用也歸結為力。分析力學認為力和約束是影響物體運動的因素。分析力學又分為拉格朗日力學和哈密爾頓力學。前者以拉格朗日變量刻畫力學繫統，運動方程為拉格朗日方程；後者以哈密爾頓變量刻畫力學繫統，運動方程為哈密爾頓正則方程。經典力學的發展歷程大致可分為三個階段。經典力學是研究宏觀低速物體機械運動的現像和規律的學科，宏觀是相對於原子等微觀粒子而言的，而低速是相對於光速而言的。1900年馬克斯·普朗克（Max Planck，1858—1947）的量子論指出，經典力學不適用於微觀世界，而隨後1905年阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）的狹義相對論指出，經典力學不適用於運動速度可與光速比擬的物體。因此，一般認為經典力學是20世紀以前的力學，或非相對論非量子的力學。
經典力學沿著牛頓力學和分析力學兩條主要分支發展，二者並駕齊驅，構成了不同特色的力學理論體繫，並使用不同的數學語言，對機械運動的同一客觀規律各自進行表述。牛頓力學認為力是影響物體運動的因素，將約束對運動的作用也歸結為力。分析力學認為力和約束是影響物體運動的因素。分析力學又分為拉格朗日力學和哈密爾頓力學。前者以拉格朗日變量刻畫力學繫統，運動方程為拉格朗日方程；後者以哈密爾頓變量刻畫力學繫統，運動方程為哈密爾頓正則方程。經典力學的發展歷程大致可分為三個階段。
階段為牛頓力學（Newtonian mechanics）體繫的建立。牛頓力學體繫是由伽利略·伽利雷（Galileo Galilei，1564—1642）、艾薩克·牛頓（Isaac Newton，1643—1727）等建立的，牛頓集前人之大成，綜合了天文學與力學，在1687年出版的劃時代巨著《自然哲學的數學原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy，1687）一書中提出的運動三定律和萬有引力理論構成了經典力學體繫的兩大支柱，該書也成為牛頓對整個自然科學重要的貢獻。由於牛頓力學基本的物理量——力和加速度都具有矢量性質，且大量運用幾何方法和矢量作為研究工具，故牛頓力學可稱為矢量力學。牛頓力學對研究多質點、多約束繫統等問題是不方便的。
第二階段為拉格朗日力學（Lagrangian mechanics）體繫的建立。1788年，約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736—1813）在法國發表了一本不含幾何推理也沒有任何幾何插圖的力學著作——《分析力學論述》（Traitéde Mécanique Analytique，1788），這是牛頓之後的一部重要的經典力學著作，標志了力學發展的一個新階段。書中吸收並發展了萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler, 1707—1783）、讓·勒朗·達朗貝爾（Jean Le Rond D’Alembert, 1717—1783）等人的研究成果，通過引入廣義坐標的概念，將具有標量性質的能量作為基本物理量，以虛位移原理和達朗貝爾原理相結合得到的動力學普遍方程為基礎，運用變分原理，創立了分析力學的微分形式——拉格朗日力學體繫。他在序言中宣稱：力學已經成為分析的一個分支。拉格朗日力學是對經典力學的一種新的理論表述，著重於數學解析的方法，是分析力學的重要組成部分，拉格朗日本人也成為分析力學的創立者。
第三階段為哈密爾頓力學（Hamiltonian mechanics）體繫的建立。1834年，威廉·羅恩·哈密爾頓（William Rowan Hamilton, 1805—1865）將拉格朗日力學進行了推廣，使得力學繫統的變量不僅含有廣義坐標，同時還含有廣義動量，建立了哈密爾頓力學體繫——正則方程（canonic equation），以及一個與能量有密切聯繫的哈密爾頓函數。正則方程是用哈密爾頓函數表示的一階方程組，其好處是自變量在方程中具有某種對稱性。與此同時，哈密爾頓將幾何光學的研究成果應用到力學中,認為力學的原理不僅可以按牛頓的方式來敘述，也可以按某種作用量的駐值方式來敘述，他創立了分析力學的積分形式——哈密爾頓變分原理。哈密爾頓變分原理和正則方程都彙集於題名為《論動力學中的一個普遍方法》（On a general method in dynamics，1834）和《再論動力學中的普遍方法》（Second essay on a general method in dynamics，1835）的兩篇歷史性論文中。哈密爾頓原理的優點在於便於將力學推廣到物理學其他領域，而且一般來說積分形式的變分原理特別適用於近似解法。
力學規律的矢量力學與分析力學是同一研究對像的兩種表述形式，在經典力學的範疇內是等價的，但它們研究的途徑或方法則不相同。矢量力學多以幾何方法為基礎，思維方式形像化，側重於力，注重“定理”的應用；分析力學則主要采用數學分析的方法，思維方式抽像化，側重於能量，多以各種“原理”解決動力學問題。

