前 言

大約10年前，哥倫比亞大學的弗雷德裡克·巴裡（Frederick Barry）教授向我指出：目前還沒有一本關於微積分歷史的滿意著作。其時，我還有別的任務纏身，準備也不充分，不可能將他的建議付諸實施；不過，我近幾年的研究使我認可了他的觀點。關於微積分起源和主題的資料多不勝舉，本書所附的參考書目即可證明這一點；缺少的是令人滿意的批評性闡釋來細細講述該主題重要觀點的發展：從古代之肇始，到終用每一個學生都熟悉的現代數學分析基本原理的精確術語對此進行闡述。本書試圖在某種程度上彌補這一缺憾。如果能對初等微積分的整個歷史加以權威和全面的處理，那當然再好不過；但是，此類艱巨的計劃會遠遠超出本書論述的範圍和意圖。這裡涉及的並非微積分的全面歷史，而隻是提示性地勾勒出其基本概念的發展輪廓，這也許對學習數學的學生和研究思想史的學者都會有所裨益。因此，貫穿全書的主旨是確保闡釋清楚明白，而不是雜亂無章地詳細羅列各種細節，或者展示過於細致、精確的廣博知識。本書既要保證思想發展的連貫性，同時又不希望犧牲歷史的準確度和整體觀，因此很有必要理性地篩選和表述這些材料。
本書的結尾部分包括一份長長的參考文獻，以省去在腳注引述完整書目信息的麻煩。腳注隻標明作者和題名——有時為縮寫；書名采用斜體，期刊文章采用羅馬正體並加上引號。我期望這個參考書目可以為有興趣進一步研究微積分歷史的人帶來幫助。
巴裡教授給了筆者創作並完成本書的靈感。在我寫作過程中，他憑借科學史領域的廣博知識，屢屢慷慨地提出建議。承蒙哥倫比亞大學的林恩·桑代克（Lynn Thorndike）教授幫我審讀了“中世紀的貢獻”一章並做出專業的評論。哥倫比亞大學的L.P.賽斯洛夫（L.P.Siceloff）教授、密歇根大學的L.C.卡爾平斯基（L.C.Karpinski）教授和布魯克林學院的H.F.麥克尼什（H.F.MacNeish）教授也幫我閱讀了手稿並提供了寶貴的幫助和建議。波耶夫人毫不吝嗇地對這項工作給予鼓勵和幫助，並不辭辛勞地打出全部文稿。本書的索引由哥倫比亞大學出版社編制。後，美國學術團體聯合會（American Council of Learned Societies）撥款資助了本書，纔使之得以出版，與廣大讀者見面。在此，我謹向所有在寫作和出版本書過程中給予了幫助的朋友表示真誠的感謝。
卡爾·B.波耶
1939年1月3日於布魯克林學院

重印本前言

對於一本有關微積分歷史的著作，能有足夠的重印需求，真是令人欣喜。這似乎表明，學術圈中正有越來越多的人意識到，需要以廣闊的視野看待科學和數學。盡管已在技術上取得了卓越成就，人們卻更深刻地認同這一事實：科學不僅是一種生活方式，也是一種心智習慣；數學不僅是算法的集合，也是文化的一個方面。數學和科學史雖不能代替實驗室的工作或者技術訓練，但能有效彌補人文科學與自然科學之間常常缺乏理解的遺憾。也許更重要的是，能夠使各個領域的專業人員具有與其專業相稱的文化修養。熟悉自己專業背景的學者，不大會像新手常常經歷的那樣，有一種似是而非的已成定局的感覺。正是出於這一原因，準備做教師的人，不僅要了解本專業的內容，還應該了解其發展的歷史，這纔是明智之舉。
借此次重印，筆者更正了文中的幾處小錯誤。如果是再版，還應該做更廣泛的修訂。這並不會在實質上改變總體的敘述或者觀點，但我會按照胡利奧·雷·帕斯托爾（Julio Rey Pastor）其評論見《國際科學史檔案》（Archeion）雜志，卷XXIII（1940年），第199—203頁。和I.B.科恩（I.B.Cohen）其評論見《伊西斯》（Isis）雜志，卷XXXII（1940年），第205—210頁。等人的中肯評論，在他們建議的地方詳細闡明論點。本來還應該加上更多參考書目，其中尤其值得一提的是G.卡斯泰爾諾沃（G.Castelnuovo）的《現代微積分的起源》（Le origini del calcolo infinitesimale nell era moderna，1938年出版於博洛尼亞）。卡氏的著作幾乎與本書同時出版，關於現代部分，讀者們應該在細節上多參考這位著名幾何學家的著作。
在過去的幾年裡，筆者還參與撰寫了一本關於解析幾何史的手冊，書稿已經完成，不久就會在《數學文叢》（Scripta Mathematica）的贊助下付梓。
《微積分概念發展史》已經絕版六七年，此次重印應歸功於赫伯特·阿克塞爾羅德（Herbert Axelrod）和馬丁·N.賴特（Martin N.Wright），筆者對他們主動提出重印表示感謝。還要感謝理查德·柯朗（Richard Courant），承蒙他答應了為這個重印本撰寫序言。