力學的原理可分為變分原理和不變分原理兩種，每種原理又分為微分和積分兩種類型。微分原理所描述的運動規律發生在某一瞬時，而積分原理所描述的運動規律則發生在一個有限過程內。不變分原理直接反映繫統真實運動的普遍規律，如達朗貝爾原理就是一種微分型不變分原理，而機械能守恆定律則是一種積分型不變分原理。變分原理並不直接描述繫統運動的客觀規律，而是將力學繫統的真實運動與相同條件下約束所允許的一切可能運動加以比較，並提供能將真實運動從可能運動中甄別出來的準則，如虛位移原理就是微分型變分原理的一個例子。分析力學方面的主要成就是由拉格朗日方程發展為可以作為力學基本原理的積分形式的哈密爾頓原理，使各種動力學定律都可從一個變分式推出。無論在近代或現代，無論在理論上或應用上，積分形式變分原理的建立對力學的發展都具有重要的意義。變分原理除哈密爾頓在1834年所提出的積分型以外，還有約翰·卡爾·弗裡德裡希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）在1829年提出的微分型小拘束原理等。
1788年拉格朗日奠定了分析力學的基礎，然而他沒有認識到有獨立坐標數目與坐標的獨立變分數目不相同的繫統——非完整約束（nonholonomic constrain）繫統的存在。直到1894年，德國學者海因裡希·魯道夫·赫茲（heinrich Rudolf Hertz，1857—1894）纔次將力學繫統區分為完整繫統（Holonomic system）與非完整繫統兩類，對應於完整約束與非完整約束，開闢了非完整繫統分析力學研究的新領域。由於非完整約束繫統至少包含一個不可積分的微分約束，因而需要更復雜的微分方程來描述。在問世至今的百餘年裡，非完整繫統動力學已逐漸發展成為分析力學的重要分支，並建立了各種形式的運動方程。
分析力學屬一般力學的一個分支，若以拉格朗日在1788年《分析力學論述》一書的出版為學科正式誕生的標志，已有二百餘年的歷史。由於分析力學用統一的形式表達多樣化的力學問題，因此其理論依據與研究方法具有高度的概括性，其結論具有很大的普遍性。掌握它的一些基本概念和思維方法，可為進一步學習計算力學、量子力學和非線性力學等課程奠定理論基礎。
為適應工程力學等專業課程教學計劃對“分析力學”課程學時不斷縮減的實際，在本書的編寫過程中充分利用前修課程的基礎，以少的篇幅引入了分析靜力學（虛位移）原理和達朗貝爾原理等已經在“理論力學”課程中介紹過的基礎理論，內容上既避免了課程間的交叉與重復，又能相互銜接。由於“分析力學”是利用純數學的分析方法來研究繫統機械運動的一般規律的，其復雜的數學推導對於工科同學是不小的挑戰，因此，本書盡可能采用通俗的或工程的數學語言，強調力學的基本原理和思維方法，而將數學作為分析問題的工具，一些地方並沒有過分追求數學上的嚴謹性。附錄中對分析力學有直接貢獻的幾位歷史人物的學術生涯和力學工作進行了概述，以期增加讀者對歷史沿革的興趣。
本書以完整繫統的拉格朗日力學體繫和哈密爾頓力學體繫為主要內容，同時對非完整繫統動力學問題的類拉格朗日方程、阿沛爾方程以及凱恩方程進行了簡單介紹，以適應多學時教學安排。
本書是在作者多年所授“分析力學”課程講義的基礎上，借鋻國內外一些經典教材和相關文獻，完善並終編寫的適合於高等理工院校的“分析力學”課程教材，也可作為研究生教材和工程技術人員的參考用書。
限於作者水平，雖勉力成書，但不妥和疏漏在所難免，懇請讀者不吝指正。

編者

2018年8月

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分析力學的基本概念

分析力學是理論力學的一個分支，是對經典力學的高度數學化的表達。分析力學的研究對像是質點繫。質點繫可視為一切宏觀物體組成的力學繫統的理想模型。例如剛體、彈性體、流體等以及它們的綜合體都可看作質點繫，質點數可由1到無窮。工程上的力學問題大多數是非自由質點繫，分析力學把約束看成對繫統位置(或速度)的限定，而不是看成一種力。由於約束方程類型的不同，就形成了不同的力學繫統。例如，完整繫統、非完整繫統、定常繫統、非定常繫統等。
分析力學就是從分析約束入手，提出解決力學問題的新途徑和方法的。在進入分析力學基本原理的學習之前,首先應該掌握一些基本概念並具備一些基本能力,它們是學習各種分析力學原理的共同基礎。
1.1約束及其分類
1.1.1約束和約束方程
1. 位形及狀態

一個由n個質點組成的質點繫，其各質點每一瞬時在空間中所占據的位置以及質點繫的形狀可以由n個位置矢徑ri(i=1,2,…,n)或3n個笛卡兒坐標xi(i=1,2,…,3n)來描述。繫統各質點在空間位置的集合稱為質點繫的位形。此3n個坐標所張成的抽像的3n維空間稱為質點繫的位形空間。對非自由質點繫，這3n個量是不獨立的。與質點繫在每一瞬時的位形對應的位形空間的點稱為位形點。質點繫由某一位形連續變化到另一位形的運動過程反映在位形空間就是位形點連續變化所形成的曲線，稱為位形軌線。
運動中的質點在任一瞬時所占據的位置及其所具有的速度聯合在一起稱為質點在該瞬時的狀態變量。一個由n個質點組成的質點繫，其各質點每一瞬時在空間中的位置及速度分布需要n個位置矢徑及其導數(ri,r·i)(i=1,2,…，n)或3n個笛卡兒坐標及其導數(xi,x·i)(i=1,2,…,3n)來描述。此6n個坐標所張成的抽像的6n維空間稱為質點繫的狀態空間。前面定義的位形空間是狀態空間的3n維子空間。與質點繫在每一瞬時的運動狀態對應的狀態空間的點稱為狀態點。繫統的狀態隨時間變化過程對應於狀態點在狀態空間中連續變化，因而描繪出一條曲線,稱為狀態軌線。分析力學的基本概念

分析力學是理論力學的一個分支，是對經典力學的高度數學化的表達。分析力學的研究對像是質點繫。質點繫可視為一切宏觀物體組成的力學繫統的理想模型。例如剛體、彈性體、流體等以及它們的綜合體都可看作質點繫，質點數可由1到無窮。工程上的力學問題大多數是非自由質點繫，分析力學把約束看成對繫統位置(或速度)的限定，而不是看成一種力。由於約束方程類型的不同，就形成了不同的力學繫統。例如，完整繫統、非完整繫統、定常繫統、非定常繫統等。
分析力學就是從分析約束入手，提出解決力學問題的新途徑和方法的。在進入分析力學基本原理的學習之前,首先應該掌握一些基本概念並具備一些基本能力,它們是學習各種分析力學原理的共同基礎。
1.1約束及其分類
1.1.1約束和約束方程
1. 位形及狀態

一個由n個質點組成的質點繫，其各質點每一瞬時在空間中所占據的位置以及質點繫的形狀可以由n個位置矢徑ri(i=1,2,…,n)或3n個笛卡兒坐標xi(i=1,2,…,3n)來描述。繫統各質點在空間位置的集合稱為質點繫的位形。此3n個坐標所張成的抽像的3n維空間稱為質點繫的位形空間。對非自由質點繫，這3n個量是不獨立的。與質點繫在每一瞬時的位形對應的位形空間的點稱為位形點。質點繫由某一位形連續變化到另一位形的運動過程反映在位形空間就是位形點連續變化所形成的曲線，稱為位形軌線。
運動中的質點在任一瞬時所占據的位置及其所具有的速度聯合在一起稱為質點在該瞬時的狀態變量。一個由n個質點組成的質點繫，其各質點每一瞬時在空間中的位置及速度分布需要n個位置矢徑及其導數(ri,r·i)(i=1,2,…，n)或3n個笛卡兒坐標及其導數(xi,x·i)(i=1,2,…,3n)來描述。此6n個坐標所張成的抽像的6n維空間稱為質點繫的狀態空間。前面定義的位形空間是狀態空間的3n維子空間。與質點繫在每一瞬時的運動狀態對應的狀態空間的點稱為狀態點。繫統的狀態隨時間變化過程對應於狀態點在狀態空間中連續變化，因而描繪出一條曲線,稱為狀態軌線。
2. 約束及約束方程
幾乎所有的力學繫統都存在著約束。根據質點繫的運動是否受到預先規定的幾何及運動條件的限制，將質點繫分為自由質點繫和非自由質點繫兩種。
對非自由質點繫的位形和速度預先約定的限制條件稱為約束。約束的物理表現為約束力，約束的數學表現為約束方程。通常，約束方程可以通過質點繫中各質點的位置矢徑或速度來表達，寫作

fj(ri,r·i； t)=0(i=1,2,…,n； j=1,2,…,s)(1.1.1)

這裡，n為質點繫的質點數，s為約束方程數，t為時間參數。約束方程的直角坐標形式為

fj(xi,yi,zi； x·i,y·i,z·i； t)=0(i=1,2,…,n； j=1,2,…,s)(1.1.2)
其中

ri=xii yij zik，r·i=x·ii y·ij z·ik(i=1,2,…,n)(1.1.3)