卡爾·B.波耶
1949年1月27日

譯者後記

《微積分概念發展史》不隻是一部關於數學史和數學哲學的史論，實際上也是一部內涵非常豐富的哲學思想史著作。例如，波耶分析牛頓與萊布尼茨的分野，勝義迭出，令人擊節。流數法與微分法雙峰並峙，各擅勝場，其邏輯與哲學基礎，昭示英倫科學經驗主義與歐陸思辨形而上學的二水分流。這本書篇幅不長，但全是干貨。上下兩千年，區區二三十萬字，極為簡練，卻能原原本本、直擊關節要害，真正為大家手筆。本人從中得到了極大教益，其中觸類旁通的啟示尤其令人印像深刻，因此對波耶的這部著作充滿感激。
此書早有上師大數學繫的譯本（上海人民出版社1979年版），能直接采用是好的。但是聯繫譯文版權非常困難，因為原譯者是一個單位，這個單位早已不存在了。隻好接受當年參與此書翻譯的一位譯者的建議——重譯。他的理由是，聯繫到當年所有參與翻譯的譯者不太可能，有的譯者已經故世，何況究竟有哪些人參與，連他也不清楚。後來我們發現還有一個理由：原譯本有刪節。
一時興起，奮臂自為，現在看來真是一個自不量力的莽撞決定。波耶的博學令人嘆服，單憑我們的水平，哪裡能勝任，幸虧背後有許多高人支撐。青年翻譯家焦曉菊小姐有相當豐富的翻譯經驗，她的幫助為這項工作墊了底。《科學》雜志的優秀編輯田廷彥先生通讀譯稿，消滅了許多差錯。書中英文以外的難題，如法語、德語、意大利語及拉丁語，大部分是請數學史家胡作玄老先生幫忙解決的。畢業於復旦大學數學繫的姚詩偉先生對譯文逐一糾謬，我們的感激自不待言。如果不是資深數學編輯範仁梅老師的超常耐心和寬容，此事可能就中途放棄了。
譯者在“信”方面下了功夫，也力求做到“達”，“雅”則望之莫及。譯文會有這樣那樣的問題，一定是水平有限，而非態度缺失。
以書會友是一大樂事，期待能收到諸位讀者的批評和建議，也歡迎有志於翻譯的同仁（無論學科）與我們聯繫，大家一起努力，為數學文化的編譯事業做些有益的工作。漢唐盛世，受益於異域文明的傳入和引進，當今也不例外。景仰唐三藏歷經劫難取經譯經的偉大，故取此筆名以示向往。

唐  生
2007年4月9日

修訂版附記：

此譯本面世後，受到歡迎，多次加印。不少熱心的讀者發來電子郵件，一方面肯定我們的工作，同時也對譯文提出了一些修改意見。借這次重版的機會，我們對譯文做了全面修訂。非常期待讀者的反饋，這有助於我們改進工作，提高譯文質量。