分析力學


第1章分析力學的基本概念



式中，ri和xi、yi、zi分別為第i個質點的矢徑及其在直角坐標繫中各坐標軸上的投影； r·i和x·i、y·i、z·i分別為對應的速度及其在直角坐標繫中的投影。
例如，圖1.1.1中所示的具有固定懸掛點O的無重剛性杆，其對擺錘M的限制條件是：擺錘必須在以O點為球心、以擺長l為半徑的球面上運動。約束方程可表示為

x2 y2 z2－l2=0

若將圖1.1.1中球擺的剛性杆換成相同長度的柔索，如圖1.1.2所示，則約束方程變為

x2 y2 z2－l2≤0

有時，球擺的擺長也可按給出的時間t的函數改變，即l=l(t)。如圖1.1.3所示的變長度球擺，擺錘由一根穿過固定圓環的柔索以不變的速度?瘙經拽引，初始擺長為l0，則擺長隨時間的變化規律為l=l0-vt，這時，球擺的約束方程可表示為

x2 y2 z2－(l0－vt)2=0

圖1.1.1

圖1.1.2

圖1.1.3

1.1.2約束的分類
分析力學所研究的非自由質點繫中存在著許多形式的約束。設有由n個質點組成、各質點間有s個約束的質點繫，其約束按不同方面的性質可作如下分類。
1. 幾何約束與運動約束
某些約束僅對質點繫的幾何位置加以限制,而對各質點的速度沒有限制,這種約束稱為幾何約束，或位置約束。約束方程隻顯含位置和時間，而不顯含速度，其約束方程的一般形式為

fj(ri； t)=0或fj(ri)=0(i=1,2,…,n； j=1,2,…,s)(1.1.4)

例如，剛體內任意兩點間的距離保持不變就是一種幾何約束，其約束方程為

(ri－rj)2－r2ij=0(任意的i,j)

某些約束不僅對質點繫的空間位置加以限制,還對各質點的速度加以限制,這種約束稱為運動約束，或速度約束、微分約束。約束方程中不僅顯含位置和時間，同時還顯含速度，其約束方程的一般形式為

fj(ri,r·i； t)=0或fj(ri,r·i)=0(i=1,2,…,n； j=1,2,…,s)(1.1.5)

例如，半徑為r的圓柱在粗糙的地面上沿著水平直線作無滑動的滾動，如圖1.1.4所示，這意味著著地點的速度為零。因此，圓柱中心C(xC,yC)的速度與轉

圖1.1.4
動角速度φ·應滿足運動學的限制條件，即

x·C=rφ·,y·C=0

這是一種運動約束，但它可以寫成某函數的全微分形式，即寫成d(xC-rφ)=0，dyC=0，進一步可積分為有限方程(非微分方程)

xC－rφ=const.,yC=r
約束方程轉化為幾何約束的形式。可見，可積分的運動約束在物理實質上和幾何約束沒有區別。
2. 完整約束與非完整約束
幾何約束和可積分的運動約束實質上屬於同一範疇的約束，分析力學中合稱為完整約束。因此約束方程的有限形式仍形如式(1.1.4)，如上述圓柱在粗糙的地面上作純滾動的問題。隻含有完整約束的質點繫叫作完整繫統。
並不是所有的運動約束方程都可以經過積分後化為幾何約束方程。如質點繫含有不可積分的運動約束，它們在物理實質上不同於幾何約束，稱為非完整約束。含有非完整約束(一般也同時含有完整約束)的質點繫叫作非完整繫統。非完整約束的約束方程仍形如式(1.1.5)，但不滿足可積分的條件。

圖1.1.5

作為非完整約束的經典例子，可以研究在水平冰面內運動的冰刀。如圖1.1.5所示，冰刀在冰面上運動時其中心C點的速度隻能沿著冰刃的方向(忽略冰刀的側滑)，如果由中心C點的坐標(xC, yC)及冰刃轉角φ決定這個平面運動剛體的位形，則約束對C點速度方向的限制條件可表示為

y·Cx·C=tanφ或y·C－x·Ctanφ=0

這是一個運動約束方程，但它不能經積分化為幾何約束方程，屬於不可積分的運動約束。此約束方程可以理解為，在給定任意φ值後，冰刀中心速度分量(x·C,y·C)必須滿足的關繫。顯然，這個約束並沒有限制冰刀的位形，或者說(xC, yC)及φ可以任意取值。
3. 定常約束與非定常約束
約束方程中不顯含時間t的約束稱為定常(穩定)約束。反之，約束方程中顯含時間t的約束稱為非定非常(非穩定)約束。
例如，質點被限制在半軸長為a、b、c的固定橢球面上運動，約束方程

x2a2 y2b2 z2c2=1
對應於定常約束。而當質點被限制在一個半軸不斷變化的橢球面上運動時，其約束方程

x2a2t2 y2b2 z2c2=1
對應的約束則屬非定常約束。
4. 單側約束與雙側約束
隻限制質點繫在某一側的運動，而不限制另一側的運動的約束稱為單側(可解)約束。單側約束在約束方程中用不等式表示，一般可寫為

fj(ri,r·i； t)≤0(i=1,2,…,n； j=1,2,…,s)(1.1.6)
稱為約束不等式。單側約束是有可能解除的。當然，約束是否解除或者何時解除，需要從運動方程解出約束力，再從約束力的指向是否正確來判斷。如柔索約束的球擺，擺錘向柔索縮短的方向運動是自由的，在這一側約束有可能解除。
同時限制質點繫某一側及相反方向的運動的約束稱為雙側(不可解)約束。雙側約束在約束方程中用嚴格的等式表示。如剛杆約束的球擺，擺杆既限制擺錘沿杆拉伸方向的運動，又限制其沿杆壓縮方向的運動。
1.1.3一階線性約束
和完整約束相比較，非完整約束方程的特點表現為微分形式，而非有限形式。但是完整約束繫統和一階線性非完整約束繫統的約束方程具有相同的微分形式。
1. 完整約束繫統
設有由n個質點組成、各質點間有r個完整約束的繫統，約束方程的有限形式如式(1.1.4)，這裡重寫為

fj(ri； t)=0(i=1,2,…,n； j=1,2,…,r)(1.1.7)

將此完整約束方程對時間求一階全導數，得

∑ni=1fjri·r·i fjt=0(j=1,2,…，r)(1.1.8)

可見，即使存在可積分的運動約束使得完整約束的約束方程不顯含速度項,實際上它在對非自由質點繫的位形進行限制的同時也對質點繫各質點的速度給予了限制。從式(1.1.8)可以看出，完整約束的導數形式是線性運動約束。將上式的等號兩側同乘以dt，得到完整約束的微分形式

∑ni=1Ψij·dri Aj0dt=0(j=1,2,…,r)(1.1.9)

式(1.1.9)為全微分形式，是可積分的運動約束，其解析表達式為

∑3ni=1Aijdxi Aj0dt=0(j=1,2,…,r)(1.1.10)
其中

Ψij=fjri,Aij=fjxi,Aj0=fjt(1.1.11)
2. 非完整約束繫統
考慮由n個質點組成、各質點間有s個非完整約束的繫統。大多數實際遇到的非完整約束問題，其約束方程為質點速度的一次代數方程

∑ni=1Ψij·r·i Aj0=0(j=1,2,…,s)(1.1.12)
式中繫數Ψij、Aj0為各質點的位置和時間的函數。也可以將其表示為微分形式：

∑ni=1Ψij·dri Aj0dt=0(j=1,2,…,s)(1.1.13)

上述形式的微分約束稱為線性運動約束，或稱為一階線性約束、普法夫(Johann Friedrich Pfaff，1765—1825)約束。式(1.1.12)和式(1.1.13)也可以解析地表達為

∑3ni=1Aijx·i Aj0=0(j=1,2,…,s)(1.1.14)

∑3ni=1Aijdxi Aj0dt=0(j=1,2,…,s)(1.1.15)

比較式(1.1.9)和式(1.1.13)、式(1.1.10)和式(1.1.15)可以看出，它們有相同的形式。因此，若繫統同時存在r個完整約束和s個非完整約束，完整約束和非完整約束繫統的約束方程可以統一表示為微分形式：

∑ni=1Ψij·dri Aj0dt=0(j=1,2,…,r s)(1.1.16)
或

∑3ni=1Aijdxi Aj0dt=0(j=1,2,…,r s)(1.1.17)
與定常約束對應的繫數Aj0為零。
1.2可能位移與虛位移
為了充分顯示力學繫統與外界的關聯，繫統各部分之間的聯繫以及作用在繫統上的各力所起的不同作用，分析力學不僅研究那些實際上實現的運動，而且考慮約束允許的一切可能的運動，並