2021年12月20日

章 引論

數學作為人類心智訓練和精神遺產不可分割的一部分，已經擁有了至少2500年的歷史。然而，在這漫長的歲月中，人們對該學科的性質尚未有一致意見，也沒有形成一個廣為接受的定義。
通過觀察大自然，古代的巴比倫人和埃及人建立起一套數學知識，並以之作為進一步觀察的基礎。泰勒斯（Thales）也許提出了演繹法，早期畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的數學明顯具有演繹的性質。畢達哥拉斯學派和柏拉圖（Plato）注意到，他們通過演繹法獲得的結論，在很大程度上與觀察和歸納推理的結果一致。他們無法對這種一致性做出別的解釋，便認為數學是對終極、永恆現實以及自然和宇宙固有性質的研究，而不是邏輯的一個分支或者科學技術所運用的一種工具。他們認定，要對經驗做出正確解釋，必先理解其中的數學原理。畢達哥拉斯學派有一句“萬物皆數”的格言，柏拉圖曾宣稱“上帝乃幾何學家”，都反映了這樣的觀念。
誠然，稍後的希臘懷疑論者曾質疑，推理或經驗能否獲取具有這種性質的知識。不過與此同時，亞裡士多德學派的科學也表明，通過觀察和邏輯至少可以獲得與現像一致的描述，因此經歐幾裡得（Euclid）處理後，數學就成為演繹關繫的一種理想模式。它產生於那些與觀察歸納的結論相一致的公設，是可以用於闡釋自然的。
經院學派的觀點在中世紀十分盛行，他們認為宇宙“秩序井然”，易於理解。到了14世紀，世人非常清楚地意識到，逍遙學派對運動和變化所持的定性觀好能被定量研究所取代。這兩個概念，加上對柏拉圖觀點再次產生的興趣使15世紀和16世紀的人們重新確信，數學在某些方面獨立並先於經驗的直覺知識。這種信念在庫薩的尼古拉斯（Nicholas of Cusa）、開普勒（Kepler）和伽利略（Galileo）的思想中都留有印記，在某種程度上也出現於列奧納多·達·芬奇（Leonardo da Vinci）的思想中。
認為數學乃構築宇宙之基礎的觀念，在16世紀和17世紀又發生了變化。在數學中，變化的原因是時人對代數少加批判但更為實際地運用（代數學在13世紀初由阿拉伯人傳入，隨後在意大利得到發展）。在自然科學領域，變化歸因於實驗方法的興起。於是，笛卡爾（Descartes）、波義耳（Boyle）等人所談論的數學確定性被闡釋為一種一致性，它可以在其推理特性中找到，而不是從任何表現出先驗的本體論必然性中找到。
18世紀，微積分被極其成功地應用於解決科學和數學問題，此時人們重點關注的是運算而不是數學基礎。19世紀，在重新分析無窮大時，為了給所涉及的概念找到滿意的基礎，人們付出了持久的努力，進而產生了一種更有批判性的態度。數學的嚴密性復興了，人們發現歐幾裡得的公設隻不過是一些假設，並不像康德（Kant）堅持的那樣是的綜合判斷。此類假設的選擇非常隨意——在彼此相容的條件下，允許它們與顯而易見的感官證據相矛盾。19世紀末，由於數學分析中的算術化傾向，人們進一步發現，可以把超越所有直覺和分析的無窮概念引入數學，而不損害該學科的邏輯一致性。
如果數學的假設獨立於感性世界，並且其原理超越了所有經驗，那麼這個學科充其量不過是赤裸裸的形式邏輯，更糟的情況是蛻化為符號上的同義反復。數學形式的符號化和算術化傾向在連續性的研究中獲得了極大成功，但也導致了頑固的悖論，這一事實使人們對數學本質的興趣越來越大——它在精神生活中的範圍和地位，其原理和公設的心理學來源，其命題的邏輯力量及其作為對感官世界的闡釋的有效性。
過去，數學被認為是研究數量或者空間和數字的學科，這種舊觀點現在基本上已經消失。人們意識到，樸素的空間直覺會導致自相矛盾。這一事實顛覆了康德哲學中的公設觀念。不過，數學家雖然不受外部感官知覺世界的控制，卻仍然受其指引。連續性的數學理論來源於直接經驗，但是終被數學家采用的連續統定義卻超越了感官想像。數學形式主義者由此得出結論：既然在數學的定義和前提中，直覺毫無用處，我們就沒有必要解釋公理，或是知道其中涉及的對像和關繫的本質。直覺主義者則堅持認為，其中涉及的數學符號應該很好地表達思想。兩種（或更多）觀點認為數學定理的準確性不容置疑，但是，數學概念是由直覺暗示（而非定義）的看法卻能很容易地解釋這一點：數學演繹推理得出的結論與經驗歸納得出的結論明顯一致。導數和積分產生於大自然明顯的兩個特征——多樣性和可變性，但是，終其抽像的數學定義卻素的無窮序列極限的基礎概念之上。一旦我們描繪出其發展軌跡，也就容易理解那些用來闡釋自然的觀點所具有的力量和豐富性了。
古希臘數學家試圖用數表達對直線的比率或比例的直覺觀點時，遇到了邏輯困境，由此促成了微積分的產生。他們認為數是離散的，而直線大概是連續的，這樣一來，幾乎立刻就觸及了邏輯上不夠完美（但是在直覺上很吸引人）的無窮小概念。然而，古希臘嚴密的思想卻將無窮小排除在幾何證明之外，並代之以窮竭法，這種方法可避開無窮小問題，但十分麻煩。古希臘科學家沒有定量地解決變化的問題。在運動學中，沒有哪種方法像窮竭法對幾何學那樣，使其避開芝諾（Zeno）悖論所展示的困境。不過，14世紀的經院哲學家對變量展開了定量研究，他們的方法在很大程度上是辯證的，但是也求助於圖示。到了17世紀，這一研究方法使得引入解析幾何以及變量的繫統表示法成為可能。