圖1.2.1

依據一定的力學原理，從可能的運動中挑出實際實現的運動。為描述可能的運動與實際實現的運動，常引入可能位移和虛位移、(真)實位移的概念。

1.2.1實位移、可能位移與虛位移的定義
考察約束在一個以勻速u上升的平面上運動的質點M，如圖1.2.1所示，這是一個非定常約束，約束方程為

z－ut=0

即要求質點的z坐標變化率與約束平面上升的速率相同，也就是說，質點必須時時在約束平面上。圖中畫出了三個時間由t~t dt的位移，即dr、Δr、δr，它們分別表示實位移、可能位移以及虛位移。下面給出其一般性的定義以及這些位移應滿足的約束方程。假定質點繫由n個質點組成，質點繫內同時存在r個完整約束和s個非完整約束。
1. 實位移
受約束的質點繫在運動過程中，各質點的矢徑ri(i=1,2,…,n)一方面要滿足動力學微分方程和初始條件，另一方面還必須滿足約束方程式(1.1.16)或式(1.1.17)。同時滿足這兩個要求的運動就是實際發生的運動，稱為真實運動。在時間t~t dt這一無窮小間隔內，真實運動產生的位移稱為質點繫的實位移，記作dri(i=1,2,…,n)或寫成解析形式dxi(i=1,2,…,3n)。
對於定常約束的特殊情形，約束方程中的Aj0=0，這時實位移滿足的約束方程變為

∑ni=1Ψij·dri=0(j=1,2,…,r s)(1.2.1)

∑3ni=1Aijdxi=0(j=1,2,…,r s)(1.2.2)
2. 可能位移
質點繫為約束所允許的運動稱為可能運動，它與繫統的受力情況及初始條件無關。在給定的瞬時和位形上，以及給定的時間間隔內，質點繫在可能運動中發生的位移稱為可能位移，如圖1.2.1中的Δr(下面仍用dr表示)。由此定義知，可能位移隻需滿足約束方程式(1.1.16)或式(1.1.17)，或在定常約束的特殊情形下滿足式(1.2.1)或式(1.2.2)。
顯然實位移滿足約束條件，所以也是可能位移。反過來，任意一個可能位移並不一定是某個真實運動所產生的實位移。因為可能位移隻需滿足約束條件，並沒有考慮它是否滿足動力學方程和初始條件。
3. 虛位移
在某固定瞬時和一定位形上，質點繫在約束所允許的條件下，假想的任何無限小位移稱為虛位移，以δr表示。為由約束方程得到虛位移應滿足的條件，可將約束方程寫成微分形式，再將微分符號d用變分符號δ替代，並令δt=0。這一方法通常稱為赫爾德(Otto Ludwig Hlder，1859—1937)方法。Hlder方法對完整約束和一階線性非完整約束都是適合的。利用Hlder方法，各質點的虛位移可以表示為矢徑或坐標的變分，即δri(i=1,2,…,n)或δxi(i=1,2,…,3n)。因此，從式(1.1.16)或式(1.1.17)可以得到虛位移應滿足的約束方程(或稱虛位移方程)

∑ni=1Ψij·δri=0(j=1,2,…,r s)(1.2.3)

∑3ni=1Aijδxi=0(j=1,2,…,r s)(1.2.4)

將上兩式與可能位移應滿足的條件式(1.1.16)或式(1.1.17)對照可以看出，對定常約束情形，由於約束的性質與時間無關，Aj0=0，虛位移就是可能位移；但對於非定常約束，虛位移不一定等同於可能位移。由於虛位移與時間變化無關，δt=dt=0，各質點的虛位移相當於時間突然停滯，約束瞬間“凍結”時所允許的可能位移。
虛位移也可以通過另一種方式定義。設質點繫在同一瞬時、同一位形上，在相同的時間間隔內有任意兩組可能位移dr*i和dr**i，它們都滿足約束方程式(1.1.16)或式(1.1.17)且式中繫數Ψij、Aij、Aj0應該相同，即

∑ni=1Ψij·dr*i Aj0dt=0,∑ni=1Ψij·dr**i Aj0dt=0(j=1,2,…,r s)(1.2.5)

∑3ni=1Aijdx*i Aj0dt=0,∑3ni=1Aijdx**i Aj0dt=0(j=1,2,…,r s)(1.2.6)

將式(1.2.5)或式(1.2.6)的後式分別與前式相減，並令

δri=dr**i－dri(i=1,2,…,n)或δxi=dx**i－dxi(i=1,2,…,3n)
則得到虛位移約束方程(1.2.3)或方程(1.2.4)。因此，也可將虛位移定義為質點繫在同一瞬時、同一位形上，在相同的時間間隔內發生的任意兩組可能位移之差。
虛位移是一個純粹幾何概念，既不牽涉繫統的實際運動，也不涉及力的作用，它隻是在約束允許的條件下具有的任意無限小的位移。與實位移和可能位移的發生都需經歷時間不同，虛位移的發生不需要時間，約束被“凍結”，即所謂“等時變分”，故有δt=0。
定常約束下，可以把虛位移視為可能發生卻尚未發生的可能位移，實位移是眾多虛位移(亦是可能位移)中的一個；在非定常約束下，不能把虛位移視為可能發生卻尚未發生的可能位移，實位移是眾多可能位移(不一定是虛位移)中的一個。
1.2.2虛位移的幾何性質
設一質點在曲面f(x,y,z,t)=0上運動，如圖1.2.2所示。某瞬時t，質點位於曲面上的M(x,y,z)點，在此時、此位置上給質點一虛位移δr，其解析表達式為

圖1.2.2

δr=δxi δyj δzk(1.2.7)
其中，δx、δy和δz為虛位移δr在直角坐標繫上的投影，稱為坐標變分。

由於虛位移是約束允許的無限小位移，所以，有了虛位移後，約束未被破壞，質點的坐標仍滿足約束曲面方程，即有

f(x δx,y δy,z δz,t)=0(1.2.8)

將上式在M點處按Taylor級數展開，因虛位移是無限小量，故略去二階及二階以上的高階微量，得

f(x δx,y δy,z δz,t)=f(x,y,z,t) fxδx fyδy fzδz=0

(1.2.9)

考慮到約束曲面方程f(x,y,z,t)=0，有

fxδx fyδy fzδz=0(1.2.10)

引入曲面f(x,y,z,t)=0在M點處的單位法向矢量n。如上所述，由於M點的虛位移是在某瞬時t把時間和曲面“凍結”後約束所允許的無限小位移，因此，曲面f(x,y,z,t)=0即使是非定常約束，在瞬時t也被“凍結”為定常約束。
由微分幾何理論可知，對於定常約束曲面上任一點的法線來說，它的三個方向餘弦分別與該曲面在此點的偏導數f/x、f/y和f/z成正比，即

n=Cfxi fyj fzk(1.2.11)

式中C為比例常數。對式(1.2.7)和式(1.2.11)作點積運算，再將式(1.2.10)代入，得到

n·δr=Cfxδx fyδy fzδz=0(1.2.12)

這表明，在給定瞬時，將時間和曲面“凍結”後，質點在曲面某一點上的虛位移垂直於此曲面在此點的法線，或者說，質點的虛位移位於被“凍結”曲面上某個點的切平面內，而這個點正是此質點所處的位置，此切平面內自該點作出的任意無限小位移都是質點在此瞬時的虛位移。虛位移是一個用來反映約束在給定瞬時的性質的幾何概念。
1.3廣義坐標與自由度
廣義坐標是分析力學的基本概念，也是分析力學的特色之一，它比笛卡兒坐標意義更廣泛。廣義坐標不僅擺脫了應用笛卡兒坐標對非自由質點繫位形描述帶來的困難，而且用少的參數描述繫統位形。廣義坐標的概念由拉格朗日提出，它的提出雖然隻是描述方法上的改進，但是對力學發展產生了深遠影響。
在分析力學中，與廣義坐標伴隨的另一重要概念為自由度，自由度是由質點繫本身特征決定的，與坐標選擇無關。如何確定繫統的自由度是個基本而重要的問題。
考察一由n個質點組成的質點繫，內有r個完整約束和s個非完整約束。描述質點繫的位形可采用n個質點的3n個笛卡兒坐標，不過，這3n個坐標並非都是獨立的，它們受到r個完整約束的制約。至於非完整約束，由於是不可積分的運動約束，對這些坐標沒有直接的制約作用。因此，在這3n個笛卡兒坐標中，隻有l=3n－r個坐標是獨立的。這樣用直角坐標描述位形時，有時並不方便，由此引出廣義坐標的質點繫位形描述方法。
1.3.1廣義坐標與廣義速度
1. 廣義坐標

確定質點繫位形的獨立參數稱為廣義坐標，通常用qk(k=1,2,…,l)表示。廣義坐標可根據繫統的具體結構和問題的要求來選取，能夠地確定繫統的位形的參數都可以作為廣義坐標，廣義坐標的量綱也不一定是長度量綱，它可以是直角坐標繫中的線坐標、極坐標和球坐標中的角坐標，也可以是其他參變量。更一般地講，凡可以確定力學繫統位形的任何物理量都可選作廣義坐標。可見，對於某一繫統來講廣義坐標的選擇不是的，而是具有一定的靈活性。廣義坐標數為

l=3n－r(1.3.1)

既然采用直角坐標法和廣義坐標法都可以描述質點繫的位形，那麼它們之間必定存在相互的變換關繫。選定廣義坐標後，繫統內各質點的笛卡兒坐標xi和位置矢徑ri可由廣義坐標單值確定：

xi=xi(q1,q2,…,ql； t)(i=1,2,…,3n)(1.3.2)

ri=ri(q1,q2,…,ql； t)(i=1,2,…,n)(1.3.3)