應用這種新型分析方法，加之自由使用具有啟發性的無窮小和更廣泛地運用數的概念，短時間內就產生了牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）的算法，它們構成了微積分。但是，即便在這個階段，該學科的邏輯基礎仍然缺乏明確概念。18世紀的數學家致力於尋找這樣的基礎，雖然幾乎沒有獲得什麼成就，卻在很大程度上將微積分從連續運動和幾何量的直覺中解放出來。19世紀初，導數成為基本概念，隨著數學家嚴格定義了數和連續性，到19世紀後半葉，一個堅實的基礎就此完成。為了對連續性那種模糊、本能的感覺做出解釋，數學家付出了大約2500年的努力，終形成了精確的概念。這些概念由邏輯定義，表現出超越感官經驗世界的推斷。經過深思熟慮的研究，直覺，或者對表面上無法充分表達的經驗要素的所謂直接認識，終於被嚴格定義的抽像理性概念所取代，這些概念是讓科學和數學思想變得簡潔的寶貴工具。
如今，微積分的基礎定義——導數和積分的定義——在該學科的教科書中表述得非常清楚，掌握相關運算也非常容易，人們似乎忘記了當初研究這些基本概念所遭遇的艱辛。通常來說，清晰充分地理解一門學科背後的基礎概念，要等到其發展的相對後期纔能實現。微積分的興起就恰如其分地說明了這一規律。微積分初提供的規則表述精確，易於使用，在某種程度上導致數學家對這個學科的邏輯發展所要求的細致工作無動於衷。他們設法利用產生於空間直覺的傳統幾何與代數的概念建立微積分。然而，到18世紀，詳細闡述基礎概念所面臨的固有困難變得越來越明顯，談論“微積分的形而上學”成為慣例；言下之意是，數學已無力為微積分的基礎給出令人滿意的說明。19世紀，由於采用精確的數學術語，基本概念得以澄清，人們在自然界的具體直覺（也許潛藏在幾何與代數中）和富於想像力思索的神秘主義（也許興盛於先驗的形而上學之上）之間，終於找到了一條安全的路線。於是，導數在其整個發展過程中，便搖搖晃晃地夾在速度（這個科學上的現像）和運動（這個哲學上的純理性概念）之間。
積分的歷史與此相似。一方面，它為近似值或誤差補償的實證主義思想提供了充分的闡釋機會，這兩種觀點基於科學測量承認的近似性質和疊加效應公認的學說。另一方面，唯心主義的形而上學認為，在感官知覺有限論之外，人類經驗和推理可以，但隻能可望而不可即地逐漸接近超驗無窮大。隻有形成於19世紀的精確數學定義，纔能使導數和積分保持它們作為抽像概念的本來地位，這種抽像概念也許衍生自物理描述和形而上學解釋，但是又獨立於兩者。
…………
本文的目的就是追溯這兩個概念的發展歷史，從它們發端於感覺經驗到終確立為數學抽像——依靠無窮序列極限的思想，根據形式邏輯加以定義。我們將發現，微積分的歷史稱得上是一個非凡的驚人實例，展現了數學概念是在擺脫了我們初的直覺產生的所有感性認知後緩慢形成的。在終的微積分裡，導數和積分是從序數的角度，而非連續量和可變性的角度來綜合定義的。盡管如此，它們卻是努力將我們對後兩個概念的感覺印像加以繫統化所產生的結果。這說明，微積分在其早期發展階段，為何會與幾何或者運動的概念以及不可分量和無窮小的解釋有密切關繫，那是因為這些觀點都產生於連續性的樸素直覺和經驗。
…………
龐加萊（Poincaré）曾說過，如果數學家淪為抽像邏輯的獵物，他們將永遠走不出數論和幾何公設的範疇。自然界將連續統和微積分問題扔給數學家，因此我們完全可以理解，竟有一個類似物理學中頑固的原子論的思想，試圖通過素來描畫幾何學所說明的宇宙。但是，數學的進一步發展已經表明，為了保存該學科的邏輯一致性，這樣的想法必須放棄。產生導數和積分的概念的基礎初是在幾何中發現的，因為，盡管幾何證明具有不容置疑的特性，人們仍然認為幾何是對感性世界的抽像化、理想化。
然而，人們近年來越來越清楚地認識到，數學是對普遍關繫的研究，任何源自感官知覺、對這些關繫先入為主的看法，都不能妨礙我們探索這些關繫應該是什麼。因此，微積分逐漸擺脫幾何學，並通過導數和積分的定義而依賴自然數的概念，所有傳統的純數學（包括幾何）都可由自然數概念推導出來。現在，數學家們感到，集合論為微積分提供了必需的基礎，從牛頓和萊布尼茨的時代起，人們就開始探索這些基礎了。但是，我們卻不能自以為是地斷言，在直覺將所有這些從原始的變化和多樣性觀點中提煉出的毫不相干的概念聯繫在一起的過程中，這會是後一個步驟。人類天然會把對自己有價值的思想具體化，不過，若對導數和積分起源有一個公正評價就會清楚地認識到，任何認為這些概念的建立就是微積分概念發展的終結的觀點，都是毫無根據的盲目樂觀。