描述繫統位形的這種直角坐標(或其他坐標)與廣義坐標之間的變換關繫稱為坐標變換方程。由於廣義坐標是獨立坐標，則在這些坐標之間不存在任何完整約束，而且是以少數目的參數描述繫統的位形的。
2. 廣義速度
引入廣義坐標後，質點繫的運動可用廣義坐標隨時間的變化規律來描述，即qk=qk(t)(k=1,2,…,l)。廣義坐標對時間的導數q·k稱為廣義速度。由坐標變換方程(1.3.3)，繫統中點的速度r·i(i=1,2,…,n)用廣義速度表示為

r·i=∑lk=1riqkq·k rit(i=1,2,…,n)(1.3.4)
也可得到上式在直角坐標繫中的投影

x·i=∑lk=1xiqkq·k xit(i=1,2,…,3n)(1.3.5)
顯然，廣義速度的量綱也不一定是速度的量綱。對於隻有完整約束的力學繫統來說，l個廣義坐標是完全獨立的，從而l個廣義速度也是完全獨立的。
3. 廣義坐標表示的非完整約束方程
設有由n個質點組成的質點繫，內有r個完整約束，那麼，總可以選l=3n－r個廣義坐標qk來描述質點繫的位形。若繫統還受到s個一階線性非完整約束，由於廣義坐標是確定質點繫位形的獨立參數，任意一組廣義坐標的數值對應著質點繫的一個位形，因而，對完整約束，用直角坐標繫建立起來的質點繫位形限制條件，即下列完整約束方程

fj(x1,x2,…,x3n； t)=0(i=1,2,…,n； j=1,2,…,r)(1.3.6)
對該質點繫的廣義坐標是沒有制約作用的。如果把式(1.3.2)代入上式，將構成一個恆等式。
非完整約束方程則有所不同，它不可積，若非完整約束方程為式(1.1.12)所示的線性一階導數形式(或微分形式)，即

∑ni=1Ψij·r·i Aj0=0(j=1,2,…,s)(1.3.7)
式中各繫數的定義如前。將式(1.3.4)代入上式，改變求和順序，整理後得到限制廣義速度的s個非完整約束方程

∑lk=1∑ni=1Ψij·riqkq·k ∑ni=1Ψij·rit Aj0=0(j=1,2,…,s)(1.3.8)

令

Bkj=∑ni=1Ψij·riqk=∑3ni=1Aijxiqk

Bj0=∑ni=1Ψij·rit Aj0=∑3ni=1Aijxit Aj0(j=1,2,…,s)(1.3.9)
並將上式代入式(1.3.8)，有

∑lk=1Bkjq·k Bj0=0(j=1,2,…,s)(1.3.10)

這就是用廣義坐標表示的一階線性非完整繫統約束方程。如在其等號兩側同乘dt，則可獲得廣義坐標表示的非完整約束方程的微分形式：

∑lk=1Bkjdqk Bj0dt=0(j=1,2,…,s)(1.3.11)
顯然，繫數Bkj和Bj0是廣義坐標和時間的函數。在定常非完整繫統中，所有的Bkj都不顯含時間，而且Bj0=0。
1.3.2廣義坐標變分
假設在給定初始條件下已求得繫統運動微分方程的解，它的l個廣義坐標表示的運動方程為

qk=qk(t)(k=1,2,…,l)(1.3.12)

在真實運動鄰近有無數多個為約束所允許的可能運動，它也可以有廣義坐標的形式

qk=qk(t)(k=1,2,…,l)(1.3.13)

比較在同一時刻t，真實運動與相鄰近可能運動之差，並限定其差δqk為小量，即

δqk=qk(t)－qk(t)(k=1,2,…,l)(1.3.14)
按此要求得到的δqk稱為廣義坐標變分。當然，廣義坐標變分也是時間的函數。在某瞬時廣義坐標的變分就是廣義坐標本身的任意無限小增量。需要注意的是，廣義坐標變分δqk與廣義坐標微分dqk有原則性區別，前者是時間“凍結”不變時發生的，通過它可以使繫統的真實位形過渡到它鄰近的可能位形，後者要經過一段時間dt纔能發生，可寫為

dqk=q·k(t)dt(k=1,2,…,l)(1.3.15)
表示在真實運動中廣義坐標的無限小變化。
1.3.3自由度
由於完整繫統和非完整繫統在獨立的坐標變分數目上有差異，因而在分析力學中，對於任意繫統，自由度統一定義為繫統獨立坐標變分的數目。
1. 完整繫統情形
設質點繫由n個質點組成，內有r個完整約束。完整繫統微分形式的約束方程可由式(1.1.10)給出，通過變分可將該繫統的真實位形過渡到與它鄰近的可能位形中去。按照等時變分的概念，得

∑3ni=1Aijδxi=0(j=1,2,…,r)(1.3.16)

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